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1、2021年全国高考数学模拟试卷（理科）（四）（全国III卷）一、单 选 题（本大题共1 2 小题，共 60.0 分）1.设集合U =1,2,3,456,M=1,3,5,则QM=（）A.2,4,6 B.1,3,5C.1,2,4D.U2.若复数z 满足z（l +i）=2 i（i 为虚数单位）,则忆|=()A.1 B.2C.V 2D./3.si n（-675。）的值是（）A.立 B.；2 2C.-在2D.-4.拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费由r；给出，其中卜川是不1,0 6-（0.5m +2）,（?n 4）,1 J超过m 的最大整数，如：3.74 =3,从甲地到乙地通话5.2 分钟的话费是（）A
2、.3.71 B.4.2 4 C.4.77 D.7.955.某班有50 名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布N（1 1 0,l（）2）,已知P（1 0 0 W X W 1 1 0）=0.34,估计该班学生数学成绩在1 2 0 分以上的人数为（）A.7 B.7 C.8 D.96.命 题“设a、b、ceR,若a c z bc z,则a b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（）A.-2A.0 个 B.1 个 C.2 个7.如图，若某几何体的正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形,则这个几何体的表面中，直角三角形的个数为（）A.1B.2C.3D.48.若 抛 物 线/=绿外:的焦点与椭圆三+二
3、,=n的右焦点重合，P鸳 雪第的值为（）D.3个正 视 甩 的视图 _ _ _ _ _ _ _X他视图1IJB.2C.4D.49.下列关于函数y =t a n（-2 x +g）的说法正确的是（）A.图象关于点（居,0）成中心对称 B.最小正周期是兀C.在区间（一9 一为上单调递增 D.图象关于直线x =-看成轴对称1 0 .若 等 边 0的边长为国，平面内一点叵满 足 区，则区（）A.0 B.0 C.0 D.01 1 .过 点 的 直 线 与 双 曲 线?-3 =1 交于A,B 两点，且点M平分AB,则直线A B 的方程为（）A.4x +3y -7=0 B.3%4-4y 4-1 =0C.3%-
4、4y -7=0 D.4y -3%-1 =01 2 .函数y =x-si n（+x）的部分图象是（）二、单 空 题（本大题共4 小题，共 2 0.0 分）1 3.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），以甲、乙这5次训练成绩的十位为茎，个位为叶绘得如图茎叶图：则 成 绩 波 动 较 大 的 那 位 运 动 员 成 绩 的 方 差 为.1 4.Umn -003n-l3n+1+l1 5.已知在 A B C 中，4 B,C 所对的边分别为a,b,c,R 为 A B C 外接圆的半径，若(1 =1,|si n2f i +|si n2C si n2i 4 =sinAsinBsinC,则R
5、的值为.1 6.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形.为面的多面体，体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得 到 一，个有十四个面的半正多面体，它们的棱长都相等，其中八个为正三角形，六个为正方形，称这样的半正多面体为二十四等边体.若二十四等边体的棱长为2,则 其 体 积 为.三、解答题(本大题共7 小题，共 8 2.0 分)1 7 .设数列 斯 是各项为正数的等比数列，的是 和 6 a 3 的等差中项.(1)求数列 斯 的公比；(H)若的=：,令%=(n+1)即，求数列 瓦 的前n项和1 8 .如图，在平面内
6、，A B C D 是/B A D=6 0。且A B =a 的菱形，4D M&和C DN C 1 都是正方形.将两个正方形分别沿A D,C D折起，使M 与N 重合于点D】.设直线I过点B 且垂直于菱形4 B C D 所在的平面，点E 是直线 上的一个动点，且与点5位于平面4 B C D 同侧(图).(1)求证：不管点E 如何运动都有C E 面(2)当线段B E =|a 时，求二面角E -A C -Di 的大小.图 图1 9 .设抛物线C：外=4mx(m 0)的焦点为F,已知直线-y-m =0 与抛物线C 交于A,B 两点两点分别在%轴的上、下方).求证：笠V2-+1-V2-1(2)已知弦长|4
7、 B|=8,试求：过4,B两点，且与直线x+y+3 =0相切的圆。的方程.2 0 .对一个新产品的开发需要投资1 0万元,开发成功可以获利1 0 0 0万元，如果开发成功的概率是0.7,计算投资的平均收益和标准差.2 1 .已知函数/(乃=手(a R),f(1)=0.(1)求实数a的值；(2)证明当 2 1时，/(x)0,n 0),求证：m+2 n 4.参考答案及解析1.答案：A解析：试题分析：直接根据集合的补集的定义以及条件，求出Q M.集合U=1,2,3,456,M=1,3,5,则Q =2,4,6,故选42.答案：C解析：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的暴运算性质，求复数
8、的模，属于基础题.由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则、虚数单位i的幕运算性质，求出z,可得|z|.解：.复数z满足z(l+i)=2i(t为虚数单位),2i 2i(l-i).,./.z=-=1+I,1+i(i+i)(i-0A z V l2+I2=V2,故选c.3.答案：A解析：解：sin(-675)=-sin675=-sin(360 x 2-45)=-sin(-45)=sin45=y.故选：A.结合诱导公式先进行化简，然后结合特殊角的三角函数值即可求值.本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础试题.4.答案:C解析：1.0 6 x (0.5 5.2+2)=1.0 6 x(0.5
9、 x 5+2 尸 4.7 7,故 选 C.5.答案：C解析：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是基础题.根据考试的成绩 服从正态分布N(110,1。2),得到考试的成绩;关于f =110对称，根据P(100 120)=0.1 6,根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数.解：考试的成绩f 服从正态分布N(110,102).考试的成绩，关于f=110对称，v P(100 120)=P&b 则：嘘;&加觎汽 当c=0时，得知逆命题为假命题，故其否命题也为假命题.在逆命题、否命题、逆否命题中真命题只有1个.故 选B.7.答案：C解析：解：.儿何体的正视图、侧视图、俯视图均为直角三角形，此几
10、何体是一个有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，底面为直角三角形.这个几何体的表面中，直角三角形的个数为3个故选C.由三视图确定几何体是一个有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，底面为直角三角形，即可得到结论.本题考查由三视图还原几何体，考查学生空间想象能力，属于基础题.8.答案：D解析：试题分析：易 知 椭 圆 扑 卷=：1的右焦点为g现崎，因 为 抛 物 线/=富财:的焦点与椭圆兰#贮=工的右焦点重合，所 以 曼=羲 陋=+解 暑 踪“考点：抛物线的简单性质；椭圆的简单性质。点评：注意椭圆中油、，队 T 关系式与双曲线中涵、感、T 的不同。9答 案:A解析：解：函数y=tan(-2x+g)=-ta n(2
11、 x-,X=工 时，2 x5-7 =r 所以图象关于点篇o）成中心对称，选项a正确；函数的最小正周期为7 =5,所以选项8 错误；xe（一（一巳）时，2x*e（一 耳一函数是单调减函数，所以选项C错误；正切函数不是轴对称函数，所以选项。错误.故选：A.根据函数丁=3（-2 x +$=-t a n（2 x 结合正切函数的图象与性质，对选项中的命题判断正误即可.本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，也考查了推理应用能力，是基础题.1 0 .答案：C解析：试题分析：S,s S,区，故选c.考点：1.平面向量的基底表示；2.平面向量的数量积1 1 .答案：D解析：解：设 4（*1，%），8。2，丫
12、 2），代入椭圆的方程可得：式一或=1,磅一或=1,4 3 4 3两式相减可得：g+l）（XLX2）=（%+2）（%一 乃）,4 3由中点坐标公式可知：X i +%2=2 ,为+力=2,由直线k=注=|,则直线4 B 的方程为：-化为4 y -3 x l =0.故选：D.利用点差法及中点坐标公式，求得得直线4 B 的斜率，根据直线的点斜式方程即可求得直线S B 的方程.本题考查直线方程的求法，考查点差法的应用，考查计算能力，属于中档题.1 2 .答案：B解析：解：,函数y =%,s i n G +x）=x c o s x 为奇函数，图象关于原点对称，.排除4 C.当0 x 0,二排除n,故选：
13、B.将函数进行化简为y =x c o s x,然后利用函数的奇偶性，以及取值符号是否对应进行判断.本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的性质研究图象是解决此类问题的基本方法.1 3 .答案:4解析：解：由茎叶图知，甲组数据为8 7,8 9,9 0,9 1,9 3；乙组数据为8 8,8 9,9 0,9 1,9 2；则成绩波动较大的那位运动员是甲，其平均数为土=：x (8 7 +8 9 +9 0 +9 1 +9 3)=9 0,方差为 s 2 =l x (8 7 -9 0)2+(8 9 -9 0)2+(9 0 -9 0)2+(9 1 -9 0)2+(9 3 -9 0)2 =4.故答案为：4.由
14、茎叶图知甲组数据的波动性较大，计算甲组数据的平均数和方差即可.本题利用茎叶图考查了平均数与方差的计算问题，是基础题.1 4 .答案：|解析:解:Um九 T 83n+1+lUm=n oo13Umn 83 J3n+1+l1一,3故答案为:分式同时除以3，当M T+8时，(|)0,即可求得答案.本题考查极限的运算，考查转化思想，属于基础题.1 5 .答案：渔2解析：由正弦定理可化j s i MB +g s i n 2 c -s i n2i 4 =s 讥 力 s i n B s 讥C 为j b?+c2-a2=bcsinA,由余弦定理可得：a2=b2+c2 2bccosA,化为：2(sinA 2cosA
15、)=+停 再利用基本不等式的性质得出s i n A,即可求出R.本题考查了正弦定理余弦定理、基本不等式的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力,属于中档题.解：由正弦定理可化|siM B+|sin2C sin2/l=sinAsinBsinC-b2+c2-a2=bcsinA,再由余弦定理可得a?=b2+c2-2bccos4 代入上式可得:2(sinA-2cosA)=+2遍，当且仅当b=c时取等号.即2/加(4 一 6)2 2遍,其中tan。=2.即sin(4 0)1,又sin(4 0)0),则。2=3=a”,V 的是0 2和6的的等差中项，,2%=g +6。3，即2Q1 =Qiq+GQH，
16、化简整理，得Qi(6q2+q-2)=0,v 0,6q2+q -2 =0,解得q =-|(舍去)，或0=右1:,q=w(n)由题意及(I),可得册=?(力1T =(力6n=(n+1)-an=(n+1)-(|)n,Tn=b1+b2+b3+-+bn=2-(i)1+3 .(|)2+4 .(|)3+-+(n+l).(!),1 =2.(1)2+3 (|)3+n +(n+1)n+i,两式相减，可得：=2 -(I)1+(|)2+(1)3+(1)n-(n+l).(1)n+1=1 +(力2-(n+1).(l)n+i1-23.-n-+-3.2 2n+1，7；=3-%n 2n解析：(1)先设正项等比数列数列 斯 的公
17、比为勺9 0)，然后根据等比数列的通项公式和等差中项的性质列出关于公比q的方程，解出q的值即可得到结果；(1 1)先根据题意及第(I )题的结果计算出数列%的通项公式，进一步计算出数列 与 的通项公式，然后运用错位相减法即可计算出前n项和7；.本题主要考查等比数列的基本量的运算，以及运用错位相减法求前n项和.考查了方程思想，转化与化归思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，是中档题.1 8.答案：解：(1)v CCJ/DDi，BC/AD,.面 B C G 面 ZD D i，又CE u 面B C C,.不管点E如何运动都有C E 面(2)设菱形4 B C D的中心为。，以。为原点，对角线A
18、 C,B O所在直线分别在x,y轴，建立空间直角坐标系如图所示，由题意知4声a,0,0)，C(-a,0,0)，5(0,一 发砂，E(0谭 a),2 2 4NN.丽=(-手 a,-,a),AC=(-V3 a,0,0).设平面D i4 C 的法向量为4=(x1yi,1),则 元 砧=0，元 而=0，(V3 a n-丁 巧-三】+a=。，,苏=(0 2 1),(V3 Q%!=0又 瓦?=g a,吟 一 方),F C =(-y a.-p-y)设平面瓦4 c的法向量芯=(应4 2，-1)，则 正 丽=0.芯 近=0，fV3 1 3 八VO X2 jay2 ja z2=V3 1 3-Q%2 2 0丫2 2
19、 QZ?二 0 .nJ =(0,3,1),设二面角E AC 的大小为仇则cos。=T=9=4 5 ,V5-V10 2.二面角E -A C-D i的大小为4 5。.解析：(1)由已知条件推导出面B C G 面A D D ，由此能够证明C E 面A D A.(2)设菱形A B C。的中心为0,以。为原点，对角线A C,B D 所在直线分别在,y 轴，建立空间直角坐标系所示，利用向量法能求出二面角E -A C-么的大小.本题考查平面与平面平行的性质，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.1 9.答案：解：(1)由y 2 =4 m x 与x -y m=0,消去x 得
20、y?4 m y 4 7 n 2 =。，设点4(Xi，y i)、B Q：2，y 2)，则、1、丫 2 为方程y 2 -4 m y -4 m2=0的两个不同的根，则%=(2 +2 V 2)m,y2=(2 2 /2)m,因为4 F、B 三点共线，所以，喘=箸|=磐；BF-Vz 2V2-2 v 2-1(2)因为AB =8,所以，(Xi +m)+(X2 +m)=8,所以，(X1+苫 2)+2 m =(y i +丫 2)+4 m =4 m +4 m =8,二 m=1,线段4 B 的中点坐标为(3 m,2 m),即(3,2),所以，线段4 B 的中垂线方程为x +y 5 =0,因为所求的圆过4、B 两点，所
21、以圆心。在直线x +y -5 =0上，设所求圆的圆心坐标为O o,5-%0)-不难算得两条平行线x+y-5=0与x+y+3=0之间的距离d=上 浮=4&,即。到直线x+y+3=0的距离为d=4VL由。到直线x y 1=0的距离得产 一(5 )*2=2(x0-3 7，设圆。的半径为R,则R2=(掌)2+2(x0-3)2=16+2(g-3产因为过点4 与点B的圆与直线x+y+3=0相切，所以，d2=R2,所以，(4&尸=16+2 8 -3声解得卜=+萼 或 卜=；二 缪(y0=2-2V2(%=2+2V2故所求圆的方程为(-3-2 鱼产+(y-2+2 近=32 或(x-3 +2/2)2+(y-2-2
22、72)2=32.解析：(1)将直线的方程与抛物线C的方程联立，求出4、B的坐标，再结合抛物线的定义来证明题中的结论；(2)先由抛物线的定义结合弦长公式得出m的值，于是得出抛物线C和直线4B的方程，并求出线段48的中点坐标，进而求出线段AB的中垂线方程，可设圆心的坐标为(沏,5-a)，由圆。过4B两点以及圆。与直线x+y+3=0相切，可得出与X。相关的方程，求出出的值，即可求出所求圆的方程.本题考查直线与抛物线的综合问题，考查抛物线的定义，同时也考查了直线与圆的位置关系，考查几何法在处理直线与圆的位置关系问题中的应用，考查计算能力，属于中等题.20.答案：解：设收益为随机变量X,其取值为-10,
23、990,则p(X=-10)=0.3,P(X=990)=0.7,所以E(X)=-10 x 0.3+990 X 0.7=690(万元);标准差为，(一 10 690尸 x 0 3+(990 690尸 x 0.7=00眉(万 元)；即投资的平均收益为690万元，标准差为100夜 I 万元.解析：设收益为随机变量X,其取值为-10,9 9 0,由题意可知对应的概率，再由期望与标准差公式求解即可.本题考查了离散型随机变量的期望与方差问题，熟记公式是关键，是基础题.21.答案：解：(1)函 数 的 定 义 域 为 x|x 0,f(x)=罟I，又/(I)=0,:.-=0,/.a=1.(2)证明：力2 1,f
24、(x)1 等价于仇X+1 1,.九(%)0,故九(X)在 1,+8)上单调递增，则当 时，h(x)h(l)=0,即仇+1%成立.当%21 时,/(%)E tl x2+y2=p2,x=pcosO,y=psind,可得/+y2=2y+2V 3 x 即(x V 3)2+(y I)2=4,所以曲线C 的直角坐标方程为(X -遮)2+(y-1)2=4；(2)由直线I 经过圆C 的圆心P(百,1),可得|M N|=2r=4,所以|P M|+PN=MN=4.解析：(1)消去参数t，可得直线I 的普通方程；由三角函数的和差公式和极坐标与直角坐标的关系，化简可得曲线C 的直角坐标方程；(2)考虑到直线I 经过圆
25、C的圆心，即可得到所求和.本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的互化，以及直线和圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题.23.答案:解:(1)由己知可得比一可+|%一1|25的解集为/?,因为优-a|4-|x 1|(x-Q)(x 1)|=a-1|,所以|a-l|N5,解得a N 6或a W-4.所以Q的取值范围为(一 8,-4 U 6,4-00).(2)证明：依题/(x)W 1可 知 4 1=a-1 W%4 Q+1,所以Q=l,即三+=1,m 2n m +2n=(m+2n)+塌)=2+4,当 且 仅 当 三+止=1,-=m 2n m 2n即m =2,n=1时取等号.故m +2n 4成立.解析：本题考查基本不等式和绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力.(1)利用绝对值的几何意义直接求出表达式的最值，通过绝对值不等式求解即可.(2)求出a=l,推出 +/=1，通过2n=(7n+2n)C +*),利用基本不等式求出最值即可.