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1、晨鸟教育 Earlybird 黄山市普通高中 2022 届高一八校联考 数学试题 第卷（选择题）一、单选题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分）1.7sin12（）A.6 24 B.6-24 C.6-2-4 D.6 2-4【答案】A【解析】【分析】化简7sin sin()12 3 4，再利用和角的正弦公式计算得解.【详解】由题得7 3 2 1 2sin sin()sin cos cos sin12 3 4 3 4 3 4 2 2 2 2 6 24.故选：A.【点睛】本题主要考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2.设,0,a b，A a b，B a
2、b，则A B，的大小关系是（）A.A B B.A B C.A B D.A B【答案】B【解析】【分析】根据题意计算2 2A B，得到答案.【详解】A a b，则22 A a b ab；B a b，则2B a b，,0,a b，故2 2A B，A B.故选：B.晨鸟教育 Earlybird【点睛】本题考查了代数式的大小比较，意在考查学生的计算能力和推断能力.3.在ABC中，内角A B C，所对的边分别是a b c，已知45,2 3,3 2 A a b，则 B的大小为（）A.30 B.60 C.30或 150 D.60或120【答案】D【解析】【分析】直接利用正弦定理计算得到答案.【详解】根据正弦
3、定理：sin sina bA B得到23 232sin22 3B，0 180 B，故60 B 或120.故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.4.设等差数列 na的前n项和为nS，若3 99,81 S S，则6S（）A.27 B.36 C.45 D.54【答案】B【解析】【分析】根据等差数列和性质知3 6 3 9 6,S S S S S 成等差数列，计算得到答案.【详解】根据等差数列和性质知：3 6 3 9 6,S S S S S 成等差数列，故 3 9 6 6 32 S S S S S，解得636 S.故选：B.【点睛】本题考查了求等差数列前n项和，意在考查
4、学生的计算能力，利用3 6 3 9 6,S S S S S 成等差数列是解题的关键.5.已知2 5 3 10cos,cos()5 10，且02，求的值（）晨鸟教育 Earlybird A.6 B.4 C.3 D.512【答案】B【解析】【分析】根 据 角 度 范 围 得 到5 10sin,sin()5 10，利 用 和 差 公 式 展 开 sin sin 解得答案.【详解】02，故0,2，2 5 3 10cos,cos()5 10，故5 10sin,sin()5 10，2sin sin sin cos cos sin2，故4.故选：B.【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和应
5、用能力，变换 sin sin 是解题的关键.6.已知ABC中，2 cos c b A，则ABC 一定是 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】试 题 分 析：由2 cos c b A和 正 弦 定 理 得sin 2sin cos C B A，即sin()2sin cos,sin cos sin cos A B B A A B B A 因sin 0,sin 0 A B，故,A B不可能为直角，故tan tan A B 再由,(0,)A B，故A B 选 B 考点：本题考查正弦定理、内角和定理、两角和的三角函数公式 点评：综合考查正弦定理、两角和与差的
6、三角公式三角形中的问题，要特别注意角的范围 7.记等比数列 na的前 n 项积为*nT n N，已知1 12 0m m ma a a，且2 1512mT，则m（）晨鸟教育 Earlybird A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】设11nna a q，代入化简得到112ma q，计算 2 11 2 12 1 12mm mmT a q，解得答案.【详解】设11nna a q，1 12 0m m ma a a，则2 11 1 12m m ma q a q a q，10 a，0 q，故112ma q.2 12 1 1 1 2 1 2 12 1 1 2 2 1 1 1.2 512mm
7、 m m m mm mT a a a a q a q，解得5 m.故选：C.【点睛】本题考查了等比数列的前n项积，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.8.关于x的不等式 21 0 x a x a 的解集中，恰有 2 个整数，则a的取值范围（）A.3，4 B.-2-1，C.-2-1 3,4，D.-2-1 3 4，【答案】D【解析】【分析】变换得到 1 0 x a x，讨论 1 a，1 a，1 a 三种情况，计算得到答案.【详解】21 1 0 x a x a x a x，当 1 a 时，不等式解集为 1,a，恰有 2 个整数，故3 4 a；当 1 a 时，无解；当1 a 时，不等式
8、解集为,1 a，恰有 2 个整数，故2 1 a；综上所述：2 1 3 4 a，-，.故选：D.【点睛】本题考查了根据解集的整数个数求参数，意在考查学生的计算能力和分类讨论能力.晨鸟教育 Earlybird 9.线段的黄金分割点定义：若点C在线段 AB 上，且满足2AC BC AB，则称点C为线段AB 的黄金分割点，在ABC 中，,36 AB AC A，若角 B 的平分线交边AC于点 D，则点 D 为边AC的黄金分割点，利用上述结论，可以求出 cos36（）A.5 14 B.5 14 C.5 12 D.5 12【答案】B【解析】设 2 AB，由黄金分割点的定义可得 5 1 AD 在 ABD 中，
9、由余弦定理得 2 2 2(5 1)2(5 1)5 1cos3642(5 1)2 选 B 10.若当x 时,函数 3sin 4cos f x x x 取得最大值,则cos()A.35 B.45 C.35 D.45【答案】B【解析】【分析】函数 f x解析式提取 5 变形后,利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的性质可得结果.【详解】3 45 sin cos 55 5f x x x sin x，其中4 3,cos5 5sin,当2,2x k k Z，即22x k 时，f x取得最大值 5,22k，则4cos cos 22 5k sin，故选 B.【点睛】此题考查了两角和与
10、差的正弦函数公式、辅助角公式的应用，以及正弦函数最值，熟练掌握公式是解本题的关键.11.已知nS是等差数列 na的前 n项和，且6 7 5S S S，给出下列五个命题：晨鸟教育 Earlybird 公差0 d 110 S 120 S 数列 nS中的最大项为11S 6 7a a 其中正确命题的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】先由条件确定数列第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，最后11S，12S的符号由第六项和第七项的正负判定【详解】等差数列 na中，6S最大，且6 7 5S S S，10 a，0 d，正确；6 7 5S S S，60 a，70 a，6 7
11、0 a a，16 0 a d，15 0 a d，6S最大，不正确；11 1 111 55 11(5)0 S a d a d，12 1 1 12 6 7 12 66 12()12()0 S a d a a a a，正确，错误.故选：B【点睛】本题考查等差数列的前 n 项和的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.12.已知实数,x y满足约束条件3 8 4 08 4 00,0 x yx yx y，若(0,0)z ax by a b 的最大值为 12，则4 1a b的最小值为（）晨鸟教育 Earlybird A.2512 B.4312 C.4912 D.8512【答案】A【解析】【分析】如图
12、所示，画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义得到4 12 a b，再利用均值不等式计算得到最值.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，(0,0)z ax by a b，则a zy xb b，zb表示直线在y轴的截距，根据图像知，当直线过3 8 4 08 4 0 x yx y 的交点 4,1时，z有最大值为4 12 a b.故 4 44172 16 17 2512 12 12 1124 14b aa ba ba ba b，当125a b 时等号成立.故选：A.【点睛】本题考查了线性规划问题，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，画出图像是解题的关键.第卷（非选择题)二、
13、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)13.已知tan 和tan 是方程22 6 0 x x 的两个根，则 tan 2=_ 晨鸟教育 Earlybird【答案】1663【解析】【分析】由题得1tan tan,tan tan 32.再求出tan()，再求出 tan 2 得解.【详解】由题得1tan tan,tan tan 32.所以1tan tan 12tan()1 tan tan 1 3 8.所以 212 tan()164tan 2=11 tan()63164.故答案为：1663.【点睛】本题主要考查和角的正切公式的应用，考查二倍角的正切公式的应用，意在考查对这些知识的理
14、解掌握水平和计算能力.14.当2 x 时，则42y xx 的值域是 _【答案】,2 6,【解析】【分析】首先将函数转化42 22y xx，再分别讨论 2 x 和2 x 时，利用基本不等式求值域即可.【详解】因4 42 22 2y x xx x，且2 x，当 2 x 时，2 0 x，402 x 所以4 42 2 2(2)2 62 2y x xx x，晨鸟教育 Earlybird 当且仅当422xx，即4 x 时，取“”.当2 x 时，2 0 x，402 x，所以4 42 2(2)22 2y x xx x，因为4 4(2)2(2)42 2x xx x，所以4(2)42xx，即4(2)2 22y x
15、x.当且仅当422xx，即0 x 时，取“”.综上所述值域为：,2 6,.故答案为：,2 6,【点睛】本题主要考查基本不等式，同时考查了函数的值域问题，属于中档题.15.已知数列 na满足11 a，111n nn na aa an n，2 n，则该数列的通项公式 na _【答案】*N2 1nnn【解析】【分析】变换得到11 1 1 11n na a n n，构造1nnba，利用累加法计算得到nb的通项公式，进而得到答案.详解】111n nn na aa an n，故 11 1 1 1 11 1n na a n n n n，2 n，设1nnba，则11 11n nb bn n，1111 ba，1
16、 1 2 2 1 1.n n n n nb b b b b b b b 1 1 1 1 1 1 2 1.1 1 21 2 1 2nn n n n n n，故2 1nnan，晨鸟教育 Earlybird 当1 n 时验证满足，故2 1nnan.故答案为：*N2 1nnn.【点睛】本题考查了求数列的通项公式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用，构造数列1nnba是解题的关键.16.在ABC 中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且满足232cos sin2 3AA，sin()4cos sin B C B C，则bc_【答案】1 6【解析】试题分析：因为232cos sin2 3AA，所
17、以31 cos sin3A A，化简得3sin()3 2A.所 以23A 又 因 为sin()4cos sin B C B C，所 以sin cos cos sin 6cos sin B C B C B C，所 以sin 6cos sin A B C，即2 2 262c a ba cca，整 理 得2 2 22 3 3 0 a c b.又2 2 2 2 212()2a b c bc b c bc，所 以2 22 5 0 b bc c，两 边 除 以2c 得22()5 0b bc c，解得1 6bc.考点：余弦定理.【思路点睛】因为232cos sin2 3AA，化简得3sin()3 2A.所以
18、23A又因为sin()4cos sin B C B C，所以sin 6cos sin A B C，由正弦定理和余弦定理整理得2 2 22 3 3 0 a c b.，化简可的2 22 5 0 b bc c，两边除以2c 得22()5 0b bc c，即可求得bc.三、解答题（本大题共 6 个小题，满分 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）晨鸟教育 Earlybird 17.已知34 4，04，3cos()4 5，3 5sin()4 13，求 cos 的值【答案】3365【解析】【分析】先求出4sin()4 5，3 12cos()4 13，再利用诱导公式和差角的正弦公式求解.【详
19、解】因为34 4，3cos()4 5，所以02 4，4sin()4 5.3 34 4，3 5sin()4 13 3 12cos()4 13.cos 3 3cos sin4 4 2 4 4 3 3sin cos cos sin4 4 4 4 5 3 12 4 3313 5 13 5 65.【点睛】本题主要考查同角的三角函数平方关系，考查诱导公式和差角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.18.在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，cos cos,sin a C B A，cos cos,sin sin b C B C A，且 a b（）求角 B 的值；（
20、）若ABC中，9,21 a c b，求ABC的面积【答案】（）3B；（）5 3【解析】【分析】（）根据向量垂直数量积为零，结合正弦定理角化边可得2 2 20 b c a ac，从而配凑晨鸟教育 Earlybird 出cos B，求得结果；（）利用余弦定理可构造方程求得ac，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（）a b，cos cos cos cos sin sin sin a b C B C B A C A 2 2 2 2 2 2cos cos sin sin sin 1 sin 1 sin sin sin sin C B A C A C B A C A 2 2 2sin sin sin
21、sin sin 0 B C A A C，由正弦定理可得：2 2 20 b c a ac，2 2 21cos2 2a c bBac，又 0,B，3B.（）由（）知：3B，又 21 b，22 2 2 2 22 cos 3 21 b a c ac B a c ac a c ac，又9 a c，3 81 21 60 ac，解得：20 ac，1 1 3sin 20 5 32 2 2ABCS ac B.【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到向量垂直的坐标表示、正弦定理边角互化、余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用；解题关键是能够利用正弦定理角化边，从而配凑出符合余弦定理的形式.19.已知数列 na的
22、前 n 项和为Sn,且满足2n nS n a*n N.(1)求证：数列 1na 是等比数列;(2)若数列 nb满足 298S log 1n nn nb aa*n N,试求数列 nb中最小项.【答案】(1)证明见解析；(2)14.【解析】【分析】(1)根据数列通项与前 n 项和的关系可得数列 na的递推公式,再构造数列 1na 证明即可.(2)由第(1)问可求得2 1nna,求得Sn,再代入可得 492 12 1nnnb,再利用基本不等晨鸟教育 Earlybird 式求最小值,以及取得最小值时n的值即可.【详解】(1)由 1 1S 1 2n nn a,S 2n nn a 两式相减得1 11 2
23、2n n na a a,即12 1n na a 11 2 1n na a 即1121nnaa 当1 n 时,1 11 2 S a,得11 a,即11 2 a 1na 是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列.(2)由第 1 小题可知 1 2nna 即2 1nna,*n N 12S log 1 2 2 2nn n na a n n 1298 98 492 1 2 1 2 49 14S log 1 2 2 2 1n nn nn nn nb aa 当且仅当492-12-1nn时,即3 n 所以 3min14nb b【点睛】本题主要考查了数列通项与前 n 项和的关系,也考查了根据递推公式构造等比数列
24、求解通项公式的问题.同时也考查了基本不等式求最值的问题.属于中档题.20.在锐角ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且2cos cosb c aC A（）求角 A的大小；（）若关于角 B 方程2sin sin-03B C 有解，求的范围【答案】（）3；（）3,32【解析】【分析】（）根据正弦定理化简整理得到2sin cos sin()sin B A A C B，计算得到答案.晨鸟教育 Earlybird（）根据锐角三角形计算6 2B，化简得到3 sin6B，根据范围得到答案.【详解】（）由2cos cosb c aC A，得：2sin sin cossin cosB C CA A
25、，整理得2sin cos sin cos sin cos B A C A A C 即2sin cos sin()sin B A A C B B是锐角三角形的内角，sin 0 B，1cos2A，0,2A，故3A.（）3A，2 2,3 3B C C B，故0202BC，6 2B.由2sin sin 03B C 有解，得2sin sin3B C，且23C B，得3 32sin sin sin cos 3sin3 2 2 6B B B B B，,6 2B，2,6 3 3B，故33sin,36 2B，3,32.【点睛】本题考查了正弦定理，三角恒等变换，三角函数值域，意在考查学生的计算能力和转化能力，确定
26、 B 的范围是解题的关键.21.已知函数2()1()f x ax ax a R.(1)若对任意实数x，()0 f x 恒成立，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式()2 3 f x x.【答案】(1)4 0 a;(2)详见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）对a讨论，0 a 时不合题意；0,a 合题意；0 a，利用判别式小于 0 解不等式，求交集即可得到所求范围；（2）先将不等式 22 2 0 ax a x 化为 1 2 0 x ax，再对参数a的取值范围进行讨论，利用一元二次不等式的解法分别解不等式即可.晨鸟教育 Earlybird 试题解析：（1）当0 a 时，1 0 f x 恒成
27、立；当0 a 时，要使对任意实数x，0 f x 恒成立，需满足 204 1 0aa a，解得4 0 a，故实数a的取值范围为4 0 a.（2）由不等式 2 3 f x x 得 22 2 0 ax a x，即 2 1 0 ax x.方程 2 1 0 ax x 的两根是11 x，22(0)x aa.当 0 a 时，20a，不等式的解为2xa或1 x；当0 a 时，不等式的解为1 x；当0 2 a 时，21a不等式的解为21 xa；当2 a 时，21a，不等式无解；当2 a 时，21a，不等式的解为21 xa 综上：当 0 a 时，不等式的解为x2xa或1 x；当0 a 时，不等式的解为x 1 x；
28、当0 2 a 时，不等式的解为21 x xa；当2 a 时，不等式解集为；当2 a 时，不等式的解为21 x xa【方法点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、分类讨论思想，属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.22.设数列 na的通项公式是 112 12nna n*n N,数列 nb中,1 n n nb a a.(1)若
29、数列 nb的前n项和Tn 对于*n N 恒成立,求的最小值;(2)利用裂项相消法求数列 na的前n项和nS,并写出数列 nAn B q（0 q 且1 q)晨鸟教育 Earlybird 的前n项和nS.【答案】(1)3；(2)12 5102nnnS,2 22 2-1-1 1nnA B q Bq A B q BqAqS n qqq q,（0 q 且1 q）.【解析】【分析】(1)根据1 n n nb a a 可求得nT,再分析nT随n增大的变化规律,结合恒成立问题求解的最小值即可.(2)根据 nAn B q 可设 2 11 112 2nn na x n y xn y,再化简对比各项系数可得25xy
30、,进而裂项相消求nS即可.同理可设 1A B 1n n nn q x n y q xn y q,化简对比各项系数求解得 2211AqxqA B q Bqyq,再裂项相消求和即可.【详解】(1)因为1 n n nb a a,故 1 2 2 3 1 1 1.n n n nT a a a a a a a a 13 2 3 32nn.又 111 1 12 1 2 3 2 1 02 2 2n n nn n nb a a n n n,故Tn递增.所以3,的最小值为 3.(2)设 1 2 11 1 12 1 12 2 2nn n na n x n y xn y,得 1 11 12 2 12 2n nxn x
31、 y n 由22 1xx y 知25xy 1 2 11 1 12 1 2 3 2 52 2 2nn n na n n n 1 2 3 n nS a a a a 晨鸟教育 Earlybird 1 0 0 2 11 1 1 1 1 15 7 7 9 2 3 2 52 2 2 2 2 2n nn n 12 5102nn 1A B 1n n nn q x n y q xn y q 1nq xy x yqn qq q 1 q xAqy x yqBq 解得 2211AqxqA B q Bqyq 2 22 21-1 1nnAA B q Bq A B q BqS nqqqqq,（0 q 且1 q）【点睛】本题主要考查了裂项相消求和的方法,需要根据题意将通项写成两项之差,再合并两项分析各项对应的系数,进而求得参数再求和即可.重点在于理解裂项中的两项间的关系.属于难题.晨鸟教育 Earlybird