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1、2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载 2022 年 云南高 考理 科 数 学 真 题 及答 案 注意事项：1 答卷前，考生务必用黑 色碳素笔将自己的姓 名、准考证号、考场号、座位 号填写在答题卡 上，并 认 真核 准 条 形码上 的 准 考 证 号、姓 名、考场 号、座 位 号及 科 目，在规 定 的 位 置 贴好条形码。2 回答选择题时，选出每 小题答案后，用铅 笔把答 题卡上对应题目的答 案标 号涂黑。如需改 动，用 橡 皮擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答案 标 号。回答 非 选 择 题 时，将 答 案写在 答 题 卡 上。写在本试卷上无效。3 考试结束后，将本试 卷 和答
2、题卡一并交回。一、选择题：本题 共 12 小 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的 四个 选 项中，只有一项是符合题目要求 的。1 若，则（）A B C D 2 某 社 区 通 过公 益 讲 座 以普 及 社 区 居 民的 垃 圾 分 类知 识 为 了 解讲 座 效 果，随 机 抽 取 10位 社区 居民，让 他们 在讲 座前和 讲座 后各 回答 一份 垃圾分 类知 识问 卷，这 10 位社区 居民 在讲座前 和讲 座后 问卷 答题 的正确 率如 下图：则（）A 讲 座前 问卷 答题 的正 确 率的中 位数 小于 B 讲 座后 问卷 答题 的正 确 率的平 均数 大于 C 讲 座前
3、 问卷 答题 的正 确 率的标 准差 小于 讲座 后正 确率的 标准 差 D 讲 座后 问卷 答题 的正 确 率的极 差大 于讲 座前 正确 率的极 差 3 设全 集，集合，则（）A B C D 4 如图，网格 纸上 绘制的 是一个 多面体 的三视 图，网格小 正方形 的边长 为 1，则该 多面体的体积 为（）2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载 A8 B 12 C16 D20 5函数 在区间 的图 像大 致 为（）A B C D 6 当 时，函数 取得 最大 值，则（）A B C D 1 7 在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均为，则（）A BAB 与 平面 所成的 角为
4、 C D 与平 面 所成 的角为 8 沈括 的 梦 溪笔 谈 是 中国古 代科 技史 上的 杰作，其中 收录 了计 算圆 弧长 度的“会圆 术”，如图，是以 O 为圆 心，OA 为半径 的圆 弧，C 是的 AB 中点，D 在 上，“会圆术”给出 的弧 长的 近似 值 s 的 计算 公式：当 时，（）2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载 A B C D 9 甲、乙两 个圆 锥的 母线 长相等，侧面 展开 图的 圆 心角之 和为，侧面 积分 别 为 和，体积分 别为 和 若，则（）A B C D 10 椭圆 的左顶 点为A，点 P，Q 均在 C 上，且 关于y 轴对 称 若直线 的斜率
5、之积 为，则 C 的离心 率为（）A B C D 11 设函数 在区间 恰有三个极值点、两 个零点，则 的取值 范围是（）A B C D 12 已 知，则（）A B C D 二、填空题：本题共 4 小 题，每小题5 分，共20 分。13 设 向量，的夹角 的余 弦值为，且，则 _ 14 若 双 曲 线 的 渐 近 线 与 圆 相 切，则_ 15 从 正方 体 的8 个 顶点 中任 选 4 个，则 这4 个点 在同一 个平 面的 概率 为_ 16 已 知 中，点 D 在边 BC 上，当 取得最小值 时，_ 2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明
6、、证 明过程或演算步骤第 17 21 题为必考题，每个试题考生都 必须 作答第 22、23 题为选考 题，考生根据要求作 答。（一）必考 题：共 60 分 17（12 分）记 为数 列 的前 n 项和 已 知（1）证明：是等差 数列；（2）若 成等比 数列，求 的 最小值 18（12 分）在 四 棱 锥 中，底面（1）证明：；（2）求 PD 与平 面 所成的 角的正 弦值 19（12 分）甲、乙 两个 学校 进行 体 育 比赛，比赛 共设 三个 项目，每个 项目 胜方 得 10 分，负方得 0 分，没有平 局 三 个项目 比赛 结束后，总得 分高的 学校 获得冠 军 已 知甲学 校在 三个项
7、目中 获 胜的概率 分别 为0.5，0.4，0.8，各项 目的 比赛 结果 相 互独立（1）求甲 学校 获得 冠军 的 概率；（2）用 X 表示 乙学 校的 总 得分，求 X 的分 布列 与期 望 20（12 分）设抛物 线 的焦点 为 F，点，过 F 的直 线交 C 于 M，N 两点 当直线 MD 垂 直于x 轴 时，（1）求 C 的方 程；（2）设 直 线 与 C 的 另 一 个 交 点 分 别 为 A，B，记 直 线 的 倾 斜 角 分 别 为当 取得最 大值 时，求直 线 AB 的方 程 21（12 分）已知函 数（I）若，求 a 的取 值范 围；（2）证明：若 有两 个零 点，则环（
8、二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如 果多 做，则按所做的第一题计分 22 选修4-4：坐 标系 与 参数方 程（10 分）在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为（t 为 参数），曲线 的参数方 程2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载 为（s 为参 数）（1）写出 的普 通方 程；（2）以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线 的极坐标方程为，求 与 交点 的直 角坐 标，及 与 交点的 直角 坐标 23 选修4-5：不 等式 选 讲（10 分）已知a，b，c 均 为正 数，且，证 明：（1）；（2）若
9、，则 2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载 理科数学解析 一、选 择题：本题 共 12 小题，每 小题 5 分，共 60 分.在每小 题给 出的 四个 选项中，只 有一项 是符 合题目 要求 的.1.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由 共轭 复数 的概 念及复 数的 运算 即可 得解.【详解】故选：C 2.某 社区 通过 公益 讲座 以 普及社 区居 民的 垃圾 分类 知识 为了 解讲 座效 果，随机抽 取 10 位社区居 民，让他 们在 讲座 前和讲 座后 各回 答一 份垃 圾分类 知识 问卷，这 10 位 社区居 民在 讲座前和 讲座 后问 卷答 题的 正确率
10、 如下 图：则（）A.讲 座前 问卷 答题 的正 确 率的中 位数 小于 B.讲 座后 问卷 答题 的正 确 率的平 均数 大于 C.讲 座前 问卷 答题 的正 确 率的标 准差 小于 讲座 后正 确率的 标准 差 2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载 D.讲 座后 问卷 答题 的正 确 率的极 差大 于讲 座前 正确 率的极 差【答案】B【解析】【分析】由 图表 信 息，结 合中位 数、平均 数、标准 差、极 差的 概念，逐 项判 断即可 得解.【详解】讲 座前 中位 数为,所以 错；讲座后 问卷 答题 的正 确率 只有一 个是 个,剩下 全部 大 于等于,所 以讲 座后问卷答 题
11、的 正确 率的 平均 数大于,所以 B 对；讲座前 问卷 答题 的正 确率 更加分 散,所以 讲座 前问 卷 答题的 正确 率的 标准 差大 于讲座 后正 确率的标 准差,所以 C 错；讲座后 问卷 答题 的正 确率 的极差 为，讲座前 问卷 答题 的正 确率 的极差 为,所以 错.故选:B.3.设 全集，集 合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解 方程 求出 集 合B,再 由集 合的 运算 即可 得 解.【详解】由 题意，所以,所以.故选：D.4.如 图，网 格纸 上绘 制的 是一个 多面 体的 三视 图，网格小 正方 形的 边长 为 1，则该多 面体 的体积为（）2023
12、考试备考资料 word 版本欢迎下载 A.8 B.12 C.16 D.20【答案】B【解析】【分析】由 三视 图还 原几 何体，再由 棱柱 的体 积公 式即可 得解.【详解】由 三视 图还 原几 何体，如图，则该直 四棱 柱的 体积.故选：B.5.函数 在区间 的图 象大 致 为（）A.B.2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载 C.D.【答案】A【解析】【分析】由 函数 的奇 偶性 结合指 数函 数、三角 函数 的性质 逐项 排除 即可 得解.详解】令，则，所以 为奇函 数，排 除 BD；又当 时，所以，排 除 C.故选：A.6.当 时，函数 取得 最大 值，则（）A.B.C.D.1
13、【答案】B【解析】【分析】根 据题 意可 知，即可解 得，再根 据 即可解 出【详解】因 为函 数 定义域 为，所 以依 题可 知，而，所以，即，所 以，因此函数 在 上递增，在 上递 减，时取最 大值，满 足题 意，即 有 故选：B.7.在 长方 体 中，已 知 与平 面 和平 面 所成的 角均 为，则（）2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载 A.B.AB 与 平面 所成 的角 为 C.D.与平面 所成 的角 为【答案】D【解析】【分析】根 据线 面角 定义 以及长 方体 的结 构特 征即 可求出【详解】如 图所 示：不妨设，依题 以及 长方 体 的结构 特征 可知，与平 面 所成
14、角为，与平面 所成 角为，所以，即，解 得 对于 A，A 错误；对于 B，过 作 于，易 知 平面，所 以 与平面 所成角为，因为，所 以，B 错 误；对于 C，C 错 误；对于 D，与平 面 所成角 为，而，所以 D 正确 故选：D 8.沈 括的 梦 溪笔 谈 是 中 国古代 科技 史上 的杰 作，其 中收录 了计 算圆 弧长 度的“会圆 术”，如图，是以O 为圆 心，OA 为半径 的圆 弧，C 是的AB 中点，D 在 上，“会2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载 圆术”给出 的弧 长的 近似 值s 的 计算 公式：当时，（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】连接，分别 求
15、出，再根 据题 中公 式即 可得 出答案.【详解】解：如 图，连接，因为 是 的中 点，所以，又，所 以 三点共 线，即，又，所以，则，故，所以.故选：B.2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载 9.甲、乙 两个 圆锥 的母 线 长相等，侧 面展 开图 的圆 心角之 和为，侧 面积 分别 为 和，体积分 别为 和 若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设母 线长 为，甲 圆锥底 面半 径为，乙圆 锥 底面圆 半径 为，根 据圆 锥 的侧面 积公式可 得，再结 合圆 心角 之和可 将 分别用 表示，再 利用勾 股定 理分 别求 出两圆锥的 高，再根 据圆 锥的 体积公 式即
16、 可得 解.【详解】解：设 母线 长为，甲圆 锥底 面半 径为，乙 圆锥底 面圆 半径 为，则，所以，又，则，所以，所以甲 圆锥 的高，乙圆锥 的高，2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载 所以.故选：C.10.椭圆 的左 顶点 为A，点 P，Q 均在C 上，且 关 于y 轴对 称 若直线 的斜率 之积 为，则C 的离心 率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，则，根据 斜 率公式 结合 题意 可得，再 根据，将 用 表示，整 理，再结 合离心 率公 式即 可得 解.【详解】解：，设，则，则，故，又，则，所以，即，所以椭 圆 的离心 率.故选：A.11.设函 数 在区间
17、恰有 三 个极值 点、两个 零点，则 的取值 范围是（）2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载 A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由 的取 值范 围得 到 的取 值范 围，再结 合正 弦函数 的性 质得 到不 等式 组，解得即 可【详解】解：依 题意 可得，因，所以，要使函 数在 区间 恰有 三个 极值点、两 个零 点，又，的 图象如 下所示：则，解 得，即 故选：C 12.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由 结合 三角 函数 的性质 可得；构 造函 数，利用 导数 可得，即 可得 解.2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载【详解】因为,因为 当
18、所以,即,所以；设，所以 在 单调递 增，则,所以，所以,所以，故选：A 二、填 空题：本题 共 4 小 题，每小题 5 分，共 20 分.13.设向 量，的夹 角的 余 弦值为，且，则 _【答案】【解析】【分析】设 与 的夹角 为，依题意 可得，再 根据 数量 积的定 义求 出，最后根据 数量 积的 运算 律计 算可得【详解】解：设 与 的夹角 为，因 为 与 的夹 角的 余 弦 值为，即，又，所以，所以 故答案 为：14.若双 曲线 的渐 近线 与 圆 相切，则_【答案】【解析】【分析】首先 求出双 曲线 的渐近 线方 程，再将 圆的 方程化 为标 准式，即 可得 到圆心 坐标 与 半径，
19、依 题意 圆心 到直 线的 距离等 于圆 的半 径，即可 得到方 程，解得 即可 2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载【详解】解：双 曲线 的渐 近线为，即，不妨取，圆，即，所以 圆 心为，半径，依题意 圆心 到渐 近线 的距 离，解得 或（舍 去）故答案 为：15.从正 方体 的 8 个 顶点 中任 选 4 个，则这 4 个点 在同一 个平 面的 概率 为_【答案】.【解析】【分析】根 据古 典概 型的 概率公 式即 可求 出【详解】从 正方 体的 个顶 点中任 取 个，有 个结 果，这 个点 在同 一个 平面的有 个，故 所求 概率 故答案 为：16.已知 中，点D 在边BC 上
20、，当 取得最小值时，_【答案】#【解析】【分析】设，利 用余 弦定 理表示 出 后，结 合基 本不 等式即 可得解.【详解】设，则在 中，在 中，所以 2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载，当且仅 当 即 时，等号 成立，所以当 取最 小值 时，.故答案 为：.三、解答题：共 70 分 解 答应写 出文 字说明、证 明过程 或演 算步骤 第 17 21题 为必 考题，每个 试题考 生都 必须作 答 第 22、23 题 为选考 题，考生 根据 要求作答.（一）必考题：共 60 分 17.记 为数列 的前n 项 和 已知（1）证 明：是等 差数 列；（2）若 成等 比数 列，求 的最小值
21、【答案】（1）证明 见解 析；（2）【解析】【分析】（1）依题 意可 得，根 据，作差 即可 得到，从而 得证；（2）由（1）及 等比 中项 的性质 求出，即 可得 到 的通项公 式与 前 项和，再根 据二次函数 的性 质计 算可 得【小 问 1 详解】2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载 解：因 为，即，当 时，得，即，即，所 以，且，所以 是以 为公差 的等 差数 列【小 问 2 详解】解：由（1）可 得，又，成等 比数 列，所以，即，解 得，所以，所以，所以，当 或 时 18.在四 棱锥 中，底面（1）证明：；（2）求PD 与 平面 所成 的 角的正 弦值【答案】（1）证明 见
22、解 析；（2）.【解析】【分析】（1）作 于，于，利用勾 股定 理证 明，根据 线面垂直 的性 质可 得，从而 可得 平面，再根 据线 面垂 直的性 质即 可得证；2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载（2）以点 为原 点建 立空 间 直角坐 标系，利 用向 量法 即可得 出答 案.【小 问 1 详解】证明：在四 边形 中，作 于，于，因为，所以四 边形 为等 腰梯 形，所以，故，所以，所以，因为 平面，平面，所以，又，所以 平面，又因 平面，所以；【小 问 2 详解】解：如 图，以点 为原 点建 立空间 直角 坐标 系，则，则，设平面 的法 向量，则有，可取，则，2023 考试备考资
23、料 word 版本欢迎下载 所以 与平面 所成 角的 正弦 值为.19.甲、乙两 个学 校进 行 体育比 赛，比赛 共设 三个 项目，每个 项目 胜方 得 10 分，负 方 得 0分，没 有平 局 三个 项目 比赛结 束后，总 得分 高的 学校获 得冠 军 已知 甲学 校在三 个项 目中获胜的 概率 分别 为 0.5，0.4，0.8，各 项目 的比 赛结 果相互 独立（1）求 甲学 校获 得冠 军的 概率；（2）用X 表示 乙学 校的 总 得分，求X 的分 布列 与期 望【答案】（1）；（2）分 布列 见解 析，.【解析】【分析】（1）设 甲在 三个 项目中 获胜 的事 件依 次记 为，再 根
24、据 甲获 得冠 军则 至少获胜两个 项目，利 用互 斥事 件的概 率加 法公 式以 及相 互独立 事件 的乘 法公 式即 可求出；（2）依题 可知，的可能 取 值为，再分 别计 算出 对应 的概率，列 出分 布列，即可求 出期 望【小 问 1 详解】设甲在 三个 项目 中获 胜的 事件依 次记 为，所以 甲学 校获得 冠军 的概 率为【小 问 2 详解】依题可 知，的可 能取 值为，所以，,，2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载，.即 的分 布列 为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望.20.设 抛物 线 的焦点 为F，点，过 F 的直 线 交C 于M
25、，N 两点 当直线MD 垂直 于x 轴 时，（1）求C 的 方程；（2）设直 线 与C 的另 一个 交点分 别 为A，B，记 直线 的倾斜 角分 别为当 取得最 大值 时，求直 线AB 的方 程【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由 抛物 线的 定义可 得，即可 得解；（2）设点 的坐 标及 直线，由韦达 定理 及斜 率公 式可 得，再 由差角的 正切 公式 及基 本不 等式可 得，设直 线，结 合 韦达定 理可解.【小 问 1 详解】抛物线 的准 线为，当 与x 轴垂直 时，点M 的 横坐 标 为p，此时，所以，所以抛 物 线C 的 方程 为；【小 问 2 详解】设，直 线，由 可
26、得，2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载 由斜率 公式 可得，直线，代入 抛物 线方 程可 得，所以，同 理可 得，所以 又因为 直 线MN、AB 的倾 斜角分 别为，所以，若要使 最大，则，设，则，当 且仅 当 即 时，等号 成立，所以当 最大 时，设 直线，代入抛 物线 方程 可得，所以，所以直 线.【点睛】关键 点点睛：解 决本题 的关 键是 利用 抛物 线方程 对斜 率进 行化 简，利用韦 达定 理得出坐标 间的 关系.21.已知 函数（1）若，求a 的取 值范 围；（2）证明：若 有两 个零 点，则环【答案】（1）（2）证 明见 的解 析【解析】2023 考试备考资料 wo
27、rd 版本欢迎下载【分析】（1）由 导数 确定 函数单 调性 及最 值，即可 得解；（2）利用 分析 法，转化 要 证明条 件，再利 用导 数即可得证.【小 问 1 详解】的定义 域为，令,得 当 单调 递减 当 单调 递增，若,则,即 所以 的取值 范围 为【小 问 2 详解】由题知,一个零 点小 于 1,一 个零点 大 于 1 不妨设 要证,即证 因为,即证 因为,即证 即证 即证 下面证 明 时，设，则 2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载 设 所 以,而 所以,所以 所以 在 单调 递增 即,所以 令 所以 在 单调 递减 即,所以；综上,所以.【点睛】关 键点 点睛：本 题
28、是极 值点 偏移 问题，关 键点是 通过 分析 法，构造 函数证 明不 等式 这个函 数经 常出 现，需要 掌握（二）选 考题：共 10 分 请考 生在 第 22、23 题 中 任选一 题作 答 如 果多 做，则按 所做 的第一 题计 分 选修 4-4：坐 标系 与参数 方程 22.在直 角坐 标系 中，曲 线 的参 数方 程为（t 为参 数），曲 线 的参数 方程为（s 为 参数）（1）写出 普通 方程；2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载（2）以坐 标原 点为 极点，x 轴 正半 轴为 极轴 建立 极坐 标系，曲线 的极 坐标 方程 为，求 与 交点 的直 角坐 标，及 与 交点
29、的 直角 坐标【答案】（1）；（2）的交点 坐标 为，的交点坐 标为，【解析】【分析】(1)消去，即可 得 到 的普 通方 程；(2)将曲线 的方 程化 成普 通 方程，联立 求解 即解 出【小 问 1 详解】因为，所 以，即 的普通 方程为【小问 2 详解】因为，所以，即 的普 通方 程为，由，即 的普 通方 程为 联立，解得：或，即 交点 坐标为，；联立，解得：或，即 交点 坐标为，选修 4-5：不 等式 选讲 23.已知a，b，c 均 为正 数，且，证明：（1）；（2）若，则【答案】（1）见解 析（2）见 解析【解析】【分析】（1）根 据，利用 柯西不 等式 即可 得证；（2）由（1）结 合已 知可 得，即 可得 到，再根 据权 方和不 等式 即可得证.2023 考试备考资料 word 版本欢迎下载【小 问 1 详解】证明：由柯 西不 等式 有，所以，当且仅 当 时，取 等号，所以；【小 问 2 详解】证明：因为，由（1）得，即，所 以，由权方 和不 等式 知，当且仅 当，即，时取 等号，所以.历年考 试真题为作者精心 整理，如有需要，请下载。