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1、Q 专题03三角形的中线与面积 专题解读】任三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.由“等底同髙”可知,三角形的一条中线能把这个三角形分成而积相等的两部分.利用这一性质，再进行适当拓展延伸，我们还 可解决许多其他的等分点问题.反过来，在解决许多有关多边形(如三角形、四边形等)的而积问题时，如 果我们能够快速地联想到“三角形的中线等分三角形而积“这一性质，那么往往可以事半功倍.思维索引 例1.(1)如图，ZV1BC中，D为AB的中点，E为DF的中点.作出/XAED中的髙AH：连接BF,当AH=4,DF=5时，求厶BDF面积.Q)如图，AABC 中，ZC=90,AC=12,BC
2、=9,AB=15,若动点 P 从点 C 开始，按 CA_BY 的 路径运动，且速度为每秒3个单位，设运动的时间为f秒.当t=_ 时，CP把ABC的面积分成相等的两部分；当t=5时，CP把ABC分成的两部分而积之比是 SUPC:S*BPC=_:当t=_ 时，ABPC的而积为18.例2.如图1,在ZXABC中，中线AM可以将AABC分成两个而积相等的三角形，即S好加(1)请在图2,图3中，用两种不同的方法将图中的四边形ABCD分成4个而积相等的小三角形：(2)如图4,在四边形ABCD的边上找到一点E,使得线段AE将四边形ABCD分为而积相等的两部分.图3 图4 Q 例3（1）已知：AABC中，AD
3、是BC边上的中线，P是AD 的一点，若ZVIBC的而积为阳 当点P是初的中点（即PD=片AD）时，APBC的而积=_（用含5的代数式表示）:当PD=LAD时，HPBC的面积=（用含s的代数式表示）：3 -当 PD=LA D时，HPBC的而积=_ （用含的代数式表示）.n （2）如图.AABC的面积为2cm2.D是AB边的中点，E为AC边上一点，且AE=2EC 0为DC与 BE的交点.若DBO的面积为acnr.A CEO的而积为hem2,求ab.例4.（1）如图1,在AABD中，BE是aBD的中线，则有 SUBE=_ SZS（2）在四边形ABCD中，E是AD边上的动点，分别连接AC、BD、EB和
4、EC,设EBC的面积为$,ABC的而枳为S2,ADBC的而积为S3.如图2,当AE=-AD时，试探究S,52,S3之间的关系，并写出求解过程；其他的等分点问题反过来在解决许多有关多边形如三角形四边形等的而积问题时如果我们能够快速地联想到三角形的厶面积如图中若动点从点开始按的路径运动且速度为每秒个单位运动的时间为秒当时把的面积分成相等的两部分当时两种不同的方法将图中的四边形分成个而积相等的小三角形如图在四边形的边上找到一点使得线段将四边形分为而积Q 2 如图3,当AE=-AD（n表示正整数）时，试探究Si,S2,之间的关系.n（直接给出答案，不必求解过程）图2 其他的等分点问题反过来在解决许多有
5、关多边形如三角形四边形等的而积问题时如果我们能够快速地联想到三角形的厶面积如图中若动点从点开始按的路径运动且速度为每秒个单位运动的时间为秒当时把的面积分成相等的两部分当时两种不同的方法将图中的四边形分成个而积相等的小三角形如图在四边形的边上找到一点使得线段将四边形分为而积Q 素养提升 1.如图，在AABC中，E、F分别是AD.CE边的中点，且S:r=4cm29则为（）A.cm2 B.2cm2 C.D 16c/?2 2.如图，在IWBC中E是BC上的一点，EC=2BE,点D是AC的中点，设ABC,ZBF的而积分别为 A.1 B.2 C.3 D.4 如图，三角形ABC内的线段BD、CE相交于点F,
6、已知FB=FD、FC=2FE 若ABFC的而积为2,则 四边形AEFD的面积等于（）5.如图，G为ZVIBC内一点，连接AG、BG、CG并延长分别交边BC、AC.AB于点F、D、E,则把 ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形而积已在图上标明，则AABC的面积为（）A.300 B 315 C 279 D 342 6.如图，AE.BD是ABC的两条中线，AE.BD交于F,则ABEF和AFD面积的大小关系是 7.如图，AABC的中线BD.CE相交于点G,GF丄BC,且BC=5,AC=3.GF=2,则四边形ADGE 的而积是 _ 8.如图，在ABC中，点D是BC边上任意一点，点F是线段AD的中点，
7、点E、点G分别为BF与CT 的中点，则S帕彩EFGD 9._ 如图，在ABC中.已知点D、E、F分别是BC、AD.BE上的中点，且/ABC3.w=12,则图中ABEG与ZkCDG的而积 D.5 V)D.7 4.C.4 其他的等分点问题反过来在解决许多有关多边形如三角形四边形等的而积问题时如果我们能够快速地联想到三角形的厶面积如图中若动点从点开始按的路径运动且速度为每秒个单位运动的时间为秒当时把的面积分成相等的两部分当时两种不同的方法将图中的四边形分成个而积相等的小三角形如图在四边形的边上找到一点使得线段将四边形分为而积Q 的而积为12cm2 9则 ABF的而积为 cm2.其他的等分点问题反过来
8、在解决许多有关多边形如三角形四边形等的而积问题时如果我们能够快速地联想到三角形的厶面积如图中若动点从点开始按的路径运动且速度为每秒个单位运动的时间为秒当时把的面积分成相等的两部分当时两种不同的方法将图中的四边形分成个而积相等的小三角形如图在四边形的边上找到一点使得线段将四边形分为而积Q 10如图，在长方形ABCD中，AB=8cm,BC=6cm.点E是CD边上的一点，且DE=2cm,动点P从A 点出发，以2cm/s的速度沿A-B-C-E运动，最终到达点E当的而积等于20cm2时，则点P 运动的时间-V.第10题图 第11题图 11.如图，已知ABG请你用两种不同的方法把它分成而积之比为八2/3的
9、三个三角形。12 操作示例:如图甲中,E,F分别为四边形ABCD的边ADBC的中点，设四边形ABCD的而积为S“护昨,则刃形妙杪和馮边盟m Z MJ 1曲足HJ人乐式为-解决问题：在图乙中，E,F,G,H分别为四边形ABCD的边AB.BC,CD的中点，并且图中 四边形丿KZJ的面枳为20cm2,求图中AE/、HBFK、ZkCG厶与/的面枳和.第7题图 图甲 其他的等分点问题反过来在解决许多有关多边形如三角形四边形等的而积问题时如果我们能够快速地联想到三角形的厶面积如图中若动点从点开始按的路径运动且速度为每秒个单位运动的时间为秒当时把的面积分成相等的两部分当时两种不同的方法将图中的四边形分成个而
10、积相等的小三角形如图在四边形的边上找到一点使得线段将四边形分为而积Q 13.(1)在图甲中，若久厶分别为AB,BC的中点，则Sg：Swc=_ (2)在图乙中，若DQ分别为朋的三等分点，环 鸟分别为BC的三等分点，求2&耳、AD2E2C 的而积和与AABC的而积比等于多少？并说明理由.(3)拓展：在图丙中，若222宀2分别为的(n+1)等分点，EEE“也分别为BC的(n+1)等分点，求SDEE2 SD2E2C，SDnEfJC的而积和与AABC的而积比等于多少？(直接写出 答案，不必求解过程)14.在如图/至图2中，8BC的而积为“.(1)操作：如图b分别延长ABC的边BC到点D,CA到点E,AB
11、到点F,使CD二BC,AE=CA,BF二AB,连结FD,FE,得到DEF(如图1).若增加部分的而积为则S】二 _.(用含“的代数 式表示).(2)发现：像上而那样，将ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到DEF,此时，我们称 厶ABC向外扩展了一次.可以发现，扩展一次后得到的ADEF的面积是原来AABC而积的 _ 倍.(3)应用：张明去年在而积为10的AABC空地上栽种了某种花卉.今年他准备扩大种植规模，把厶 ABC向外进行两次扩展成A/GH(如图2)求这两次扩展的区域而积共为多少 _ 亦？图甲 其他的等分点问题反过来在解决许多有关多边形如三角形四边形等的而积问题时如果我们能够快速地联
12、想到三角形的厶面积如图中若动点从点开始按的路径运动且速度为每秒个单位运动的时间为秒当时把的面积分成相等的两部分当时两种不同的方法将图中的四边形分成个而积相等的小三角形如图在四边形的边上找到一点使得线段将四边形分为而积Q 图1 图2其他的等分点问题反过来在解决许多有关多边形如三角形四边形等的而积问题时如果我们能够快速地联想到三角形的厶面积如图中若动点从点开始按的路径运动且速度为每秒个单位运动的时间为秒当时把的面积分成相等的两部分当时两种不同的方法将图中的四边形分成个而积相等的小三角形如图在四边形的边上找到一点使得线段将四边形分为而积Q 专题03三角形的中线与面积 思维索引】例1.略；SBDF=1
13、0.(2)6.5；1:4：扌或丰.例2(1)如图所示，(答案不唯一)例 3.(1)$gs：(2)2.例 4.(1)SMBE=*SA/WD.Si=*S2+*S3：Si=S2+仕丄 J 素养提升】1.D；2.A；3 B；4 C；5.B；6相等；7 10：8.4:1 9 3：10.弓或6 11 略：12 (1)S w边肆2S 必边形EBFD；(2)20cm2 13.(1)4(2)3 2(“+1)14.(1)6/(2)7；(3)480加(2)如图,其他的等分点问题反过来在解决许多有关多边形如三角形四边形等的而积问题时如果我们能够快速地联想到三角形的厶面积如图中若动点从点开始按的路径运动且速度为每秒个单位运动的时间为秒当时把的面积分成相等的两部分当时两种不同的方法将图中的四边形分成个而积相等的小三角形如图在四边形的边上找到一点使得线段将四边形分为而积