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1、 七年级数学专题训练 26 奇偶分析 阅读与思考 整数可以分为奇数和偶数，一个整数要么是奇数，要么是偶数，因此奇偶性是一个整数的固有属性，即奇数偶数 由于奇偶性是整数的固有属性，因此可以说奇偶性是整数的一种不变性，通过分析整数的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析 运用奇偶分析解题，常常要用到奇数和偶数的基本性质：1.奇数偶数.2.奇数奇数=偶数，奇数偶数=奇数，偶数偶数=偶数，奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和为偶数，若干个偶数的和是偶数.3.若干个奇数之积是奇数，偶数与任意整数之积是偶数.4.若a是整数，则a与a，a，na（n为自然数）有相同的奇偶性.5.设a，b是整数，则ba，ba，ba，
2、ba 都有相同的奇偶数.6.偶数的平方是 4 的倍数，奇数的平方是 4 的倍数加 1.例题与求解 【例 1】数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，的排列规律是：前两个数是 1，从第三个数开始，每一个数是它前面两个数的和，这个数列叫做斐波那契数列，在斐波那契数列的前 2 004 个数中共有_个偶数 (“希望杯”邀请赛试题)解题思路：本例关键是发现斐波那契数列的各项奇偶性的规律.【例 2】如果a，b，c都是正整数，且a，b是奇数，则cba2)1(3是().A只当c为奇数时，其值为奇数 B只当c为偶数时，其值为奇数 C只当c为 3 的倍数时，其值为奇数 D无论c为任意正整数时，其值均
3、为奇数（五城市联赛试题）解题思路：直接运用奇数偶数的性质作出选择 【例 3】能否找到自然数a和b，使222002ba.（“华罗庚金杯”邀请赛试题）解题思路：假设存在自然数a和b，使等式成立，则2002)(baba，从ba，ba 的奇偶性展开推理 【例 4】在 6 张纸片的正面分别写上整数 1，2，3，4，5，6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它们的反面也随意写上 16 这 6 个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出 6 个数，请你证明：所得的 6 个数中至少有两个是相同的.（北京市竞赛试题）解题思路：从反面入手，即设这 6 个数两两都不相等，利用iiba 与iiicba=1
4、，2，3，4，5，6的奇偶性相同，引入字母进行推理证明.【例 5】表甲是一个英文字母电子显示盘，每一次操作可以使某一行 4 个字母同时改变，或者使某一列4 个字母同时改变，改变的规则是：按照英文字母表的顺序，每个英文字母变成它下一个字母（即 A变成 B，B 变成 C最后字母 Z 变成 A）.问：能否经过若干次操作，使表甲变成表乙？如果能，请写出变化过程，如不能，说明理由.S O B R K B D S T Z E P H E X G H O C N R T B S A D V X C F Y A 表甲 表乙（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：表甲与表乙看上去没有规律，似乎不太容易将表甲变为表乙
5、（可以试一试），看是否能成功？如果是不能，就应找出不能的理由，解题的关键是如何将问题“数字化”，挖掘操作变化过程中的不变量或不变性.的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析运用奇偶分析解题常常要用到奇数和偶数的基本性质奇数偶数奇数奇数偶数奇奇数偶数与任意整数之积是偶数若是整数则与为自然数有相同的奇偶性设是整数则都有相同的奇偶数偶数的平方是的的和这个数列叫做斐波那契数列在斐波那契数列的前个数中共有个偶数希望杯邀请赛试题解题思路本例关键是发现斐【例 6】设1x，2x，nx为1 或1，并且nnnnxxxxxxxxxxxxxxxx123654354324321 0321211112xxxxxxxxxxxxn
6、nnnnn.证明n能被 4 整除.解题思路：应用整数的奇偶性解题，常需变化角度去考察问题，从而化难为易 能力训练 1若按奇偶分类，则20113212011321是_数.2已知a是质数，b是奇数，且20012 ba，则 ba_.（江苏省竞赛试题）3若质数m，n满足12975 nm，则nm 的值为_.（河北省竞赛试题）4在 12，22，32，952这 95 个数中，十位数字为奇数的数共有_个.（全国初中数学联赛试题）5将 1，2，3，4，5 这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么，满足要求的排法有()种.A.2 B.3 C.4 D.5
7、 6设a，b为整数，给出下列四个结论（1）若ba5是偶数，则ba3是偶数（2）若ba5是偶数，则ba3是奇数（3）若ba5是奇数，则ba3是偶数（4）若ba5是奇数，则ba3是奇数 其中正确结论的个数是()A.0 B.2 C.4 D.1 或 3（“五羊杯”竞赛试题）7如果a，b，c是三个任意整数，那么2ba，2cb，2ac()A.都不是整数 B.至少有两个是整数 C.至少有一个是整数 D.都是正数（“T1 杯”全国竞赛试题）8 将 1 000 到 1 997 这 998 个自然数任意排成一行，然后依次地求出三个相邻数的和，在这些和中，奇数的个数至多有()A.499 个 B.496 个 C.99
8、6 个 D.995 个 9 设1a，2a，1999a是 1，2，3，1999 的一个排列，求证：)1999()2()1(199921aaa为偶数.的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析运用奇偶分析解题常常要用到奇数和偶数的基本性质奇数偶数奇数奇数偶数奇奇数偶数与任意整数之积是偶数若是整数则与为自然数有相同的奇偶性设是整数则都有相同的奇偶数偶数的平方是的的和这个数列叫做斐波那契数列在斐波那契数列的前个数中共有个偶数希望杯邀请赛试题解题思路本例关键是发现斐 10在黑板上记上数 1，2，3，1 974，允许擦去任意两个数，且写上它们的和或差.重复这样的操作手续，直至在黑板上留下一个数为止.求证：这个数不
9、可能为零 （数学奥林匹克竞赛试题）11 你能找到三个整数a，b，c，使得关系式3388)()()()(acbcbacbacba成立吗？如果能找到，请举一例；如果找不到，请说明理由.（“希望杯”邀请赛试题）12设标有 A，B，C，D，E，F，G 记号的七盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关.现在 A，C，E，G 四盏灯开着，其余三盏灯是关的，小刚从灯 A开始，顺次拉动开关，即从 A到 G，再从 A开始顺次拉动开关，即又从 A到 G，他这样拉动了 1 999 次开关后，问哪几盏是开的？的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析运用奇偶分析解题常常要用到奇数和偶数的基本性质奇数偶数奇数奇数偶数奇奇数偶数与任
10、意整数之积是偶数若是整数则与为自然数有相同的奇偶性设是整数则都有相同的奇偶数偶数的平方是的的和这个数列叫做斐波那契数列在斐波那契数列的前个数中共有个偶数希望杯邀请赛试题解题思路本例关键是发现斐 专题 26 奇偶分析 例 1 668 提示：裴波拉数列各项的奇偶性规律是：从第一个数开始，每组连续的 3 个数中，前两个数是奇数，第三个数是偶数，又因为 20043668.所以前 2004 个数中共有 668 个偶数.例 2 D 例 3 假设存在自然数 a 和 b，使222002ab.则（ab）(ab)200221001，若 a，b 同为奇数或同为偶数，则（ab）（ab）必定是“偶数 偶数”；若 a，b
11、 为一奇一偶，则(ab)(ab)必定是“奇数 奇数”.上述两种情况均与等式右边的“偶数 奇数”相矛盾，故找不到自然数 a 和 b，使222002ab.例 4 提示：设 6 张卡片正面写的数是123456a,aa aaa，反面写的数对应为123456,b b b b b b，则这6 张卡片正面写的数与反面写的数的绝对值分别为112266,.,ababab.设这 6 个数两两都不相等，则它们只能取 0，1，2，5 这 6 个值，于是112266,.,ababab012 515 是个奇数.又iiab 与iiab（i1，2，3，6）的奇偶性相同，所以112266+.ababab 与 112266161
12、260.abababaabbb 的奇偶性相同，是个偶数，导致矛盾.例 5 提示：不能，理由如下：将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即 A用 1，B用 2，Z用 26 代替），这样表甲和表乙就分别变成了表丙和表丁：19 15 2 18 11 2 4 19 20 26 6 16 8 5 24 7 8 15 3 14 18 20 2 19 1 4 22 24 3 6 25 1 表丙 表丁 这样，每一次操作中字母的置换就相当于下面的置换：12，23，2526，261.显然，每次操作不改变这 16 个数字和的奇偶性，但表丙、表丁 16 个数字的和分别为 213，174，它们的奇偶性不同，故
13、表丙不能变成表丁，即表甲不能变成表乙 例 6 由于乘积12342345123,.,nx x x xx x x xx x x x都是1 或1，且总和为 0所以一定有偶数项，即 n的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析运用奇偶分析解题常常要用到奇数和偶数的基本性质奇数偶数奇数奇数偶数奇奇数偶数与任意整数之积是偶数若是整数则与为自然数有相同的奇偶性设是整数则都有相同的奇偶数偶数的平方是的的和这个数列叫做斐波那契数列在斐波那契数列的前个数中共有个偶数希望杯邀请赛试题解题思路本例关键是发现斐 一定是偶数 2m.将上面的 n 个数相乘，一方面，其中的1 和1 各有 m 个，所以它们的乘积为1m，另一方面，在乘
14、积中，12,.,xnxx作为因数都出现四次，所以乘积为1，于是11m，m 为偶数，故 n是 4 的倍数【能力训练】1偶 2.1999 提示：由2a b2 001 知2a，b 必为一奇一偶 又 a 是质数且 a 为偶数 a2，b 997，故 ab 1 999.3.19 或 25 4.19 提示：在2221210,.中，十位数字是奇数的只有24 16，26 36，两位数的平方可以表示为210ab=1002a 20ab2b，它的十位数的奇偶性与2b 十位数字的奇偶性相同，因此，b只能取 4 与 6，即相邻的每 10 个数中有两个数的十位数字是奇数 5D 提示：设12345,a aa aa是 1，2，
15、3，4，5 中一个满足要求的数列，首先，对于1234,a aa a不能连续两个都是偶数，否则这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾，其次，如果ia(1i3)是偶数，1ia是奇数，则1ia是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数所以，aaaaa只能是偶奇奇偶奇，故有如下 5 种情形满足条件：2，1，3，4，5;2，3，5，4，1;2，5，1，4，3;4，3，1，2，5；4，5，3，2，1.6B 7C 8D 9.提示：1219991219991219991219990.a.aaaaa 10考虑黑板上保留奇数的个数.经过一次操作，如果是一个奇数和一个偶数，则和
16、或差仍为奇数，奇数的个数保持不变 如果是两个奇数，则和或差为偶数奇数的个数减少 2 个；如果是两个偶数，则和或差为偶数奇数的个数保持不变.由以上分析知，经过操作，黑板上奇数的个数的奇偶性不变 由于一开始黑板上共有19749872奇数，即有奇数个奇数经过若干次操作后，黑板上一定仍保留着奇数个奇数，故留下的一个数不可能为 0 的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析运用奇偶分析解题常常要用到奇数和偶数的基本性质奇数偶数奇数奇数偶数奇奇数偶数与任意整数之积是偶数若是整数则与为自然数有相同的奇偶性设是整数则都有相同的奇偶数偶数的平方是的的和这个数列叫做斐波那契数列在斐波那契数列的前个数中共有个偶数希望杯邀请
17、赛试题解题思路本例关键是发现斐 11找不到满足条件的三个整数，理由如下：假设存在整数 a，b，c 满足等式，则左边四个式子中至少有一个是偶数，不妨 abc 为偶数，则 abc(abc)2b，abc(abc)2c，(bca)(abc)2a 都为偶数，从而左边能被 16 整除，而 3 388 不 能被 16 整除，得出矛盾 12.盏灯的开关被拉动奇数次后，改变原来的状态，而一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变原来的状态，因 1999 72854，又 A，B，C，D四盏灯的开关各被拉动了 286 次，而 E，F，G 三盏灯的开关各被拉动了 285 次，所以，小刚拉动了 1 999 次开关后，A，B，C，D四灯不改变状态，E，F，G 三灯将改变原来的状态，故 A，C，F最后是开着的.的奇偶性来解决问题的方法叫奇偶分析运用奇偶分析解题常常要用到奇数和偶数的基本性质奇数偶数奇数奇数偶数奇奇数偶数与任意整数之积是偶数若是整数则与为自然数有相同的奇偶性设是整数则都有相同的奇偶数偶数的平方是的的和这个数列叫做斐波那契数列在斐波那契数列的前个数中共有个偶数希望杯邀请赛试题解题思路本例关键是发现斐