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1、 大 学 物 理 课 后 习 题 答 案 第 二 章 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 第二章 运动定律与力学中的守恒定律(一)牛顿运动定律 2 1 一个重量为 P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为）上以初速度0vr运动，0vr的方向与斜面底边的水平约 AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道 解答 质点在斜上运动的加速度为 a=g sin，方向与初速度方向垂直其运动方程为 x=v0t，2 21 1sin2 2y at g t 将 t=x/v0，代入后一方程得质点的轨道方程为 220sin gy xv，这是抛物线方程 2 2 桌上有一质量 M=1kg 的平板，板上放一质量 m=2
2、kg 的另一物体，设物体与板、板与桌面之间的滑动摩擦因素均为 k=0.25，静摩擦因素为 s=0.30求：（1）今以水平力Fr拉板，使两者一起以 a=1m s-2的加速度运动，试计算物体与板、与桌面间的相互作用力；（2）要将板从物体下面抽出，至少需要多大的力？解答（1）物体与板之间有正压力和摩擦力的作用 板对物体的支持大小等于物体的重力：Nm=mg=19.6(N)，这也是板受物体的压力的大小，但压力方向相反 物体受板摩擦力做加速运动，摩擦力的大小为：fm=ma=2(N)，这也是板受到的摩擦力的大小，摩擦力方向也相反 板受桌子的支持力大小等于其重力：NM=(m+M)g=29.4(N)，这也是桌子
3、受板的压力的大小，但方向相反 板在桌子上滑动，所受摩擦力的大小为：fM=kNM=7.35(N)这也是桌子受到的摩擦力的大小，方向也相反（2）设物体在最大静摩擦力作用下和板一起做加速度为 a 的运动，物体的运动方程为 f=smg=ma，可得 a=sg 板的运动方程为 F f k(m+M)g=Ma，即 F=f+Ma+k(m+M)g=(s+k)(m+M)g，算得 F=16.17(N)因此要将板从物体下面抽出，至少需要 16.17N 的力 A B v0 P 图 2.1 Nm fm NM fM a Nm f NM f f F a 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 2 3 如图所示：已知 F
4、=4N，m1=0.3kg，m2=0.2kg，两物体与水平面的的摩擦因素匀为 0.2求质量为 m2的物体的加速度及绳子对它的拉力（绳子和滑轮质量均不计）解答 利用几何关系得两物体的加速度之间的关系为 a2=2a1，而力的关系为 T1=2T2 对两物体列运动方程得 T2-m2g=m2a2，F T1 m1g=m1a1 可以解得 m2的加速度为 1 221 2(2)/2 2F m m gam m=4.78(m s-2)，绳对它的拉力为 211 2(/2)/2 2mT F m gm m=1.35(N)2 4 两根弹簧的倔强系数分别为 k1和 k2求证：（1）它们串联起来时，总倔强系数 k 与 k1和 k
5、2满足关系关系式1 21 1 1k k k；（2）它们并联起来时，总倔强系数 k=k1+k2 解答 当力 F 将弹簧共拉长 x 时，有 F=kx，其中 k 为总倔强系数 两个弹簧分别拉长 x1和 x2，产生的弹力分别为 F1=k1x1，F2=k2x2（1）由于弹簧串联，所以 F=F1=F2，x=x1+x2，因此 1 21 2F F Fk k k，即：1 21 1 1k k k（2）由于弹簧并联，所以 F=F1+F2，x=x1=x2，因此 kx=k1x1+k2x2，即：k=k1+k2 2 5 如图所示，质量为 m 的摆悬于架上，架固定于小车上，在下述各种情况中，求摆线的方向（即摆线与竖直线的夹角
6、）及线中的张力 T（1）小车沿水平线作匀速运动；（2）小车以加速度1ar沿水平方向运动；（3）小车自由地从倾斜平面上滑下，斜面与水平面成 角；（4）用与斜面平行的加速度1br把小车沿斜面往上推（设 b1=b）；（5）以同样大小的加速度2br（b2=b），将小车从斜面上推下来 解答（1）小车沿水平方向做匀速直线运动时，摆在水平方向没有受到力的作用，摆线偏角为零，线中张力为 T=mg m2 F T1 a1 m1 T2 a2 f1 f2 图 2.3 k1 k2 F(a)k1 k2 F 图 2.4(b)图 2.5 T mg ma（2）精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（2）小车在水平方向做
7、加速运动时，重力和拉力的合力就是合外力由于 tan=ma/mg，所以=arctan(a/g)；绳子张力等于摆所受的拉力：2 2 2 2()()T ma mg m a g（3）小车沿斜面自由滑下时，摆仍然受到重力 和拉力，合力沿斜面向下，所以=；T=mg cos（4）根据题意作力的矢量图，将竖直虚线延 长，与水平辅助线相交，可得一直角三角形，角的 对边 是 mbcos，邻边是 mg+mb sin，由此可得：costansinmbmg mb，因此角度为 cosarctansinbg b；而张力为 2 22 sin m b g bg（5）与上一问相比，加速度的 方向反向，只要将上一结果中的 b 改为
8、-b 就行了 2 6 如图所示：质量为 m=0.10kg 的小球，拴在长度 l=0.5m 的轻绳子的一端，构成一个摆摆动时，与竖直线的最大夹角为 60 求：（1）小球通过竖直位置时的速度为多少？此时绳的张力多大？（2）在 60 的任一位置时，求小球速度 v 与 的关系式这时小球的加速度为多大？绳中的张力多大？（3）在=60 时，小球的加速度多大？绳的张力有多大？解答（1）小球在运动中受到重力和绳子的拉力，由于小球沿圆弧运动，所以合力方向沿着圆弧的切线方向，即 F=-mgsin，负号表示角度 增加的方向为正方向 小球的运动方程为 22ddsF ma mt，其中 s表示弧长由于 s=R=l，所以速
9、度为 d dd dsv lt t，因此 d d d dd d d dv v m vF m m vt t l，即 vdv=-glsin d，（1）T mg ma（3）T mg mb（4）T mg mb（5）l m B C O 图 2.6 l m B C O mg T 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 取积分 00 60d sin dBvv v gl，得 02601cos2Bv gl，解得：Bv gl=2.21(m s-1)由于：2 2B BBv vT mg m m mgR l，所以 TB=2mg=1.96(N)（2）由（1）式积分得 21cos2Cv gl C，当=60时，vC=0
10、，所以 C=-lg/2，因此速度为(2cos 1)Cv gl 切向加速度为 at=g sin；法向加速度为 2(2cos 1)Cnva gR 由于 TC mgcos=man，所以张力为 TC=mgcos+man=mg(3cos 1)（3）当=60时，切向加速度为 32ta g=8.49(m s-2)，法向加速度为 an=0，绳子的拉力 T=mg/2=0.49(N)注意 在学过机械能守恒定律之后，求解速率更方便 2 7 小石块沿一弯曲光滑轨道上由静止滑下 h 高度时，它的速率多大？（要求用牛顿第二定律积分求解）解答 小石块在运动中受到重力和轨道的支持力，合力方向沿着曲线方向设切线与竖直方向的夹角
11、为，则 F=mg cos 小球的运动方程为 22ddsF ma mt，s表示弧长 由于ddsvt，所以 22d d d d d d d()d d d d d d ds s v v s vvt t t t s t s，因此 vdv=g cos ds=g dh，h表示石下落的高度 积分得 212v gh C，当 h=0 时，v=0，所以 C=0，因此速率为 2 v gh h m N mg 图 2.7 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 2 8 质量为 m 的物体，最初静止于 x0，在力2kfx(k 为常数)作用下沿直线运动证明物体在 x 处的速度大小 v=2 k(1/x 1/x0)/m
12、1/2 证明 当物体在直线上运动时，根据牛顿第二定律得方程 利用 v=dx/dt，可得 22d d d d dd d d d dx v x v vvt t t x x，因此方程变为 2ddk xmv vx，积分得 212kmv Cx 利用初始条件，当 x=x0时，v=0，所以 C=-k/x0，因此 2012k kmvx x，即 02 1 1()kvm x x 证毕 讨论 此题中，力是位置的函数：f=f(x)，利用变换可得方程：mvdv=f(x)dx，积分即可求解 如果 f(x)=-k/xn，则得21 d2nxmv kx（1）当 n=1 时，可得21ln2mv k x C 利用初始条件 x=x0
13、时，v=0，所以 C=lnx0，因此 201ln2xmv kx，即 02lnx kvm x（2）如果 n 1，可得2 112 1nkmv x Cn 利用初始条件 x=x0时，v=0，所以101nkC xn，因此 21 101 1 1()2 1n nkmvn x x，即 1 102 1 1()(1)n nkvn m x x 当 n=2 时，即证明了本题的结果 2 9 一质量为 m 的小球以速率 v0从地面开始竖直向上运动在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为 k求：精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（1）小球速率随时间的变化关系 v(t)；（2）小球上升到最大高度
14、所花的时间 T 解答（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程 ddvf mg kv mt，分离变量得d d()dv m mg kvt mmg kv k mg kv，积分得ln()mt mg kv Ck 当 t=0 时，v=v0，所以0ln()mC mg kvk，因此0 0/ln ln/m mg kv m mg k vtk mg kv k mg k v，小球速率随时间的变化关系为 0()exp()mg kt mgv vk m k（2）当小球运动到最高点时 v=0，所需要的时间为 0 0/ln ln(1)/mg k v kv m mTk mg
15、k k mg 讨论（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤：由于 v=dx/dt，所以 0d()exp()dmg kt mgx v tk m k，即 0(/)d d exp()dm v mg k kt mgx tk m k，积分得 0(/)exp()m v mg k kt mgx t Ck m k，当 t=0 时，x=0，所以 0(/)m v mg kCk，因此 0(/)1 exp()m v mg k kt mgx tk m k（2）如果小球以 v0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为 ddvf mg kv mt，精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 用同样
16、的步骤可以解得小球速率随时间的变化关系为 0()exp()mg mg ktv vk k m 这个公式可将上面公式中的 g 改为-g 得出由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数 vm=mg/k 2 10 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为 R一物体帖着环带内侧运动，物体与环带间的滑动摩擦因数为 k设物体在某时刻经A 点时速率为 v0，求此后时刻 t 物体的速率以及从 A 点开始所经过的路程 解答 物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即 N=mv2/R 物体所受的摩擦力为 f=-kN，负号表示力的方向与速度的方向相反 根据牛顿第二定律得 2ddkv vf m
17、mR t，即：2dd kvtR v 积分得：1k t CR v 当 t=0 时，v=v0，所以01Cv，因此 01 1k tR v v 解得 001/kvvv t R 由于 0 00 0d d(1/)d1/1/kk k kv t v t R Rxv t R v t R，积分得 0 ln(1)kkv t Rx CR，当 t=0 时，x=x0，所以 C=0，因此0 ln(1)kkv t RxR 2 11 如图所示，一半径为 R 的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动在环上套有一珠子今逐渐增大圆环的转动角速度，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角 表示 解答 珠子受
18、到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为 珠子做圆周运动的向心力，其大小为：F=mg tg 珠子做圆周运动的半径为 r=R sin 根据向心力公式得 F=mg tg=m2Rsin，可得 A R v0 图2.10 m R r mg 图 2.11 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 2cosmgR，解得 2arccosgR(二)力学中的守恒定律 2 12 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动弹力 F=-kx，而位移 x=Acost，其中 k，A 和 都是常数求在 t=0 到 t=/2 的时间间隔内弹力予小球的冲量 解答 方法一：利用冲量公式 根据冲量的定义得 dI=F dt=-kA
19、cost dt，积分得冲量为/20(cos)d I kA t t，方法二：利用动量定理 小球的速度为 v=dx/dt=-A sint，设小球的质量为 m，其初动量为 p1=mv1=0，末动量为 p2=mv2=-mA，小球获得的冲量为 I=p2 p1=-mA，可以证明 k=m2，因此 I=-kA/2 13 一个质量 m=50g，以速率的 v=20m s-1作匀速圆周运动的小球，在1/4 周期内向心力给予小球的冲量等于多少？解答 小球动量的大小为 p=mv，但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义 2 1p p p r r r 得：2 1p p p r r r，由此可作矢量三角形，可得：2
20、 2 p p mv 因此向心力给予小球的的冲量大小为I p=1.41(N s)注意 质点向心力大小为 F=mv2/R，方向是指向圆心的，其方向在 不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量 2/4 2R T Tmv mvR 假设小球被轻绳拉着以角速度=v/R 运动，拉力的大小就是向心力 F=mv2/R=mv，其分量大小分别为 Fx=F cos=F cost，Fy=F sin=F sint，给小球的冲量大小为 dIx=Fxdt=F cost dt，dIy=Fydt=F sint dt，积分得 Fmv，O x F x m 图 2.12 m R p1 p2 p p1 m R Fx y F Fy x
21、O 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 Fmv，合冲量为 2 22x yI I I mv，与前面计算结果相同，但过程要复杂一些 2 14 用棒打击质量 0.3kg，速率等于 20m s-1的水平飞来的球，球飞到竖直上方 10m 的高度求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为 0.02s，求球受到的平均冲力？解答 球上升初速度为2yv gh=14(m s-1)，其速度的增量为2 2x yv v v=24.4(m s-1)棒给球冲量为 I=m v=7.3(N s)，对球的作用力为（不计重力）：F=I/t=366.2(N)2 15 如图所示，三个物体 A、B、C，每个质量都为M，B 和
22、 C 靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为 0.4m 的细绳，首先放松 B 的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与 A 相连已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定问 A 和 B 起动后，经多长时间 C也开始运动？C 开始运动时的速度是多少？（取 g=10m s-2）解答 物体 A 受到重力和细绳的拉力，可列方程 Mg T=Ma，物体 B 在没有拉物体 C 之前在拉力 T 作用下做加速运动，加速度大小为 a，可列方程：T=Ma，联立方程可得：a=g/2=5(m s-2)根据运动学公式：s=v0t+at2/2，可得 B 拉 C 之前的运动时间；2/t s a=0.4(s)此时 B
23、 的速度大小为：v=at=2(m s-1)物体 A 跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动 A 和 B拉动 C 运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得：2Mv=3Mv，因此 C 开始运动的速度为：v=2v/3=1.33(m s-1)2 16 一炮弹以速率 v0沿仰角 的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此 45 仰角上飞，一块沿 45 俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速率各为多少？解答 炮弹在最高点的速度大小为 v=v0cos，方向沿水平方向 根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的 总动量，可作矢量三角形，列方程得/2 cos 452mmv
24、v，所以 v=v/cos45=02 cos v C B A 图 2.15 vx v vy v0 v v v 45 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 2 17 如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为 R设马对雪橇的拉力总是平行于路面雪橇的质量为 m，它与路面的滑动摩擦因数为 k当把雪橇由底端拉上 45 圆弧时，马对雪橇做了多少功？重力和摩擦力各做了多少功？解答 取弧长增加的方向为正方向，弧位移dsr的大小为 ds=Rd 重力Gr的大小为：G=mg，方向竖直向下，与位移元的夹角为+，所做的功元为 sin d mgR，积分得重力所做的功为 2
25、(1)2mgR 摩擦力fr的大小为：f=kN=kmgcos，方向与弧位移的方向相反，所做的功元为 cos dku mg R，积分得摩擦力所做的功为 4502sin2k kmgR mgR 要使雪橇缓慢地匀速移动，雪橇受的重力Gr、摩擦力fr和马的拉力Fr就是平衡力，即 0 F G f r r r，或者()F G f r r r 拉力的功元为：d d(d d)W F s G s f s r r rr r r1 2(d d)W W，拉力所做的功为 1 2()W W W 2 2(1)2 2kmgR 由此可见，重力和摩擦力都做负功，拉力做正功 2 18 一质量为 m 的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定
26、，此质点在粗糙水平面上作半径为 r 的圆周运动设质点最初的速率是 v0，当它运动 1 周时，其速率变为 v0/2，求：（1）摩擦力所做的功；（2）滑动摩擦因数；（3）在静止以前质点运动了多少圈？解答（1）质点的初动能为：E1=mv02/2，末动能为：E2=mv2/2=mv02/8，动能的增量为：Ek=E2 E1=-3mv02/8，这就是摩擦力所做的功 W（2）由于 dW=-fds=-kNds=-kmgrd，积分得：R 45 mg N F f ds 图 2.17 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 20()d 2k kW mgr mgr 由于 W=E，可得滑动摩擦因数为 20316k
27、vgr（3）在自然坐标中，质点的切向加速度为：at=f/m=-kg，根据公式 vt2 vo2=2ats，可得质点运动的弧长为 2 20 082 2 3kv v rsa g，圈数为 n=s/2 r=4/3 注意 根据用动能定理，摩擦力所做的功等于质点动能的增量：-fs=E k，可得 s=-E k/f，由此也能计算弧长和圈数。2 19 如图所示，物体 A 的质量 m=0.5kg，静止于光滑斜面上它与固定在斜面底 B 端的弹簧 M 相距 s=3m弹簧的倔强系数 k=400N m-1斜面倾角为 45 求当物体 A 由静止下滑时，能使弹簧长度产生的最大压缩量是多大？解答 取弹簧自然伸长处为重力势能和弹性
28、势能的零势点，由于物体 A 和弹簧组成的系统只有保守力做功，所以机械能守恒，当弹簧压缩量最大时，可得方程 21sin sin2mgs mgx kx，整理和一元二次方程 21sin sin 02kx mgx mgs，解得 2sin(sin)2 sin mg mg kmgxk=0.24(m)（取正根）2 20 一个小球与另一质量相等的静止小球发生弹性碰撞如果碰撞不是对心的，试证明：碰撞后两小球的运动方向彼此垂直 证明 设一个小球碰撞前后的速度大小分别为 v0和 v1，另一小球的在碰撞后的速度大小为 v2，根据机械能守恒得 2 2 20 1 21 1 12 2 2mv mv mv，即 2 2 20
29、1 2v v v；根据动量守恒得：0 1 2p p p r r r，其中各动量的大小为：p0=mv0、p1=mv1和 p2=mv2，对矢量式两边同时平方并利用1 2 1 2cos p p mv mv r r 得：2 2 20 1 2 1 22 cos p p p p p，=45 A B s=3m 图 2.19 p1 p2 p0 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 即：2 2 2 2 2 2 20 1 2 1 22 cos m v m v m v m v v 化简得：2 2 20 1 2 1 22 cos v v v v v，结合机械能守恒公式得：2v1v2cos=0，由于 v1和
30、v2不为零，所以：=/2，即碰撞后两小球的运动方向彼此垂直 2 21 如图所示，质量为 1.0kg 的钢球 m1系在长为 0.8m 的绳的一端，绳的另一端 O 固定把绳拉到水平位置后，再把它由静止释放，球在最低点处与质量为 5.0kg 的钢块 m2作完全弹性碰撞，求碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度 解答 钢球下落后、碰撞前的速率为：12 v gl 钢球与钢块碰撞之后的速率分别为 v1 和 v1，根据机械能守恒和动量守恒得方程 2 2 21 1 1 1 2 21 1 1 2 2 2m v m v m v，1 1 1 1 2 2m v m v m v 整理得2 2 21 1 1 2 2()m v
31、 v m v 1 1 1 2 2()m v v m v 将上式除以下式得：v1+v1=v2，代入整理的下式得 1 1 1 1 2 1 2 1m v m v m v m v，解得 1 2 111 2()m m vvm m 碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度为 22 21 1 211 21()2 2v m mh vg g m m 21 21 2()m mlm m=0.36(m)讨论 如果两个物体的初速率都不为零，发生对心弹性碰撞时，同样可列出机械能和动量守恒方程 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 21 1 1 1 2 2 2 2m v m v m v m v，1 1 2 2 1 1 2 2
32、m v m v m v m v 同理可得 1 1 2 2v v v v 从而解得1 2 1 2 211 2()2 m m v m vvm m，或者1 1 2 21 11 22()m v m vv vm m；将下标 1 和 2对调得 2 1 2 1 121 2()2 m m v m vvm m，或者1 1 2 22 21 22()m v m vv vm m 后一公式很好记忆，其中1 1 2 21 2m v m vm m代表质心速度 l=0.8m m2 m1 O 图 2.21 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 2 22 一质量为 m 的物体，从质量为 M 的圆弧形槽顶端由静止滑下，设
33、圆弧形槽的半径为 R，张角为/2，如图所示，所有摩擦都忽略，求：（1）物体刚离开槽底端时，物体和槽的速度各是多少？（2）在物体从 A 滑到 B 的过程中，物体对槽所做的功W；（3）物体到达 B 时对槽的压力 解答（1）物体运动到槽底时，根据机械能定律守恒得 2 21 12 2mgR mv MV，根据动量守恒定律得：0=mv+MV 因此 2 21 1()2 2mgR mv MVM 2 21 1()2 2mv mvM，解得 2MgRvM m，从而解得：2()gRV mM M m（2）物体对槽所做的功等于槽的动能的增量 2212m gRW MVM m（3）物体在槽底相对于槽的速度为(1)m M mv
34、 v V v vM M 2()M m gRM，物体受槽的支持力为 N，则 2 vN mg mR，因此物体对槽的压力为 2 2(3)v mN mg m mgR M 2 23 在实验室内观察到相距很远的一个质子（质量为 mp）和一个氦核（质量为 4mp）沿一直线相向运动；速率都是 v0，求两者能达到的最近距离 解答 当两个粒子相距最近时，速度相等，根据动量守恒定律得 4mpv0-mpv0=(4mp+mp)v，因此 v=3v0/5 质子和氦核都带正电，带电量分别为 e 和 2e，它们之间的库仑力是保守力根据能量守恒定律得 22 2 2p 0 p 0 pm1 1 1 2e(4)(5)2 2 2m v
35、m v m v kr，m M A B R v V 图 2.22 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 因此22 2 2p 0 p 0m2e 5 8()2 5k m v v m vr，所以最近距离为：2m2p 05ke4rm v 2 24 如图所示，有一个在竖直平面上摆动的单摆问：（1）摆球对悬挂点的角动量守恒吗？（2）求出 t 时刻小球对悬挂点的角动量的方向，对于不同的时刻，角动量的方向会改变吗？（3）计算摆球在 角时对悬挂点角动量的变化率 解答（1）由于单摆速度的大小在不断发生改变，而方向与弧相切，因此动量矩 l 不变；由于角动量 L=mvl，所以角动量不守恒（2）当单摆逆时针运动
36、时，角动量的方向垂直纸面向外；当单摆顺时针运动时，角动量的方向垂直纸面向里，因此，在不同的时刻，角动量的方向会改变（3）质点对固定点的角动量的变化率等于质点所受合外力对同一点的力矩，因此角动量的变化率为 dsindLM F l mglt 2 25 证明行星在轨道上运动的总能量为1 2GMmEr r 式中 M 和 m 分别为太阳和行星的质量，r1和 r2分别为太阳和行星轨道的近日点和远日点的距离 证明 设行星在近日点和远日点的速度分别为 v1和 v2，由于只有保守力做功，所以机械能守恒，总能量为 21112GMmE mvr（1）和 22212GMmE mvr（2）它们所组成的系统不受外力矩作用，
37、所以行星的角动量守恒行星在两点的位矢方向与速度方向垂直，可得角动量守恒方程 mv1r1=mv2r2，即 v1r1=v2r2(3)将（1）式各项同乘以 r12得：Er12=m(v1r1)2/2-GMmr1，(4)将（2）式各项同乘以 r22得：Er22=m(v2r2)2/2-GMmr2，(5)将（5）式减（4）式，利用（3）式，可得：E(r22-r12)=-GMm(r2-r1)，(6)由于 r1不等于 r2，所以：（r2+r1)E=-GMm，故 1 2GMmEr r 证毕（三）刚体定轴转动 2 26 质量为 M 的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为 R1和R2，求对通过其中心轴的转动惯量 解
38、答 设圆柱体的高为 H，其体积为 r1 r2 v1 v2 l m 图R1 R2 O O H 图 2.26 l mg N 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 V=(R22 R12)h，体密度为=M/V 在圆柱体中取一面积为 S=2 RH，厚度为 dr 的薄圆壳，体积元为 dV=Sdr=2 rHdr，其质量为 dm=dV，绕中心轴的转动惯量为 dI=r2dm=2 Hr3dr，总转动惯量为 2 22 11()2m R R 2 27 一矩形均匀薄板，边长为 a 和 b，质量为 M，中心 O 取为原点，坐标系 OXYZ如图所示试证明：（1）薄板对 OX 轴的转动惯量为 2112OXI Mb；
39、（2）薄板对 OZ 轴的转动惯量为2 21()12OZI M a b 证明 薄板的面积为 S=ab，质量面密度为=M/S（1）在板上取一长为 a，宽为 dy 的矩形元，其面积为 dS=ady，其质量为 dm=dS，绕 X 轴的转动惯量为 dIOX=y2dm=ay2dy，积分得薄板对 OX 轴的转动惯量为/2/22 3/2/21d3b bOXb bI a y y a y 3 21 112 12ab Mb 同理可得薄板对 OY 轴的转动惯量为 2112OYI Ma（2）方法一：平行轴定理在板上取一长为 b，宽为 dx 的矩形元，其面积为 dS=b dx，质量为 dm=dS，绕过质心的 OZ 轴的转
40、动惯量等于绕 OX 轴的转动惯量 dIOZ=b2dm/12 根据平行轴定理，矩形元对 OZ 轴的转动惯量为 dIOZ=x2dm+dIOZ=bx2dx+b2dm/12，积分得薄板对 OZ 轴的转动惯量为 a O b X Y Z 图 2.27 a O b X Y Z Z O y x r 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除/22 2/2 01d d12a MOZaI b x x b m/23 2/21 13 12aab x b M 2 21()12M a b 方法二：垂直轴定理在板上取一质量元 dm，绕 OZ 轴的转动惯量为 dIOZ=r2dm 由于 r2=x2+y2，所以 dIOZ=(
41、x2+y2)dm=dIOY+dIOX，因此板绕 OZ 轴的转动惯量为 2 21()12OZ OY OXI I I M a b 2 28 一半圆形细杆，半径为 R，质量为 M，求对过细杆二端 AA 轴的转动惯量 解答 半圆的长度为 C=R，质量的线密度为=M/C 在半圆上取一弧元 ds=Rd，其质量为 dm=ds，到 AA 轴的距离为 r=R sin，绕此轴的转动惯量为 dI=r2dm=R3sin2 d，半圆绕 AA 轴的转动惯量为 2 29 如图所示，在质量为 M，半径为 R 的匀 质圆盘上挖出半径为 r 的两个圆孔圆孔中心在圆盘半 径的中点求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴 线的转动惯量
42、 解答 大圆的面积为 S=R2，质量的面密度为=M/S 大圆绕过圆心且与盘面垂直的轴线的转动惯量为 IM=MR2/2 小圆的面积为 s=r2，质量为 m=s，绕过自己圆心且垂直圆面的轴的转动惯量为 IC=mr2/2，根据平行轴定理，绕大圆轴的转动惯量为 Im=IC+m(R/2)2 2 2 21(2)4r r R 22 221(2)4rM r RR，剩余部分的转动惯量为 42 221 22()2M mrI I I M R rR 2 30 飞轮质量 m=60kg，半径 R=0.25m，绕水平中心轴 O 转动，转速为900r min-1现利用一制动用的轻质闸瓦，在剖杆一端加竖直方向的制动力Fr，可使
43、飞轮减速闸杆尺寸如图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦因数=0.4，飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算（1）设 F=100N，问可使飞轮在多长时间内停止转动？这段时间飞轮转了多少转？（2）若要在 2s 内使飞轮转速减为一半，需加多大的制动力 F？解答 设飞轮对闸瓦的支持力为 N，以左端为转动轴，在力矩平衡时有：0.5N 1.25F=0，所以：N=2.5F=250(N)A A R 图O r R r 图O 0.50 F 0.75 图 2.30 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 闸瓦对飞轮的压力为;N=N=250(N)，与飞轮之间摩擦力为：f=N=100(N)，摩擦力产生的力矩为：M=fR 飞轮的
44、转动惯量为：I=mR2/2，角加速度大小为：=-M/I=-2 f/mR=-40/3(rad s-2)，负号表示其方向与角速度的方向相反 飞轮的初角速度为 0=30(rads-1)根据公式=0+t，当=0 时，t=-0/=7.07(s)再根据公式 2=02+2，可得飞轮转过的角度为=-02/2=333(rad)，转过的圈数为 n=/2=53r 注意 圈数等于角度的弧度数除以 2（2）当 t=2s，=0/2 时，角加速度为=-0/2t=-7.5 力矩为 M=-I，摩擦力为 f=M/R=-mR/2=(7.5)2 闸瓦对飞轮的压力为 N=f/，需要的制动力为 F=N/2.5=(7.5)2=176.7(
45、N)2 31 一轻绳绕于 r=0.2m 的飞轮边缘，以恒力 F=98N 拉绳，如图（a）所示已知飞轮的转动惯量 I=0.5kg m2，轴承无摩擦求（1）飞轮的角加速度（2）绳子拉下 5m 时，飞轮的角速度和动能（3）将重力 P=98N 的物体挂在绳端，如图（b）所示，再求上面的结果 解答（1）恒力的力矩为 M=Fr=19.6(N m)，对飞轮产生角加速度为=M/I=39.2(rad s-2)（2）方法一：用运动学公式飞轮转过的角度为=s/r=25(rad)，由于飞轮开始静止，根据公式 2=2，可得角速度为 2=44.27(rads-1)；飞轮的转动动能为 Ek=I2/2=490(J)方法二：用
46、动力学定理拉力的功为 W=Fs=490(J)，根据动能定理，这就是飞轮的转动动能 Ek 根据公式 Ek=I2/2，得角速度为 2/kE I=44.27(rad s-1)(3)物体的质量为 m=P/g=10(kg)设绳子的张力为 T，则 P T=ma，Tr=I 由于 a=r，可得 Pr=mr2+I，解得角加速度为 2Prmr I=21.8(rad s-2)绳子的张力为 2I IPTr mr I=54.4(N)F=98N P=98N m(a)(b)图 2.31 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 张力所做的功为 W=Ts=272.2(J)，这就是飞轮此时的转动动能 Ek飞轮的角速度为
47、2/kE I=33(rad s-1)2 32 质量为 m，半径为 R 的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动，如图所示盘与水平面的摩擦因数为，圆盘从初角速度为 0到停止转动，共转了多少圈？解答 圆 盘对水平面的压力为 N=mg，压在水平面上的面积为 S=R2，压强为 p=N/S=mg/R2 当圆盘滑动时，在盘上取一半径为 r、对应角为 d 面积元，其面积为 dS=rd dr，对水平面的压力为 dN=pdS=prdrd，所受的摩擦力为 df=dN=pr drd，其方向与半径垂直，摩擦力产生的力矩为 dM=rdf=pr2drd，总力矩为 220 0d dRM pr r 3123p R 23mgR 圆盘的
48、转动惯量为 I=mR2/2，角加速度大小为 43M gI R，负号表示其方向与角速度的方向相反 根据转动公式 2=02+2，当圆盘停止下来时=0，所以圆盘转过的角度为 2 20 032 8Rg，转过的圈数为 2032 16Rng 注意 在圆盘上取一个细圆环，其面积为 ds=2 rdr，这样计算力矩等更简单。2 33 一个轻质弹簧的倔强系数为 k=2.0N m-1它的一端固定，另一端通过一条细线绕过定滑轮和一个质量为 m1=80g 的物体相连，如图所示定滑轮可看作均匀圆盘，它的半径为 r=0.05m，质量为 m=100g先用手托住物体m1，使弹簧处于其自然长度，然后松手求物体 m1下降 h=0.
49、5m 时的速度多大？忽略滑轮轴上的摩擦，并认为绳在滑轮边上不打滑 解答 根据机械能守恒定律可列方程 2 2 21 11 1 12 2 2m gh m v I kh，其中 I=mr2/2，=v/r，可得 2m1gh kh2=m1v2+mv2/2，R 0 O 图 2.32 m1 m1 m h r 图 2.33 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 解得 2112/2m gh khvm m=1.48(m s-1)2 34 均质圆轮 A 的质量为 M1，半径为 R1，以角速度 绕 OA 杆的 A 端转动，此时，将其放置在另一质量为 M2的均质圆轮 B 上，B 轮的半径为 R2 B 轮原来静止
50、，但可绕其几何中心轴自由转动放置后，A 轮的重量由 B 轮支持略去轴承的摩擦与杆 OA 的重量，并设两轮间的摩擦因素 为，问自 A 轮放在 B 轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多长时间？解答 圆轮 A 对 B 的压力为 N=M1g，两轮之间的摩擦力大小为 f=N=M1g，摩擦力对 A 的力矩大小为 MA=fR1=M1gR1，摩擦力对 B 的力矩大小为 MB=fR2=M1gR2，设 A 和 B 的角加速度大小分别为 A和 B，转动惯量分别为 IA和 IB，根据转动定理得方程 MA=IAA，即 A=MA/IA 同理可得 B=MB/IB 当两轮没有相对滑动时，它们就具有相同的线速度 v，A 的