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1、北京市 Earlybird 平面直角坐标系及函数的图象 易错清单 1.能确定较复杂函数的自变量取值范围吗?【例 1】(2014 山东济宁)函数 中的自变量 x 的取值范围是().A.x 0 B.x-1 C.x0 D.x 0 且 x-1【解析】根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于 0,分母不等于 0,可以求出 x 的范围.【答案】根据题意,得 x 0 且 x+1 0,解得 x 0.故选 A.【误区纠错】本题考查了自变量的取值范围,函数自变量的范围一般从三个方面考虑:当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0;当函数表达式是二次根式时,被
2、开方数非负.2.能利用直角坐标系探讨点的坐标的变化规律.【例 2】(2014 山东泰安)如图,在平面直角坐标系中,将 ABO 绕点 A顺时针旋转到 AB1C1的位置,点 B,O分别落在点 B1,C1处,点 B1在 x轴上,再将 AB1C1绕点 B1顺时针旋转到 A1B1C2的位置,点 C2在 x轴上,将 A1B1C2绕点 C2顺时针旋转到 A2B2C2的位置,点 A2在 x轴上,依次进行下去.若点,B(0,4),则点 B2014的横坐标为.【解析】首先利用勾股定理得出 AB 的长,进而得出三角形的周长,进而求出 B2,B4的横坐标,进而得出变化规律,即可得出答案.【答案】,BO=4,北京市 E
3、arlybird 故答案为 10070.【误区纠错】此题主要考查了点的坐标以及图形变化类,根据题意得出 B 点横坐标变化规律是解题关键.由特殊总结一般性.3.借助函数图象描述问题中两个变量之间的关系.【例 3】(2014 山东烟台)如图,点 P 是 ABCD 边上一动点,沿 A D C B 的路径移动,设 P点经过的路径长为 x,BAP的面积是 y,则下列能大致反映 y 与 x 的函数关系的图象是().【解析】分三段来考虑点 P 沿 A D运动,BAP 的面积逐渐变大;点 P 沿 D C 移动,BAP的面积不变;点 P 沿 C B的路径移动,BAP 的面积逐渐减小,据此选择即可.【答案】点 P
4、 沿 A D运动,BAP 的面积逐渐变大;点 P 沿 D C移动,BAP 的面积不变;点 P 沿 C B的路径移动,BAP 的面积逐渐减小.故选 A.【误区纠错】本题主要考查了动点问题的函数图象.注意分段考虑.名师点拨 1.会画出直角坐标系,能标识点在平面直角坐标系的位置.2.能根据点的坐标的正、负性确定点的对称性及所在象限.3.理解函数的意义,会解释并区分常量与变量,能列简单的函数关系,会进行描点法画函数的图象.4.能列举函数的三种表示方法.5.会求出函数中自变量的取值范围,如保证分母不为零,使二次根式有意义等.6.能利用代入法求函数的值.意得且解得故选误区纠错本题考查了自变量的取值范围函数
5、自变量的范围一般从三个方面考虑当函数表达式是整式时 用直角坐标系探讨点的坐标的变化规律例山东泰安如图在平面直角坐标系中将绕点顺时针旋转到的位置点分别落在点 坐标为解析首先利用勾股定理得出的长进而得出三角形的周长进而求出进而得出变化规律即可得出答案答案的横坐标北京市 Earlybird 7.能利用函数变化规律进行准确猜想、判断.提分策略 1.函数的概念及函数自变量的取值范围.函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑:(1)当函数关系式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数关系式是分式时,考虑分式的分母不能为 0;(3)当函数关系式是二次根式时,被开方数为非负数.此题就是第三种情形,考虑被开方数
6、必须大于等于 0.【解析】根据二次根式的意义,被开方数不能为负数,据此求解.【答案】C 2.函数解析式的求法.具体地说求函数的解析式和列一元一次方程解实际问题基本相似,即弄清题意和题目中的数量关系,找到能够表示所求问题含义的一个相等的关系,根据这个相等的数量关系,列出所需的代数式,从而列出两个变量之间的关系式.【例 2】某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务,有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱.供应这种纸箱有两种方案可供选择:方案一:从纸箱厂定制购买,每个纸箱价格为 4 元;方案二:由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱,机器租赁费按生产纸箱数收取.工厂需要一次性投入机器安装等费用 16000
7、元,每加工一个纸箱还需成本费 2.4 元.(1)若需要这种规格的纸箱 x 个,请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用 y1(元)和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用 y2(元)关于 x(个)的函数关系式;(2)假设你是决策者,你认为应该选择哪种方案?并说明理由.【答案】(1)从纸箱厂定制购买纸箱费用 y1=4x.蔬菜加工厂自己加工纸箱费用 y2=2.4x+16000.(2)y2-y1=(2.4x+16000)-4x=16000-1.6x,由 y1=y2,得 16 000-1.6x=0,意得且解得故选误区纠错本题考查了自变量的取值范围函数自变量的范围一般从三个方面考虑当函数表达式是整式时 用直角坐标系探
8、讨点的坐标的变化规律例山东泰安如图在平面直角坐标系中将绕点顺时针旋转到的位置点分别落在点 坐标为解析首先利用勾股定理得出的长进而得出三角形的周长进而求出进而得出变化规律即可得出答案答案的横坐标北京市 Earlybird 解得 x=10000.当 x10000 时,y110000 时,y1y2.选择方案二,蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低.当 x=10000 时,y1=y2.两种方案都可以,两种方案所需的费用相同.3.坐标系中的图形的平移与旋转.求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标,一般要把握三点:一是根据图形变换的性质,二是利用图形的全等关系;三是确定变换前后点所在的象限.【例 3】在
9、平面直角坐标系中,规定把一个三角形先沿着 x 轴翻折,再向右平移 2 个单位长度称为 1 次变换.如图,已知等边三角形 ABC 的顶点 B,C的坐标分别是(-1,-1),(-3,-1),把ABC 经过连续 9 次这样的变换得到 ABC,则点 A的对应点 A 的坐标是.4.运用函数的图象特征解决问题.(1)由函数图象的定义可知图象上任意一点 P(x,y)中的坐标值 x,y 是解析式方程的一个解,反之,以解析式方程的任意一解为坐标的点一定在函数的图形上.意得且解得故选误区纠错本题考查了自变量的取值范围函数自变量的范围一般从三个方面考虑当函数表达式是整式时 用直角坐标系探讨点的坐标的变化规律例山东泰
10、安如图在平面直角坐标系中将绕点顺时针旋转到的位置点分别落在点 坐标为解析首先利用勾股定理得出的长进而得出三角形的周长进而求出进而得出变化规律即可得出答案答案的横坐标北京市 Earlybird(2)注意方程与函数的结合,抓住“方程(方程的解)点的坐标函数图象与性质”这个网,结合数学知识,用数形结合法来解题.【例 4】小刚上午 7:30 从家里出发步行上学,途经少年宫时走了 1200 步,用时 10 分钟,到达学校的时间是 7:55.为了估测路程等有关数据,小刚特意在学校的田径跑道上,按上学的步行速度,走完 100 米用了 150 步.(1)小刚上学步行的平均速度是多少米/分?小刚家和少年宫之间、
11、少年宫和学校之间的路程分别是多少米?(2)下午 4:00,小刚从学校出发,以 45 米/分的速度行走,按上学时的原路回家,在未到少年宫300 米处与同伴玩了半小时后,赶紧以 110 米/分的速度回家,中途没有再停留.问:小刚到家的时间是下午几时?小刚回家过程中,离家的路程 s(米)与时间 t(分)之间的函数关系如图,请写出点 B的坐标,并求出线段 CD所在直线的函数解析式.小刚从学校出发,以 45 米/分的速度行走到离少年宫 300 米处时实际走了 900 米,用时分,此时小刚离家 1100 米,所以点 B 的坐标是(20,1100).点 C 的坐标是(50,1100),点 D的坐标是(60,
12、0),设线段 CD所在直线的函数解析式是 s=kt+b,将点 C,D的坐标代入,得 意得且解得故选误区纠错本题考查了自变量的取值范围函数自变量的范围一般从三个方面考虑当函数表达式是整式时 用直角坐标系探讨点的坐标的变化规律例山东泰安如图在平面直角坐标系中将绕点顺时针旋转到的位置点分别落在点 坐标为解析首先利用勾股定理得出的长进而得出三角形的周长进而求出进而得出变化规律即可得出答案答案的横坐标北京市 Earlybird 所以线段 CD所在直线的函数解析式是 s=-110t+6600.5.分段函数的应用 自变量在不同的范围内取值时,函数 y 和 x 有不同的对应关系,这种函数称为分段函数,解决分段
13、函数的有关问题时,关键是弄清自变量的取值范围,选择适合的解析式解决问题.【例 5】如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,动点 P 从点 B出发,沿路线 B C D作匀速运动,那么 ABP 的面积 S 与点 P 运动的路程 x 之间的函数图象大致是().【答案】B 专项训练 一、选择题 1.(2014 四川中江县一模)已知点 A(a,1)与点 A(-5,b)是关于原点 O的对称点,则 a+b 的值为().A.1 B.5 C.6 D.4 2.(2014 深圳模拟)已知点 A(a+2,a-1)在平面直角坐标系的第四象限内,则 的取值范围为().A.-2a 1 B.-2 a 1 C.-1a
14、1 D.-1 a 2 3.(2014 宁夏银川外国语学校模拟)已知点 P(a+1,2 a-3)关于 x 轴的对称点在第一象限,则a 的取值范围是().意得且解得故选误区纠错本题考查了自变量的取值范围函数自变量的范围一般从三个方面考虑当函数表达式是整式时 用直角坐标系探讨点的坐标的变化规律例山东泰安如图在平面直角坐标系中将绕点顺时针旋转到的位置点分别落在点 坐标为解析首先利用勾股定理得出的长进而得出三角形的周长进而求出进而得出变化规律即可得出答案答案的横坐标北京市 Earlybird 4.(2014 内蒙古赤峰模拟)小芳的爷爷每天坚持体育锻炼,某天他慢步行走到离家较远的公园,打了一会儿太极拳,然
15、后沿原路跑步回到家里.下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离y(米)与时间 x(分钟)之间的函数关系的大致图象是().5.(2013 广东佛山模拟)在直角坐标系 xOy 中,点 P(4,y)在第四象限内,且 OP与 x 轴正半轴的夹角的正切值是 2,则 y 的值是().A.2 B.8 C.-2 D.-8 6.(2013 湖北宜昌调研)在正方形 ABCD 中,点 P 从点 C 出发沿着正方形的边依次经过点 D,A向终点 B运动,运动的路程为 x(cm),PBC 的面积为 y(cm2),y 随 x 变化的图象可能是().7.(2013 河南南阳模拟)如图,在平面直角坐标系中,在 x 轴、y 轴的正半轴
16、上分别截取 OA,OB,使 OA=OB;再分别以点 A,B 为圆心,以大于 AB长为半径作弧,两弧交于点 C.若点 C 的坐标为(m-1,2 n),则 m与 n 的关系为().(第 7题)意得且解得故选误区纠错本题考查了自变量的取值范围函数自变量的范围一般从三个方面考虑当函数表达式是整式时 用直角坐标系探讨点的坐标的变化规律例山东泰安如图在平面直角坐标系中将绕点顺时针旋转到的位置点分别落在点 坐标为解析首先利用勾股定理得出的长进而得出三角形的周长进而求出进而得出变化规律即可得出答案答案的横坐标北京市 Earlybird A.m+2n=1 B.m-2n=1 C.2 n-m=1 D.n-2m=1
17、二、填空题 8.(2014 广西玉林模拟)在平面直角坐标系中,点(0,2)到 x 轴的距离是.9.(2014 甘肃天水模拟)函数 中,自变量 x 的取值范围 10.(2014 四川达州模拟)如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点 O出发,按向上,向右,向 下,向 右 的 方 向 不 断 地 移 动,每 移 动 一 个 单 位,得 到 点A1(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),那么点 A4n+1(n 为自然数)的坐标为(用 n 表示).(第 10 题)11.(2013 北京房山区一模)如图,在平面直角坐标系中,以原点 O为圆心的同心圆半径由内向外依次为 1,2,3,4,同
18、心圆与直线 y=x 和 y=-x 分别交于 A1,A2,A3,A4,则点 A31的坐标是.(第 11 题)三、解答题 12.(2014 四川峨眉山二模)如图所示,在平面直角坐标系中,每个小方格的边长是 1,把ABC 先向右平移 4 个单位,再向下平移 2 个单位,得到 ABC.在坐标系中画出 ABC,并写出 ABC 各顶点的坐标.意得且解得故选误区纠错本题考查了自变量的取值范围函数自变量的范围一般从三个方面考虑当函数表达式是整式时 用直角坐标系探讨点的坐标的变化规律例山东泰安如图在平面直角坐标系中将绕点顺时针旋转到的位置点分别落在点 坐标为解析首先利用勾股定理得出的长进而得出三角形的周长进而求
19、出进而得出变化规律即可得出答案答案的横坐标北京市 Earlybird(第 12 题)13.(2013 辽宁葫芦岛一模)如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,AOB 的三个顶点均在格点上,点 A,B的坐标分别为(3,2),(1,3).AOB 绕点 O逆时针旋转 90后得到 A1OB1.(1)点 A关于点 O中心对称的点的坐标为;(2)点 A1的坐标为;(3)在旋转过程中,点 B 经过的路径为 的长为.(第 13 题)参考答案与解析 1.D 解析 a=5,b=-1.2.A 解析 由 a+20,a-10,得-2a1.意得且解得故选误区纠错本题考查了自变量的取值范围函数自变量的范围一般从三个方面
20、考虑当函数表达式是整式时 用直角坐标系探讨点的坐标的变化规律例山东泰安如图在平面直角坐标系中将绕点顺时针旋转到的位置点分别落在点 坐标为解析首先利用勾股定理得出的长进而得出三角形的周长进而求出进而得出变化规律即可得出答案答案的横坐标北京市 Earlybird 4.C 解析 先慢步行走,再打了一会儿太极拳,最后原路跑步回到家里.只有 C 图能反映爷爷离家的距离 y(米)与时间 x(分钟)之间的函数关系 6.A 解析 利用图象可以发现 PBC 的面积,从增大到不变,再到不断减小,结合图象可选出答案.7.B 解析 根据题意可知 OC 为 AOB 的平分线,点 C的坐标为(m-1,2 n)且在第一象限
21、,点 C到 x 轴、y 轴距离为 m-1,2 n,根据角平分线上的点到角两边距离相等,可知 m-1=2n,所以m-2n=1.8.2 解析 点 p(a,b)到 x 轴的距离是|b|,到 y 轴的距离是|a|.9.x 0 且 x 1 解析 根据被开方数具有非负性且分母不等于零,得 x 0 且 x 1.10.(2 n,1)解析 A4(2,0),A8(4,0),A12(6,0),A4n(2 n,0).11.解析 根据 31 4=73,得出 A31在直线 y=x 上,在第三象限,且在第8 个圆上,求出 OA31=8,通过解直角三角形即可求出答案.12.图略;各顶点坐标为 A(2,2),B(3,-2),C(0,-6).意得且解得故选误区纠错本题考查了自变量的取值范围函数自变量的范围一般从三个方面考虑当函数表达式是整式时 用直角坐标系探讨点的坐标的变化规律例山东泰安如图在平面直角坐标系中将绕点顺时针旋转到的位置点分别落在点 坐标为解析首先利用勾股定理得出的长进而得出三角形的周长进而求出进而得出变化规律即可得出答案答案的横坐标