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1、 相似三角形 一解答题（共 30 小题）1 如图，在 ABC 中，DE BC，EF AB，求证：ADE EFC 2 如图，梯形 ABCD 中，AB CD，点 F 在 BC 上，连 DF 与 AB 的延长线交于点 G（1）求证：CDF BGF；（2）当点 F 是 BC 的中点时，过 F 作 EF CD 交 AD 于点 E，若 AB=6cm，EF=4cm，求 CD 的长 3 如图，点 D，E 在 BC 上，且 FD AB，FE AC 求证：ABC FDE 4 如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=6cm 某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向 B
2、点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，的 AMN 面积等于矩形 ABCD 面积的？（2）是否存在时刻 t，使以 A，M，N 为顶点的三角形与 相 ACD 似？若存在，求 t 的值；若不存在，请说 明理由 5 已知：P 是正方形 ABCD 的边 BC 上的点，且 BP=3PC，M 是 CD 的中点，试说明：ADM MCP 6 已知矩形 ABCD，长 BC=12cm，宽 AB=8cm，P、Q 分别是 AB、BC 上运动的两点若 P 自点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 AB 方向运动，同时，Q 自点 B 出发以
3、 2cm/s 的速度沿 BC 方向运动，问经过几秒，以 P、B、Q 为顶点的三角形与 相 BDC 似？7 如图，ACB=ADC=90 AC=，AD=2 问当 AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似 8 如图在 ABC 中，C=90 BC=8cm，AC=6cm，点 Q 从 B 出发，沿 BC 方向以 2cm/s 的速度移动，点 P 从 C 出发，沿 CA 方向以 1cm/s 的速度移动若 Q、P 分别同时从 B、C 出发，试探究经过多少秒后，以点 C、P、Q 为顶点的三角形与 相 CBA 似？2/13 出发沿方向以的速度向点匀速运动问经过多少时间的面积等于矩形面积的是否存在时刻使以为顶点的三角
4、形与相似若 自点出发以的速度沿方向运动同时自点出发以的速度沿方向运动问经过几秒以为顶点的三角形与相似如图问当的长为 出发试探究经过多少秒后以点为顶点的三角形与相似如图所示梯形中试在腰上确定点置的位使得以为顶点的三角形与 9 如图所示，梯形 ABCD 中，AD BC，A=90 AB=7，AD=2，BC=3，试在腰 AB 上确定点 P 的位置，使得以 P，A，D 为顶点的三角形与以 P，B，C 为顶点的三角形相似 10 如图，在矩形 ABCD 中，AB=15cm，BC=10cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向 B 以 2cm/s 的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1
5、cm/s 的速度移动如果 P、Q 同时出发，用 t（秒）表示移动的时间，那么当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与 相 ABC 似 11 如图，路灯（P 点）距地面 8 米，身高 1.6 米的小明从距路灯的底部（O 点）20 米的 A 点，沿 OA 所 在的直线行走 14 米到 B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？3/13 出发沿方向以的速度向点匀速运动问经过多少时间的面积等于矩形面积的是否存在时刻使以为顶点的三角形与相似若 自点出发以的速度沿方向运动同时自点出发以的速度沿方向运动问经过几秒以为顶点的三角形与相似如图问当的长为 出发试探究经过多少秒后以点为
6、顶点的三角形与相似如图所示梯形中试在腰上确定点置的位使得以为顶点的三角形与 12 阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 2.7m 宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离 EC=8.7m，窗口高 AB=1.8m，求窗口底边离地面的高 BC 13 如图，李华晚上在路灯下散步 已知李华的身高 AB=h，灯柱的高 OP=O P=l 两灯，柱之间的距离 OO=m（1）若李华距灯柱 OP 的水平距离 OA=a，求他影子 AC 的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点 A 朝着影子（如图箭头）的方向以 v1 匀速行走，试求
7、他影子的顶端在地面上移动的速度 v 2 14 已知：如图，ABC AB=15ADE，AC=9，BD=5 求 AE 15 已知：如图 Rt ABC Rt BDC，AB=3 若，AC=4（1）求 BD、CD 的长；4/13 出发沿方向以的速度向点匀速运动问经过多少时间的面积等于矩形面积的是否存在时刻使以为顶点的三角形与相似若 自点出发以的速度沿方向运动同时自点出发以的速度沿方向运动问经过几秒以为顶点的三角形与相似如图问当的长为 出发试探究经过多少秒后以点为顶点的三角形与相似如图所示梯形中试在腰上确定点置的位使得以为顶点的三角形与（2）过 B 作 BE DC 于 E，求 BE 的长 相似三角形 一解
8、答题（共 30 小题）1 如图，在 ABC 中，DE BC，EF AB，求证：ADE EFC 2 如图，梯形 ABCD 中，AB CD，点 F 在 BC 上，连 DF 与 AB 的延长线交于点 G（1）求证：CDF BGF；（2）当点 F 是 BC 的中点时，过 F 作 EF CD 交 AD 于点 E，若 AB=6cm，EF=4cm，求 CD 的长 分析：（1）利用平行线的性质可证明 CDF BGF（2）根据点 F 是 BC 的中点这一已知条件，可得 CDF CD=BGBGF，则只要求出 BG 的长即可 解题 5/13 出发沿方向以的速度向点匀速运动问经过多少时间的面积等于矩形面积的是否存在时
9、刻使以为顶点的三角形与相似若 自点出发以的速度沿方向运动同时自点出发以的速度沿方向运动问经过几秒以为顶点的三角形与相似如图问当的长为 出发试探究经过多少秒后以点为顶点的三角形与相似如图所示梯形中试在腰上确定点置的位使得以为顶点的三角形与 3 如图，点 D，E 在 BC 上，且 FD AB，FE AC 求证：ABC FDE 点评：本题很简单，考查的是相似三角形的判定定理：（1）如果两个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；（2）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两
10、个三角形相似 4 如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=6cm 某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，的 AMN 面积等于矩形 ABCD 面积的？（2）是否存在时刻 t，使以 A，M，N 为顶点的三角形与 相 ACD似？若存在，求 t 的值；若不存在，请说 明理由 分析：（1）关于动点问题，可设时间为 x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方 程求解即可，如本题中利用，的面 AMN 积等于矩形 ABC
11、D 面积的 作为相等关系；6/13 出发沿方向以的速度向点匀速运动问经过多少时间的面积等于矩形面积的是否存在时刻使以为顶点的三角形与相似若 自点出发以的速度沿方向运动同时自点出发以的速度沿方向运动问经过几秒以为顶点的三角形与相似如图问当的长为 出发试探究经过多少秒后以点为顶点的三角形与相似如图所示梯形中试在腰上确定点置的位使得以为顶点的三角形与（2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的 t 值即可说明存在，反之 则不存在 解答：（1）设经过 x 秒后，（6 2x）x=3 6，得 x1=1，x2=2，（2）假设经过 t 秒时，以 A，M，N 为顶点的三角形与 相 ACD
12、似，由矩形 ABCD，可得 CDA=MAN=90，因此有 或 即，或 解，得 t=；解，得 t=经检验，t=或 t=都符合题意 12 已知：P 是正方形 ABCD 的边 BC 上的点，且 BP=3PC，M 是 CD 的中点，试说明：ADM MCP 分析：欲证 ADM MCP 通，过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即 D=C，此时，再 此对应角的两边对应成比例即可 6 已知矩形 ABCD，长 BC=12cm，宽 AB=8cm，P、Q 分别是 AB、BC 上运动的两点若 P 自点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 AB 方向运动，同时，Q 自点 B 出发以 2cm/s 的速度沿 BC
13、方向运动，问经过几秒，以 P、B、Q 为顶点的三角形与 相 BDC 似？7/13 出发沿方向以的速度向点匀速运动问经过多少时间的面积等于矩形面积的是否存在时刻使以为顶点的三角形与相似若 自点出发以的速度沿方向运动同时自点出发以的速度沿方向运动问经过几秒以为顶点的三角形与相似如图问当的长为 出发试探究经过多少秒后以点为顶点的三角形与相似如图所示梯形中试在腰上确定点置的位使得以为顶点的三角形与 分析：要使以 P、B、Q 为顶点的三角形与 相 BDC 似，则要分两两种情况进行分析分别是 PBQ 或 QBP BDC，从而解得所需的时间 解答：解：设经 x 秒后，PBQ BCD，由于 PBQ=BCD=9
14、0，（1）当 1=2 时，有：，即；（2）当 1=3 时，有：，即，经过 秒或 2 秒，PBQ BCD 7 如图，ACB=ADC=90 AC=，AD=2 问当 AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似 解答：解：AC=，AD=2，CD=要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当 Rt ABC Rt ACD 时，有=，AB=3；8/13 出发沿方向以的速度向点匀速运动问经过多少时间的面积等于矩形面积的是否存在时刻使以为顶点的三角形与相似若 自点出发以的速度沿方向运动同时自点出发以的速度沿方向运动问经过几秒以为顶点的三角形与相似如图问当的长为 出发试探究经过多少秒后以点为顶点的三角形与相似如图
15、所示梯形中试在腰上确定点置的位使得以为顶点的三角形与（2）当 Rt ACB Rt CDA 时，有=，AB=3 8 如图在 ABC 中，C=90 BC=8cm，AC=6cm，点 Q 从 B 出发，沿 BC 方向以 2cm/s 的速度移动，点 P 从 C 出发，沿 CA 方向以 1cm/s 的速度移动若 Q、P 分别同时从 B、C 出发，试探究经过多少秒后，以点 C、P、Q 为顶点的三角形与 相 CBA 似？解答：解：设经过 x 秒后，两三角形相似，则 CQ=（8 2x）cm，CP=xcm，C=C=90，当 或 时，两三角形相似（1）当 时，x=；（2）当 时，x=19 如图所示，梯形 ABCD
16、中，AD BC，A=90 AB=7，AD=2，BC=3，试在腰 AB 上确定点 P 的位 置，使得以 P，A，D 为顶点的三角形与以 P，B，C 为顶点的三角形相似 解答：解：（1）若点 A，P，D 分别与点 B，C，P 对应，即 APD BCP，=，=，AP 2 7AP+6=0，AP=1 或 AP=6，出发沿方向以的速度向点匀速运动问经过多少时间的面积等于矩形面积的是否存在时刻使以为顶点的三角形与相似若 自点出发以的速度沿方向运动同时自点出发以的速度沿方向运动问经过几秒以为顶点的三角形与相似如图问当的长为 出发试探究经过多少秒后以点为顶点的三角形与相似如图所示梯形中试在腰上确定点置的位使得以
17、为顶点的三角形与9/13 出发沿方向以的速度向点匀速运动问经过多少时间的面积等于矩形面积的是否存在时刻使以为顶点的三角形与相似若 自点出发以的速度沿方向运动同时自点出发以的速度沿方向运动问经过几秒以为顶点的三角形与相似如图问当的长为 出发试探究经过多少秒后以点为顶点的三角形与相似如图所示梯形中试在腰上确定点置的位使得以为顶点的三角形与 检测：当 AP=1 时，由 BC=3，AD=2，BP=6，=，又 A=B=90，APD AP=6BCP，当由时 BC=3，AD=2，BP=1，又 A=B=90，APD BCP（2）若点 A，P，D 分别与点 B，P，C 对应，即 APD BPC=，=，AP=检验
18、：当 AP=时，由 BP=，AD=2，BC=3，=，A=B=90，APD BPC 此，P 点的位置有三处，即在线段 AB 距离点 A 的 1、6 处 10 如图，在矩形 ABCD 中，AB=15cm，BC=10cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向 B 以 2cm/s 的速度移动；点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动如果 P、Q 同时出发，用 t（秒）表示移动的时间，那么当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与 相 ABC 似 分析：若以点 Q、A、P 为顶点的三角形与 相 ABC 似，有四种情况：APQ BAC，此时 AQ 得：BC=AP：A
19、B；APQ BCA，此时 AQ 得：AB=AP：BC；AQP BAC，此时 AQ 得：BA=AP：BC；AQP BCA，此时 AQ 得：BC=AP：BA 10/13 出发沿方向以的速度向点匀速运动问经过多少时间的面积等于矩形面积的是否存在时刻使以为顶点的三角形与相似若 自点出发以的速度沿方向运动同时自点出发以的速度沿方向运动问经过几秒以为顶点的三角形与相似如图问当的长为 出发试探究经过多少秒后以点为顶点的三角形与相似如图所示梯形中试在腰上确定点置的位使得以为顶点的三角形与 可根据上述四种情况所得到的不同的对应成比例线段求出 t 的值 11 如图，路灯（P 点）距地面 8 米，身高 1.6 米的
20、小明从距路灯的底部（O 点）20 米的 A 点，沿 OA 所 在的直线行走 14 米到 B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？分析：如图，由于 AC BD OP，故有 MAC MOP，NBD 即可 NOP 由相似三角形的性质求解 12 阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下 2.7m 宽的亮区（如图所示），已知亮区到窗口下的墙脚距离 EC=8.7m，窗口高 AB=1.8m，求窗口底边离地面的高 BC 分析：因为光线 AE、BD 是一组平行光线，即 AE BD，所以 ECA DCB，则有，从而算出 BC 的 长（BC=4 米）13.如图，李华晚上在路灯下散步 已知李华的身高
21、AB=h，灯柱的高 OP=O P=l 两灯，柱之间的距离 OO=m（1）若李华距灯柱 OP 的水平距离 OA=a，求他影子 AC 的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点 A 朝着影子（如图箭头）的方向以 v1 匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度 v 2 11/13 出发沿方向以的速度向点匀速运动问经过多少时间的面积等于矩形面积的是否存在时刻使以为顶点的三角形与相似若 自点出发以的速度沿方向运动同时自点出发以的速度沿方向运动问经过几秒以为顶点的三角形与相似如图问当的长为 出发试探究经过多少秒后以点为顶点的三角
22、形与相似如图所示梯形中试在腰上确定点置的位使得以为顶点的三角形与 解答：解：（1）由已知：AB OP，ABC OPC，OP=l，AB=h，OA=a，解得：（2）AB OP，ABC OPC，即，即 同理可得：，=是定值（3）根据题意设李华由 A 到 A，身高为 AB，AC 代表其影长（如图）由（1）可知，即，同理可得：，由等比性质得：，当李华从 A 走到 A 的时候，他的影子也从 C 移到 C，因此速度与路程成正比，所以人影顶端在地面上移动的速度为 12/13 出发沿方向以的速度向点匀速运动问经过多少时间的面积等于矩形面积的是否存在时刻使以为顶点的三角形与相似若 自点出发以的速度沿方向运动同时自
23、点出发以的速度沿方向运动问经过几秒以为顶点的三角形与相似如图问当的长为 出发试探究经过多少秒后以点为顶点的三角形与相似如图所示梯形中试在腰上确定点置的位使得以为顶点的三角形与 14 已知：如图，ABC AB=15ADE，AC=9，BD=5 求 AE 解答：解：ABC ADE，AC=ADAE：AB AE：AC=（AB+BD）：AB，AE：9=（15+5）：15 AE=12 15 已知：如图 Rt ABC Rt BDC，AB=3 若，AC=4（1）求 BD、CD 的长；（2）过 B 作 BE DC 于 E，求 BE 的长 13/13 出发沿方向以的速度向点匀速运动问经过多少时间的面积等于矩形面积的是否存在时刻使以为顶点的三角形与相似若 自点出发以的速度沿方向运动同时自点出发以的速度沿方向运动问经过几秒以为顶点的三角形与相似如图问当的长为 出发试探究经过多少秒后以点为顶点的三角形与相似如图所示梯形中试在腰上确定点置的位使得以为顶点的三角形与