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1、第1页/共6页 2022-2023 学年度 下学期武汉市重 点中学 5G 联合 体期末考试高二数学试卷 一、单 选题：本题 共 8 小 题，每小题 5 分，共 40 分.在每小 题给 出的 四个 选项中，只 有一项是 符合 题目要 求的.1.双曲 线22186yx=的一 条渐 近线 方 程为（）A.34 0 xy=B.430 xy=C.32 0 xy+=D.2 30 xy=2.已知 某质 点运 动的 位移y（单位；cm）与 时 间 t（单位；s）之间 的关 系为()()ln 2 1 yt t=+，则该 质点在 2s=t 时的 瞬时 速度 为（）A 15 B.25C.2 D.43.等比 数列 n
2、a 中，72 a=，118 a=，则9a=（）A.4 B.5 C.4 D.54.甲 乙两 位游 客慕 名来 到 赣州旅 游，准备 分别 从大 余丫山、崇 义齐 云山、全 南天龙 山、龙南 九连 山和 安远三 百山 5 个 景点 中随 机选择 其 中一 个，记事件 A：甲和乙 选择 的景 点不 同，事件 B：甲 和乙 恰好 一人选 择崇义齐 云山，则 条件 概率()PBA=（）A.15B.25C.925D.9205.对于 变量 Y 和 变量 x 的 成对样 本观 测数 据，用一 元线性 回归 模型2()0,()Y bx a eEe De=+=得到 经验 回归模型 y bx a=+，对 应的 残差
3、 如下 图所 示，模 型误 差（）A.满足 一元 线性 回归 模型 的所有 假设B.不满 足一 元线 性回 归模型 的()0 Ee=的假设.第2页/共6页 C.不满 足一 元线 性回 归模型 的2()De=假设D.不 满足 一元 线性 回归 模型 的()0 Ee=和2()De=的 假设6.设 N n+,则1 22 335 5 5.5nnnnn nCCC C+除以 7 的余数 为 A 0 或5 B.1 或 3 C.4 或 6 D.0 或 27.已知 定义 域为 R 的奇函 数()fx 的图象 是一 条连 续不 断的 曲线，当()2,x+时，()0 fx 的 解集 为（）A.()()3,1 1,3
4、 B.()()3,0 0,3 C.()()3,1 0,3 D.()()3,0 1,3 8.南宋 数学 家杨 辉在 详解 九 章算 法 中，研究 了二 阶 等差 数列 若 1 nnaa+是公差 不为零 的等 差数列，则 称数 列 na 为二阶 等差 数列 现有 一个“三角 垛”，共有 40 层，各层 小球 个数 构 成一 个二 阶等 差数列，第 一层 放 1 个小 球，第 二 层放 3 个小 球，第三层 放 6 个小 球，第四 层放 10 个小 球，则第 40 层放小球的 个数 为（）A.1640 B.1560 C.820 D.780二、多 选题：本题 共 4 小 题，每小题 5 分，共 20
5、分.在每小 题给 出的 选项 中，有 多项 符合题目 要求.全部选 对的 得 5 分，部 分 选对 的得 2 分，有 选错的 得 0 分.9.已知 随机 变量 X 服从正 态 分布()21,3 N，则下 列结 论正 确的 是（）A.()1 EX=，()9 DX=B.若()2 PX p=，则()1012PX p=D.随机 变量Y 满足 24 XY+=，则()4 EY=10.已知y与x线性 相关，且 求得回 归方 程为3.5 y bx=+，变量x，y的部分 取值 如表 所示，则（）x30 40 50 60y25 30 40 45A.y与x负相关 B.0.7 b=C.10 x=时，y的预测 值为10
6、.5 D.()40,30 处 的残 差为1.5.第3页/共6页 11.已知 集合 0,1,2,3,4,5 M=下 列说 法 正确的 是（）A.从 集合 M 中任取 4 个元 素能 够组成300 个没 有重 复数 字的 四位数；B.从集 合 M 中 任取3 个元素 能 够组成52 个没 有重 复数 字的 三位偶 数；C.从集 合 M 任取3 个 元素 能够组 成90 个三位 密码；D.从 集合 M 中任取3 个元 素，其和是3 的 倍数 的取 法共有 7 种12.抛物 线：2:4 xy=，P 是 上的点，直线():40 l y kx k=+与 交于,AB 两点，过 的焦点 F 作l 的垂线，垂
7、足为 Q，则（）A.PF 的 最小 值为 1 B.PQ 的 最 小值为 1 C.AFB 为钝角 D.若 PFA PFB=，直线 PF 与l 的斜率 之积 为52三、填 空题：本题 共 4 小 题，每小题 5 分，共 20 分.13.有 朋自 远方 来，乘火 车、飞 机来 概 率分 别为 0.6，0.4，迟到 的概 率分 别为 0.3，0.1，则 他迟 到的 概率为_.14.从 2 位女 生，4 位男 生中 选 3 人参 加科 技比 赛，且 至 少有 1 位女 生入 选，则 不 同的 选法 共有_ 种.15.已知 数列 na 满足()21222 2nna a a nn+=N，2 211log l
8、ognnnbaa+=，nS 为数列 nb 的前n项和.若对 任意 实数，都有nS），若()fx 的图象与()gx 的图象在)1,+上恰有 两对 关于x轴对 称的 点，则 实数a的取 值范 围是_ 四、解 答题：本题 共 6 小题，共 70 分.解答 应写 出文 字说明、证 明过程 或演 算步骤.17.在822xx的 展开 式中.（1）求 第 3 项；（2）求 含1x项 系数.18.数列 na 满足()2111,nna a nn a+=+，是常 数 的的第4页/共6页（1）当21 a=时，求 及3a 的值；（2）数列 na 是否 可能 为等 差 数列？若可 能，求出 它的 通项公 式；若不 可能
9、，说 明理由；19.随 着全 国新 能源 汽车 推广力 度的 加大，尤 其是 在全国 实现“双碳”目 标的 大背景 下，新能 源汽 车消 费迎来了前 所未 有的 新机 遇 为了更 好了 解大 众对 新能 源汽车 的接 受程 度，某城 市汽车 行业 协会 依据 年龄 采用按比例 分层 随机 抽样 的方 式抽取 了 200 名市 民，并 对他们 选择 新能 源汽 车，还是选 择传 统汽 车进 行意 向调查，得 到了 以下 统计 数据：选择新 能源 汽车 选择传 统汽 车 合计40 岁以 下 65 40 岁以 上（包含 40 岁）60 100 合计 200（1）完成 22 列 联表，并 判断依 据
10、0.001=的独立 性检 验，能否 认为选 择新 能源 汽车 与年 龄有关；（2）以 样本 的频 率作 为总体 的 概率，若 从全市 40 岁以 上（包含 40 岁）购买 汽车 的 人中 有放 回地 随机 抽取3 人，用 X 表示 抽取 的是“选择 新 能源 汽车”的 人数，求 X 的分布 列及 数学 期望()EX 附：()()()()22(),n ad bcnabcdabcdacbd=+0.100 0.050 0.010 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 20.设函 数()exf x ax=，0 x 且 R a（1）求 函数()fx 的单调 性；（2）若()2
11、1 fx x+恒成立，求 实数 a 的取值 范围 21.从甲 乙 丙等 5 人 中 随机地 抽取 三个 人去 做传 球训练.训练 规则 是确 定一人 第 一次 将球 传出，每 次传 球时，传 球者 都等 可能 地将 球传给 另外 两个 人中 的任 何一人，每 次必 须将 球传 出.（1）记甲 乙丙 三人 中被 抽 到的人 数为 随机 变量 X，求 X 的分布 列；（2）若 刚好 抽到 甲乙 丙三个 人 相互 做传 球训 练，且第 1 次 由甲 将球 传出，记n次传球 后球 在甲 手中 的概 率第5页/共6页 为,1,2,3,npn=，直接 写出123ppp，的 值；求1 np+与np 关 系式
12、*()nN，并求np*()nN.22.已知 椭圆2222:1(0)xyC abab+=的离心 率为12，左、右 焦点分 别为12,FF，直 线xm=与椭圆 C 交于A，B 两点，且1ABF 的周长 最大 值为 8（1）求 椭圆 C 的标 准方 程；（2）如 图，P，Q 是椭圆 C 上的 两点，且 直线OP 与OQ的 斜率之 积为34（O 为坐 标原 点），D 为 射线OP 上一点，且|OP PD=，线段 DQ 与 椭圆 C 交 于点 E，2|3QE ED=，求四 边形OPEQ 的面积 的第1页/共21页 2022-2023 学年度 下学期武汉市重 点中学 5G 联合 体期末考试高二数学试卷 一
13、、单 选题：本题 共 8 小 题，每小题 5 分，共 40 分.在每小 题给 出的 四个 选项中，只 有一项是 符合 题目要 求的.1.双曲 线22186yx=的一 条渐 近线 方 程为（）A.34 0 xy=B.430 xy=C.32 0 xy+=D.2 30 xy=【答案】D【解析】【分析】利 用给 定的 双曲 线方程，求 出双 曲线 的实 半轴、虚半 轴长 即可 求出 渐近线 的方 程作 答.【详解】双曲 线22186yx=的 实半 轴长22 a=，虚半 轴长 6 b=，且 焦点在 x 轴上，所以双 曲线 的渐 近线 方程 为23yx=，即2 30 xy=，则 D 正确，ABC 错误.故
14、选：D 2.已知 某质 点运 动的 位移y（单位；cm）与 时 间 t（单位；s）之间 的关 系为()()ln 2 1 yt t=+，则该 质点在 2s=t 时的 瞬时 速度 为（）A.15B.25C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】对()()ln 2 1 yt t=+求 导得()221ytt=+，从而 可求质 点在 2s=t 时的 瞬时 速度()2 y.【详解】因为()()ln 2 1 yt t=+，所以()221ytt=+，所以该 质点 在 2s=t 时的瞬 时速 度为()2222125y=+.故选：B.3.等比 数列 na 中，72 a=，118 a=，则9a=（）A.4 B.5 C
15、.4 D.5【答案】C【解析】第2页/共21页【分析】由 等比 数列 的下 标和性 质代 入可 求出 答案.【详解】由 等比 数列 的下 标和性 质知:227 11 9 916 aa a a=,因为70 a，110 a，所以90 a，所以94 a=.故选：C.4.甲 乙两 位游 客慕 名来 到 赣州旅 游，准备 分别 从大 余丫山、崇 义齐 云山、全 南天龙 山、龙南 九连 山和 安远三 百山 5 个 景点 中随 机选择 其 中一 个，记事件 A：甲和乙 选择 的景 点不 同，事件 B：甲 和乙 恰好 一人选 择崇义齐 云山，则 条件 概率()PBA=（）A.15B.25C.925D.920【
16、答案】B【解析】【分析】先利 用古 典概 率公 式 求出()PA 和()P AB 的概 率，再利 用条件 概率 公式 即可 求出 结果.【详解】由题 知，251155A 4()CC 5PA=，11241155CA 8()C C 25P AB=，所以()()8225()455P ABPBAPA=，故选：B.5.对于 变量 Y 和 变量 x 的 成对样 本观 测数 据，用一 元线性 回归 模型2()0,()Y bx a eEe De=+=得到 经验 回归模型 y bx a=+，对 应的 残差 如下 图所 示，模 型误 差（）A.满足 一元 线性 回归 模型 的所有 假设B.不满 足一 元线 性回
17、归模型 的()0 Ee=的假设C.不满 足一 元线 性回 归模型 的2()De=假设第3页/共21页 D.不满 足一 元线 性回 归模 型的()0 Ee=和2()De=的 假设【答案】C【解析】【分析】根据 用一 元线 性回 归 模型2()0,()Y bx a eEe De=+=有关概 念即 可判 断.【详解】解：用一 元线 性回 归 模型2()0,()Y bx a eEe De=+=得到经 验回 归模 型 y bx a=+，根据 对应 残差图，残 差的 均值()0 Ee=可能 成立，但明 显残 差的x轴上 方的 数据更 分散，2()De=不满足 一元 线性回归 模 型，正确 的只有 C.故选
18、：C.6.设 N n+,则1 22 335 5 5.5nnnnn nCCC C+除以 7 的余数 为 A.0 或5 B.1 或 3 C.4 或 6 D.0 或 2【答案】A【解析】【分析】用 二项 式定 理化 简整理 得到 7(1)1,nM Mz+，分n为奇 数或 偶数，得到 余数.【详解】1 22 335 5 5.5nnnnn nCCC C+=0 1 22 33 05 5 5.5nnn n n n nnC C C C CC+(1 5)1n=+(7 1)1n=7(1)1,nM Mz=+，当n为奇数 时，余数 为5，当n为偶 数时，余 数为 0,故选：A.7.已知 定义 域为 R 的奇函 数()
19、fx 的图象 是一 条连 续不 断的 曲线，当()2,x+时，()0 fx 的 解集 为（）A.()()3,1 1,3 B.()()3,0 0,3 C.()()3,1 0,3 D.()()3,0 1,3【答案】D【解析】【分 析】先 由题 找到 函数 的单调 性，画出 示意 图，从而判 定不 等式 的解.【详解】因为 当()2,x+时，()0 fx，所以()fx 在()2,x+单调递 减；当()0,2 x 时，0 fx，所以()fx 在()0,2 x 单 调递 增，的第4页/共21页 因为定 义域 为 R 的奇函 数()fx，则过点()0,0，且()30 f=，则 过点()3,0，由奇函 数的
20、 图象 关于 原点 对称，画出 示意 图如 下：()()()01010fxx fxx 或()010fxx()()3,0 1,3 x，故选：D.8.南宋 数学 家杨 辉在 详解 九 章算 法 中，研究 了二 阶 等差 数列 若 1 nnaa+是公差 不为零 的等 差数列，则 称数 列 na 为二阶 等差 数列 现有 一个“三角 垛”，共有 40 层，各层 小球 个数 构 成一 个二 阶等 差数列，第 一层 放 1 个小 球，第 二 层放 3 个小 球，第三层 放 6 个小 球，第四 层放 10 个小 球，则第 40 层放小球的 个数 为（）A.1640 B.1560 C.820 D.780【答案
21、】C【解析】【分析】首 先由 二阶 等差 数 列的定 义，得到()*12,Nnna a nn n=，再求 和得到 数 列 na 的通 项公 式，即可求40a.【详解】设第n层放小 球的 个数为na，由 题意212 aa=，323 aa=，数列 1 nnaa+是首 项为2，公 差为 1 的等 差数 列，所以()*12(2)2,Nnna a n nn n=+=故1 21 11()()1 2(1)2nn na a a a a a n nn=+=+=+，故40140 41 8202a=故选：C 二、多 选题：本题 共 4 小 题，每小题 5 分，共 20 分.在每小 题给 出的 选项 中，有 多项 符
22、合题目 要求.全部选 对的 得 5 分，部 分 选对 的得 2 分，有 选错的 得 0 分.9.已知 随机 变量 X 服从正 态 分布()21,3 N，则下 列结 论正 确的 是（）第5页/共21页 学科网（北京）股份有 限公司 A.()1 EX=，()9 DX=B.若()2 PX p=，则()1012PX p=D.随机 变量Y 满足 24 XY+=，则()4 EY=【答案】ABC【解析】【分析】根据正态分布的 定义求数学期望和方差求 解 A，再 根据正态分布密 度曲线的对称性可求解相 应的概率求 解 B,C，再根 据变量 关 系的 期望 公式 可求解 D.【详解】因为()21,3 XN,所以
23、()1 EX=，()29 DX=，A 正确；因为()()20 PX PX p=，所以()1012PX p=，C 正 确；因为 24 XY+=，所以 42 YX=，所以()()()42 2 42 EY E X E X=+=,D 错 误，故选:ABC 10.已知y与x线性 相关，且 求得回 归方 程为3.5 y bx=+，变量x，y的部分 取值 如表 所示，则（）x 30 40 50 60 y 25 30 40 45 A.y与x负相关 B.0.7 b=C.10 x=时，y的预测 值为10.5 D.()40,30 处 的残 差为1.5【答案】BC【解析】【分析】利 用数 据求 出样 本中心 坐标，代
24、 入回 归直 线方程，得 到0.7 b=，进而 逐一 判断正 误即 可.详解】解：由题 意得30 40 50 60454x+=，25 30 40 45354y+=，所以样 本中 心点 的坐 标为()45,35，代入 线性 回归 方程 得35 45 3.5 b=+，解得0.7 b=，B 正确；.【第6页/共21页 由0.7 0 b=可知y与x正相关，A 错 误；10 x=时，0.7 10 3.5 10.5 y=+=，C 正确；40 x=时，0.7 40 3.5 31.5 y=+=，残差 为30 31.5 1.5=，D 错误 故选：BC 11.已知 集合 0,1,2,3,4,5 M=下 列说 法
25、正确的 是（）A.从 集合 M 中任取 4 个元 素能 够组成300 个没 有重 复数 字的 四位数；B.从集 合 M 中 任取3 个元素 能 够组成52 个没 有重 复数 字的 三位偶 数；C.从集 合 M 任取3 个 元素 能够组 成90 个三位 密码；D.从 集合 M 中任取3 个元 素，其和是3 的 倍数 的取 法共有 7 种【答案】AB【解析】【分析】利 用排 列组 合知 识逐一 判断 四个 选项 的正 误即可 得正 确选 项.【详解】对于 A：取 4 个元 素组成 无重 复数 字的 四位 数，若 取 0：有3135 33180 CCA=，若不取 0：有4454120=CA，共180
26、 120 300+=，故选项 A 正 确；对于 B：M 中有3 位偶 数，若 末位为 0，有2520 A=个，若末位 为 2 或 4 有11124432 CCC=个，共 有 20 32 52+=个，故选 项 B 正 确；对于 C：集 合 M 任取3 个 元素能 够 组成36120 A=个三位 密码，故 选项 C 不正 确；对于 D：三 个数 的和 为3 的有 0,1,2，有1 种，三个数 的和 为 6 的有 0,1,5，1,2,3，0,2,4 有 3 种，三个数 的和 为9 的有 0,4,5，1,3,5，2,3,4 有 3 种，三个数 的和 为12 的有 3,4,5 有1 种，共有13318+
27、=种，故选项 D 不正 确，故选：AB.12.抛物 线：2:4 xy=，P 是 上的点，直线():40 l y kx k=+与 交于,AB 两点，过 的焦点 F 作l 的垂线，垂 足为 Q，则（）A.PF 的 最小 值为 1 B.PQ 的 最 小值为 1 第7页/共21页 C.AFB 为钝角 D.若 PFA PFB=，直线 PF 与l 的斜率 之积 为52【答案】ACD【解析】【分析】求得 PF 的最小 值判 断选项 A；求得 PQ 的最小 值 判断选 项 B；求 得 AFB 的范围 判断选 项 C；求得直 线 PF 与 l 的 斜率 之积 判断 选项 D.【详解】选项 A：设00(,)Px
28、y，所以01 PF y=+，因为00 y，所以min|1 PF=，A 正确；选项 B：设()0,4,0 E QF QE=，所以 Q 点 轨迹为()2259024xy x+=，设50,2R，200,4xPx，min min32PQ PR=，又因为()2222002 0512664 2 16xPR x x=+=+，所以min362PQ=，B 错误；选项 C：设()()11 2 2,Ax y Bx y，又因为244y kxxy=+=，所以24 16 0 x kx=，21 2 12 16 64 0,4,16 k x x k xx=+=，所以()212121616xxyy=，()21 2 12 2122
29、484x x xxyy k+=+，又因 为()()()212 1 2 12 12 1 21 1 1 4 70 FA FB x x y y x x y y y y k=+=+=所以 AFB 为钝角，C 正 确，选项 D：设00(,)Px y，因 PFA PFB=，所以FA FP FB FPFA FB=，11 2 2 0 0(,1),(,1),(,1)xy x FA FB F yx P y=为第8页/共21页 所以()()()()01 1 0 02 2 01211 1111xx y y xx y yyy+=+，所以()()12 0 1 0 12 2 1 011 xxy xx y yy y y+()
30、()021 02 0 12 2 111 xxy xx y yy y y=+所以()()()()22 012 2 1 0 1 2 0 1 211042xxx x x x x x y x x+=，又因为12xx，所以()()120 05 102xxxy+=，即()0 05 2 10 x ky+=，即152kk=，D 正确.故选：ACD 三、填 空题：本题 共 4 小 题，每小题 5 分，共 20 分.13.有朋 自远 方来，乘 火车、飞机 来的 概率 分别为 0.6，0.4，迟 到的 概率 分别为 0.3，0.1，则 他迟 到的 概率为_.【答案】0.22【解析】【分析】根 据独 立事 件和 互斥
31、事 件概 率计 算方 法即 可计算【详解】因为 乘火 车、飞机 来 的概 率分 别为 0.6，0.4，迟到 的概 率分 别为 0.3，0.1，所以乘 火车 迟到 的概 率为 0.6 0.3，乘飞机 迟到 的概 率为 0.4 0.1，因此他 会迟 到的 概率 为 0.6 0.3 0.4 0.1 0.22+=故答案 为：0.22 14.从 2 位女 生，4 位男 生中 选 3 人参 加科 技比 赛，且 至 少有 1 位女 生入 选，则 不 同的 选法 共有_ 种.【答案】16【解析】【分析】根据 题意 分为 两类 情 况：1 女 2 男、2 女 1 男，结 合组 合数 公式 和分 类计数 原理，即
32、 可求 解.第9页/共21页【详解】从 2 位女 生，4 位男 生 中选 3 人参 加科 技比赛，且至 少有 1 位女 生入选，可得分 为两 类情 况：1 女 2 男、2 女 1 男，当 1 女 2 男时，共 有1224C C 2 6 12=种不 同的选 法；当 2 女 1 男时，共 有2124CC 4=种不 同的选 法，由分类 计数 原理 可得，共 有12 4 16+=种不 同的 选法.故答案 为：16.15.已知 数列 na 满足()21222 2nna a a nn+=N，2 211log lognnnbaa+=，nS 为数列 nb 的前n项和.若对 任意 实数，都有nS 成立，则实 数
33、 的取值 范围 为_.【答案】)1,+【解析】【分析】根据 题意 求出na，再化简 求出nb，利 用裂 项相 消即可 求出nS，即 可求 出满 足题意 的.【详解】21222 2nna a an+=，221 1122 2 1nna a an+=+，得1121nna+=，1 112n na+=，当 2 n 时，12n na=，当 1 n=时，111212aa=，满足 上式，故12n na=，()()()12 21 221 1 1 1 11log log 1 1 1 log 2 log 2nn nnnba a n n nn n n+=+，故111 1 1 111223 1 1nSnn n=+=+，
34、1nS），若()fx 的图象与()gx 的图象在)1,+上恰有 两对 关于x轴对 称的 点，则 实数a的取 值范 围是_ 第10页/共21 页【答案】e,e2【解析】【分析】结合题意可得到()()22ln22n e l eaxxax x=在)1,+上恰有两个不相等的实根，令()e,1,xt x xx=+，利用 导数 判断 函数 的单 调性，从而 可得()22ln ax x=，则 原问 题等价 于2ya=与2exyx=在)1,+上恰有两 个不 同的交 点，令()2e,1,xhx xx=+，利用 导数 求出 函 数函数 的单 调区间，从 而作 出函 数的 大致 图象，结合 函数 图象 即可 得解.
35、【详解】()e 2ln=xfx x 关于x轴对称 的函 数为 e 2lnxx y=+，因为()fx 的图象 与()gx 的图象 在)1,+上恰有两 对关 于x轴对称 的点，所以方 程22e 2ln 2lnxx ax x a=+在)1,+上恰 有两 个不 相等的 实根，即222ln e 2ln 0 xax x a x+=，即()2 2 2 2l e n 0 xax ax x+=，即()()22ln22e e0 lnaxxax x+=，即()()22ln22n e l eaxxax x=在)1,+上恰有 两个 不相 等的 实根，令()e,1,xt x xx=+，则()e 1 0,1,xtx x=+
36、，所以函 数()extx x=在)1,+上单 调递 增，所以()22ln ax x=，即22exax=，22exax=，故原问 题等 价于2ya=与2exyx=在)1,+上恰 有两个 不同 的交 点，令()2e,1,xhx xx=+，则()()3e2,1,xxhx xx=+，当12 x 时，()0 hx 时，()0 hx，所以函 数()hx 在)1,2 上 单调 递减，在()2,+上单 调递 增，又()()2e1 e,24hh=，当x+时，()hx+，第11 页/共21 页 如图，作出 函数()hx 在)1,+上的大 致图象，要使函 数2ya=与2exyx=在)1,+上恰有 两个 不同的 交点
37、，只要22ee4a，所以ee2a，所以实 数a的取值 范围 是e,e2.故答案 为：e,e2.【点睛】方 法点 睛：利用 导数解 决函 数零 点问 题的 方法：（1）直接 法：先 对函 数求 导，根 据导 数的 方法 求出 函数的 单调 区间 与极 值，根据函 数的 基本 性质 作出 图象，然后将 问题 转化 为函 数图 象与x轴的交 点问 题，突出 导数的 工具 作用，体 现了 转化与 化归 思想、数 形结 合 思想和分 类讨 论思 想的 应用；（2）构 造新 函数 法：将问题 转 化为 研究 两函 数图 象的 交 点问 题；（3）参变 量分 离法：由()0 fx=分离变量 得出()a gx
38、=，将 问题 等价 转化为 直线ya=与 函数()y gx=的图象 的交 点问 题.四、解 答题：本题 共 6 小题，共 70 分.解答 应写 出文 字说明、证 明过程 或演 算 步骤.17.在822xx的 展开 式中.（1）求 第 3 项；（2）求 含1x项的 系数.第12页/共21 页【答案】（1）2112x（2）448【解析】【分析】（1）直 接利 用二 项式定 理计 算得 到答 案.（2）直 接利 用二 项式 定理计 算 得到 答案.【详解】（1）()882222 x xxx=，()()222 82 2 2 6 4 2 2 238 8 82 2 4 112 T Cx x Cx x Cx
39、 x=（2）()()8 2 8318 82 12rrr r rr rrT Cx x Cx+=，令83 1 r=，解得 3 r=.所以()33314844812 T Cxx=.所 以含1x项的系 数为 448.【点睛】本 题考 查了 二项 式定理，意 在考 查学 生的 计算能 力.18.数列 na 满足()2111,nna a nn a+=+，是常 数（1）当21 a=时，求 及3a 的值；（2）数列 na 是否 可能 为等 差 数列？若可 能，求出 它的 通项公 式；若不 可能，说 明理由；【答案】（1）3=，33 a=（2）不 可能，理 由见 解析【解析】【分析】（1）根 据递 推公 式计算
40、 可得 结果；（2）假 设数 列 na 是等 差数 列，根据2 132a aa=+求出 3=，再 根据3 242aaa+可得 结论.【小问 1 详解】11 a=，21(2)2 1 aa=，得 3=，故32(4 2 3)3(1)3 aa=+=.【小问 2 详解】11 a=，21(2)2 aa=，232(6)(6)(2)81 2 aa=+，假设数 列 na 是等差 数列，则2 132a aa=+，则22(2)1 8 12=+，即2(3)0=，3=，当 3=时，21(3)nna nn a+=+，21 a=，39 24 12 3 a=+=，第13页/共21 页 4 33(9 3 3)9 27 a aa
41、=+=，故3 242aaa+，数列 na 不 是等 差数 列，故假设 不成 立，故数 列 na 不可能为 等差 数列.19.随 着全 国新 能源 汽车 推广力 度的 加大，尤 其是 在全国 实现“双碳”目 标的 大背景 下，新能 源汽 车消 费迎来了前 所未 有的 新机 遇 为了更 好了 解大 众对 新能 源汽车 的接 受程 度，某城 市汽车 行业 协会 依据 年龄采 用按比例 分层 随机 抽样 的方 式抽取 了 200 名市 民，并 对他们 选择 新能 源汽 车，还是选 择传 统汽 车进 行意 向调查，得 到了 以下 统计 数据：选择新 能源 汽车 选择传 统汽 车 合计40 岁以 下 65
42、 40 岁以 上（包含 40 岁）60 100 合计 200（1）完成 22 列 联表，并 判断依 据 0.001=的独立 性检 验，能否 认为选 择新 能源 汽车 与年 龄有关；（2）以 样本 的频 率作 为总体 的 概率，若 从全市 40 岁以 上（包含 40 岁）购买 汽车 的 人中 有放 回地 随机 抽取3 人，用 X 表示 抽取 的是“选择 新 能源 汽车”的 人数，求 X 的分布 列及 数学 期望()EX 附：()()()()22(),n ad bcnabcdabcdacbd=+0.100 0.050 0.010 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828【答
43、案】（1）至少 有 99.9%的把 握认为 选择 新能 源汽 车与 年龄有 关.（2）分 布列 见详 解，()1.2 EX=.【解析】【分析】（1）根据 22 列联表 中的数 据以 及公 式()()()()22()n ad bcabcdacbd=+进行计 算求解.（2）利 用二 项分 布进 行计算 求 解.【小问 1 详解】由题可 知：第14页/共21 页 选择新 能源 汽车 选择传 统汽 车 合计40 岁以 下 65 35 100 40 岁以 上（包含 40 岁）40 60 100 合计 105 95 200 所以22200(65 60 40 35)12.531 10.828100 100
44、105 95=，所以至 少有99.9%的把 握认 为选 择新能 源汽 车与 年龄 有关.【小问 2 详解】由题可 知，从全 市 40 岁以 上（包 含 40 岁）购买 汽车 的人中 有放 回地 随机 抽取，抽取的 是“选 择新 能源 汽车”的人 的概 率为 0.4，所以()3,0.4 XB，所以 X 的可能 取值 为：0，1，2，3，且()00330 C 0.4 0.6 0.216 PX=；()11231 C 0.4 0.6 0.432 PX=；()22132 C 0.4 0.6 0.288 PX=；()33033 C 0.4 0.6 0.064 PX=；所以 X 的分布 列为：X 0 1 2
45、 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 数学期 望()1 0.432 2 0.288 3 0.064 1.2 EX=+=.20.设函 数()exf x ax=，0 x 且 R a（1）求 函数()fx 的单调 性；（2）若()21 fx x+恒成立，求 实数 a 的取值 范围【答案】（1）答案 见解 析（2）e2 a【解析】第15页/共21 页【分析】（1）求导 后分 1 a 与 1 a 两种情 况讨 论即 可；（2）方 法一：讨 论当 0 x=时成 立，当 0 x 时 参变 分离 可得2e1xxax，再构造 函数()2e1xxgxx=，0 x，求导 分析 最小 值即 可；方
46、法二：将 题意 转化 为2max11exx ax+，再构造 函数()21exx axhx+=，求 导分 类讨 论单调 性与 最大值即 可.【小问 1 详解】()exfx a=，0 x，当 1 a 时，()0 fx 恒 成立，则()fx 在)0,+上单 调递增；当 1 a 时，)0,ln xa 时，()0 fx，则()fx 在)0,ln a 上单调 递减；()ln,xa+时，()0 fx，则()fx 在)0,ln a 上单 调递 增【小问 2 详解】方法一：2e1xax x+在 0 x 恒 成立，则 当 0 x=时，11，显 然成 立，符合 题意；当 0 x 时，得2e1xxax 恒成立，即2m
47、ine1xxax 记()2e1xxgxx=，0 x，()()()2e 11xxxgxx=，构造函 数e1xyx=，0 x，则 e 10 xy=，故 e1xyx=为增 函数，则0e 1e 0 10 xx=.故e 10 xx 对 任意 0 x 恒成立，则()gx 在()0,1 递减，在()1,+递 增，所以()()min1 e2 gx g=e2 a 方法二：211exx ax+在)0,+上恒 成立，即2max11exx ax+记()21exx axhx+=，0 x，()()()11exx xahx+=，第16页/共21 页 当 1 a 时，()hx()0,1 单增，在()1,+单减，则()()ma
48、x211eahx h+=，得 e2 a，舍：当 01 a 时，()hx 在()0,1 a 单减，在()1,1 a 单增，在()1,+单 减，()01 h=，()21eah+=，得 0 e2 a；当 0 a=时，()hx 在()0,+单减，成 立；当 0 a 时，()hx 在()0,1 单减，在()1,1 a 单增，在()1,a+单 减，()01 h=，()121eaaha=，而1e1 1aa+，显然 成立 综上所 述，e2 a 21.从甲 乙 丙等 5 人 中 随机地 抽取 三个 人去 做传 球训练.训练 规则 是确 定一人 第 一次 将球 传出，每 次传 球时，传 球者 都等 可能 地将 球
49、传给 另外 两个 人中 的任 何一人，每 次必 须将 球传 出.（1）记甲 乙丙 三人 中被 抽 到的人 数为 随机 变量 X，求 X 的分布 列；（2）若 刚好 抽到 甲乙 丙三个 人 相互 做传 球训 练，且第 1 次 由甲 将球 传出，记n次传球 后球 在甲 手中 的概 率为,1,2,3,npn=，直接 写出123ppp，的 值；求1 np+与np 的关 系式*()nN，并求np*()nN.【答案】（1）分布 列见 解析（2）10 p=，212p=，314p=；111,1,2,322nnp pn+=+=；11(1)132nn+【解析】【分析】（1）由 离散 型随 机变量 的分 布列 可解
50、；（2）记nA 表示事 件“经过n次传球后，球 在甲 手中”，由全 概 率公 式可 求 111,22nnpp+=+再由数 列知 识，由递 推公 式求得 通项 公式.【小问 1 详解】X 可能取 值为1,2,3，()1232353110CCpXC=；()213235325CCpXC=；()3032351310CCpXC=在第17页/共21 页 所以随 机变 量 X 的分布 列为 X 1 2 3 P31035110【小问 2 详解】若刚 好抽 到甲乙 丙三 个人 相互 做传 球训练，且n次传 球后 球在 甲手中 的概 率为,1,2,3,npn=，则有10,p=2 221,22p=3 321,24p