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1、平面向量的数量积及运算律【优秀4篇】平面向量的数量积及运算律 篇一 教学目的： 1 掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2 掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4 掌握向量垂直的条件 教学重点：平面向量的数量积定义 教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识 主要知识点：平面向量数量积
2、的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律 教学过程： 一、复习引入： 1. 向量共线定理 向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使 = 2.平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数1，2使 =1 +2 3.平面向量的坐标表示 分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底 任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得 把 叫做向量 的（直角）坐标，记作 4.平面向量的坐标运算 若 ， ， 则 ， ， 若 ， ，则 5. ( )的充要条件是x1y2-x
3、2y1=0 6.线段的定比分点及 p1, p2是直线l上的两点，p是l上不同于p1, p2的任一点，存在实数， 使 = ，叫做点p分 所成的比，有三种情况： 0(内分) (外分) 0 (-1) ( 外分)0 (-10) 7 定比分点坐标公式： 若点p1(x1,y1) ，p2(x2,y2)，为实数，且 ，则点p的坐标为（ ），我们称为点p分 所成的比 8 点p的位置与的范围的关系： 当0时， 与 同向共线，这时称点p为 的内分点 当0( )时， 与 反向共线，这时称点p为 的外分点 9 线段定比分点坐标公式的向量形式： 在平面内任取一点o，设 ， ， 可得 = 10.力做的功：w = | | |
4、cos，是 与 的夹角 二、讲解新课： 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 与 ，作 ， ，则aob（0）叫 与 的夹角 说明：（1）当0时， 与 同向； （2）当时， 与 反向； （3）当 时， 与 垂直，记 ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的 范围0180 2.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是，则数量| | |cos叫 与 的数量积，记作 ，即有 = | | |cos， （0） 并规定 与任何向量的数量积为0 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 （1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定 （2
5、）两个向量的数量积称为内积，写成 ；今后要学到两个向量的外积 ，而 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分 符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替 （3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若 ，且 =0，不能推出 = 因为其中cos有可能为0 （4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c 但是 = = 如右图： = | | |cos = | |oa|， = | | |cos = | |oa| = 但 (5)在实数中，有(aa)c = a(ac)，但是( ) ( ) 显然，这是因为左端是与 共线的向量，而右端是与 共线的向量，而一般 与 不共
6、线 3.“投影”的概念：作图 定义：| |cos叫做向量 在 方向上的投影 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 | |；当 = 180时投影为 | | 4.向量的数量积的几何意义： 数量积 等于 的长度与 在 方向上投影| | os的乘积 5.两个向量的数量积的性质： 设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量 1 = =| |cos 2 = 0 3 当 与 同向时， = | | |；当 与 反向时， = | | | 特别的 = | |2或 4 os = 5| | | | | 三、讲解范例： 例1 判断正误，并简要
7、说明理由 ；0 0； ； ；若 ，则对任一非零 有 0； 0，则 与 中至少有一个为 ；对任意向量 ， ， 都有（ ） （ ）； 与 是两个单位向量，则 2 2 解：上述8个命题中只有正确； 对于：两个向量的数量积是一个实数，应有 0； 对于：应有0 ； 对于：由数量积定义有 cos ，这里是 与 的夹角，只有0或时，才有 ； 对于：若非零向量 、 垂直，有 0； 对于：由 0可知 可以都非零； 对于：若 与 共线，记 则 （ ） （ ）（ ）， （ ） （ ） （ ） （ ） 若 与 不共线，则( ) （ ） 评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律 例2 已知 3，
8、6，当 ， ， 与 的夹角是60时，分别求 解：当 时，若 与 同向，则它们的夹角0， cos036118； 若 与 反向，则它们的夹角180， cos18036（-1）18； 当 时，它们的夹角90， 0； 当 与 的夹角是60时，有 cos6036 9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是0，180，因此，当 时，有0或180两种可能 四、课堂练习： 五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记及备用资料： 1 概念辨析：正确理解向量夹角定义 对于两向量夹角的定义，两向量
9、的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如： 1 已知abc中， 5， 8，c60，求 对此题，有同学求解如下： 解：如图， 5， 8，c60， cosc58cos6020 分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于没能正确理解向量夹角的定义，即上例中 与 两向量的起点并不同，因此，c并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是c的补角120 2 向量的数量积不满足结合律 分析：若有（ ） （ ），设 、 夹角为 ， 、 夹角为，则( ) cos ， ( ) cos 若 ，则 ，进而有：（ ） ( ) 这是一种特殊情形，
10、一般情况则不成立 举反例如下： 已知 1， 1， ， 与 夹角是60， 与 夹角是45，则： ( ) （ cos60） ， ( )（ cos45） 而 ，故（ ） （ ） 平面向量的数量积及运算律 篇二 教学目的： 1 掌握平面向量数量积运算规律； 2 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题； 3 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题 教学重点：平面向量数量积及运算规律 教学难点：平面向量数量积的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，
11、引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质 教学过程： 一、复习引入： 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 与 ，作 ， ，则aob（0）叫 与 的夹角 2.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角是，则数量| | |cos叫 与 的数量积，记作 ，即有 = | | |cos， （0） 并规定 与任何向量的数量积为0 3.“投影”的概念：作图 定义：| |cos叫做向量 在 方向上的投影 投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |一秘 |；当 = 180时投影为 | |
12、4.向量的数量积的几何意义： 数量积 等于 的长度与 在 方向上投影| |cos的乘积 5.两个向量的数量积的性质： 设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量 1 = =| |cos；2 = 0 3当 与 同向时， = | | |；当 与 反向时， = | | | 特别的 = | |2或 4cos = ；5| | | | | 6.判断下列各题正确与否： 1若 = ，则对任一向量 ，有 = 0 ( ) 2若 ，则对任一非零向量 ，有 0 ( ) 3若 ， = 0，则 = ( ) 4若 = 0，则 、 至少有一个为零 ( ) 5若 ， = ，则 = ( ) 6若 = ，则 = 当且仅当 时成
13、立 ( ) 7对任意向量 、 、 ，有( ) ( ) ( ) 8对任意向量 ，有 2 = | |2 ( ) 二、讲解新课： 平面向量数量积的运算律 1.交换律： = 证：设 ， 夹角为，则 = | | |cos， = | | |cos = 2.数乘结合律：( ) = ( ) = ( ) 证：若 0，( ) = | | |cos， ( ) = | | |cos， ( ) = | | |cos， 若 0，( ) =| | |cos() = | | |(cos) = | | |cos， ( ) = | | |cos， ( ) =| | |cos() = | | |(cos) = | | |cos 3
14、.分配律：( + ) = c + 在平面内取一点o，作 = , = ， = ， + （即 ）在 方向上的投影等于 、 在 方向上的投影和， 即 | + | cos = | | cos1 + | | cos2 | | | + | cos =| | | | cos1 + | | | | cos2 ( + ) = + 即：( + ) = + 说明：（1）一般地，( ) （ ） （2） ， （3）有如下常用性质： 2 2， （ ）（ ） ( )2 22 2 三、讲解范例： 例1 已知 、 都是非零向量，且 + 3 与7 5 垂直， 4 与7 2 垂直，求 与 的夹角 解：由( + 3 )(7 5 )
15、= 0 7 2 + 16 15 2 = 0 ( 4 )(7 2 ) = 0 7 2 30 + 8 2 = 0 两式相减：2 = 2 代入或得： 2 = 2 设 、 的夹角为，则cos = = 60 例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和 解：如图： abcd中， ， ， = | |2= 而 = | |2= | |2 + | |2 = 2 = 例3 四边形abcd中， ， ， ， ，且 ，试问四边形abcd是什么图形？ 分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量 解：四边形abcd是矩形，这是因为： 一方面： 0， （ ），( )2（ ）2 即
16、 22 2 22 2 由于 ， 2 2 2 2 同理有 2 2 2 2 由可得 ，且 即四边形abcd两组对边分别相等 四边形abcd是平行四边形 另一方面，由 ，有 （ ）0，而由平行四边形abcd可得 ，代入上式得 (2 )0 即 0， 也即abbc 综上所述，四边形abcd是矩形 评述：(1)在四边形中， ， ， ， 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即 ，应注意这一隐含条件应用； (2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系 四、课堂练习： 1 下列叙述不正确的是（ ） a 向量的数量积满足交换律 b 向量的数量积满足分配律 c 向量的数量
17、积满足结合律 d 是一个实数 2 已知| |=6,| |=4, 与 的夹角为60，则( +2 )( -3 )等于（ ） a 72 b -72 c 36 d -36 3 | |=3,| |=4,向量 + 与 - 的位置关系为（ ） a 平行 b 垂直 c 夹角为 d 不平行也不垂直 4 已知| |=3,| |=4,且 与 的夹角为150，则( + )2 5 已知| |=2,| |=5, =-3,则| + |=_,| - |= 6 设| |=3,| |=5,且 + 与 垂直，则 参考答案：1 c 2 b 3 b 4 2 5 1+2 5 6 五、小结 通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规
18、律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题 六、课后作业 1 已知| |=1,| |= ,且( - )与 垂直，则 与 的夹角是（ ） a 60 b 30 c 135 d 45 2 已知| |=2,| |=1, 与 之间的夹角为 ，那么向量 -4 的模为 a 2 b 2 c 6 d 12 3 已知 、 是非零向量，则| |=| |是( + )与( - )垂直的（ ） a 充分但不必要条件 b 必要但不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 4 已知向量 、 的夹角为 ，| |=2,| |=1,则| + | - |= 5 已知 + =2 -8 , -
19、=-8 +16 ,其中 、 是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么 = 6 已知 、 与 、 的夹角均为60，且| |=1,| |=2,| |=3,则( +2 - )2_ 7 已知| |=1,| |= ,(1)若 ,求 ;(2)若 、 的夹角为60，求| + |；(3)若 - 与 垂直，求 与 的夹角 8 设 、 是两个单位向量，其夹角为60，求向量 =2 + 与 =2 -3 的夹角 9 对于两个非零向量 、 ，求使| +t |最小时的t值，并求此时 与 +t 的夹角 参考答案：1 d 2 b 3 c 4 5 63 6 11 7 (1)- (2) (3)45 8 120 9 90 七
20、、板书设计（略） 八、课后记及备用资料： 1 常用数量积运算公式：在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛 即( )2 22 2，（ ）2 22 2 上述两公式以及( )( ) 2 2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用 2 应用举例 例1 已知 2， 5， 3，求 ， 解： 2（ ）2 22 2222（3）5223 ，（ ）2（ ）2 22 2222（3）5235， . 例2 已知 8， 10， 16，求 与 的夹角(精确到1) 解：（ ）2（ ）2 22 2 22 cos 2 162822810cos102， cos ，55 平面向量的数量
21、积及运算律 篇三 （第二课时） 一、教学目标 1.掌握平面向量的数量积的运算律，并能运用运算律解决有关问题； 2.掌握向量垂直的充要条件，根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直；由两个向量垂直确定参数的值； 3.了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4.通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力； 5.通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质及运算律的应用，培养学生的应用意识。 二、教学重点 平面向量的数量积运算律，向量垂直的条件； 教学难点 平面向量的数量积的运算律，以及平面向量的数量积的应用。 三、教学具准备
22、 投影仪 四、教学过程 1.设置情境 上节课，我们已经给出了数量积的定义，指出了它的（5）条属性，本节课将研究数量积作为一种运算，它还满足哪些运算律？ 2.探索研究 （1）师：什么叫做两个向量的数量积？ 生： （ 与 向量的数量积等式 的模 与 在 的方向上的投影 的乘积） 师：向量的数量积有哪些性质？ 生：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 师：向量的数量积满足哪些运算律？ 生（由学生验证得出） 交换律： 分配律： 师：这个式子 成立吗？（由学生自己验证） 生： ，因为 表示一个与 共线的向量，而 表示一个与 共线的向量，而 与 一般并不共线，所以，向量的内积不存在结合律。 （2
23、）例题分析 【例1】求证： （1） （2） 分析：本例与多项式乘法形式完全一样。 证： 注： （其中 、 为向量） 答：一般不成立。 【例2】已知 ， ， 与 的夹角为 ，求 . 解： 注：与多项式求值一样，先化简，再代入求值。 【例3】已知 ， 且 与 不共线，当且仅当 为何值时，向量 与 互相垂直。 分析：师：两个向量垂直的充要条件是什么？ 生： 解： 与 互相垂直的充要条件是 即 当且仅当 时， 与 互相垂直。 3.演练反馈（投影） （1）已知 ， 为非零向量， 与 互相垂直， 与 互相垂直，求 与 的夹角。 （2） ， 为非零向量，当 的模取最小值时， 求 的值； 求证： 与 垂直。
24、（3）证明：直径所对的圆周角为直角。 参考答案： （1） （2）解答：由 当 时 最小； 与 垂直。 （3）如图所示，设 ， ， （其中 为圆心， 为直径， 为圆周上任一点） 则 ， 即 圆周角 4.总结提炼 （l） （2）向量运算不能照搬实数运算律，如结合律数量积运算就不成立。 （3）要学会把几何元素向量化，这是用向量法证几何问题的先决条件。 （4）对向量式不能随便约分，因为没有这条运算律。 五、板书设计 课题： 1.数量积性质 2.数量积运算律 例题 1 2 3 演练反馈 总结提炼 平面向量的数量积及运算律 篇四 （第一课时） 一、教学目标 1.正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一
25、概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角； 2.掌握平面向量的数量积的重要性质，并能运用这些性质解决有关问题； 3.通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明，培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力； 4.通过平面向量的数量积的概念，几何意义，性质的应用，培养学生的应用意识。 二、教学重点平面向量的数量积概念、性质及其应用 教学难点平面向量的数量积的概念，平面向量的数量积的重要性质的理解。 三、教学具准备 直尺，投影仪 四、教学过程 1.设置情境 师：我们学过功的概念：即一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功： ，其中 表示一个什么角度？ 表示力 的方向与
26、位移 的方向的夹角。 我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，就一般向量 、 ，来规定 的含义。 2.探索研究 （l）已知两个非零向量 和 ，在平面上任取一点 ，作 ， ，则 叫做向量 与 的夹角。你能指出下列图中两向量的夹角吗？ 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ， 与 的夹角是 ， 与 的夹角是 . （2）下面给出数量积定义： 师：（板书）已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为 ，我们把数量 ，叫做向量 与 的数量积或（内积）记作 即 并规定 师：在平面向量的数量积的定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别。 生：向量的数量积结果是一个数量，而向量的加法和减法的结果还是一个向量。 师：你能
27、从图中作出 的几何图形吗？ 表示的几何意义是什么？ 生：如图，过 的终点 作 的垂线段 ，垂足为 ，则由直角三角形的性质得： 所以 叫做向量 在向量 上的投影， 叫做 在 上的投影。 师：因此我们得到 的几何意义：向量 与 的数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的积。 注意：1投影也是一个数量，不是向量。 2当q为锐角时投影为正值； 当q为钝角时投影为负值； 当q为直角时投影为0； 当q =0时投影为 |b|； 当q =180时投影为 -|b|。 向量的数量积的几何意义： 数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。 （3）下面讨论数量积的性质： （每写一条让学生动
28、手证一条）设 ， 都是非零向量， 是与 的方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则 当 与 同向时， ，当 与 反向时， 。 特别地 3.演练反馈（投影） （通过练习熟练掌握性质） 判断下列各题是否正确 （1）若 ，则对任意向量 ，有 （ ） （2）若 ，则对任意非零量 ，有 （ ） （3）若 ，且 ，则 （ ） （4）若 ，则 或 （ ） （5）对任意向量 有 （ ） （6）若 ，且 ，则 （ ） 参考答案：（l），（2），（3），（4），（5），（6）. 4.总结提炼 （l）向量的数量的物理模型是力的做功。 （2） 的结果是个实数（标量） （3）利用 ，可以求两向量夹角，尤其是判定垂直。 （4）二向量夹角范围 . （5）五条属性要掌握。 五、板书设计 课题 1.“功”的抽象 2.数量积的定义 3.（5）条性质 （1） （2） （3） （4） （5） 4.演练反馈 5.总结提炼 它山之石可以攻玉，以上就是一秘范文为大家整理的4篇平面向量的数量积及运算律，希望对您的写作有所帮助。23