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1、精心整理 精心整理 勾股定理总结与提升 一、知识要点：1、勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直 角边为 a、b，斜边为 c，那么 a2+b2=c2。公式的变形：a2=c2-b2，b2=c2-a2。2、勾股定理的逆定理 如果三角形 ABC的三边长分别是 a，b，c，且满足 a2+b2=c2，那么三角形 ABC是直角三角形。这 个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，要注意处理好如下几个要点：已知的条件：某三角形的三条边的长度.满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角
2、.如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。3、勾股数 满足 a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有：（3，4，5?）(5，12，13?)(?6，8，10?)?(?7，24，25?)?(?8，15，17?)(9，12，15?)?4、最短距离问题：主要运用的依据是 两点之间线段最短。二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆2.如图，以 Rt ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间
3、的关系3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3S1D.S2-S3=S14、四边形 ABCD 中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积。5、在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图 4 所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3，正放置的四个正方形的S3S2S1精心整理 精心整理 面积依次是 S S1 2、S S S S S S3 4 1 2 3 4、，则=_。考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边 1在直角三角形中
4、,若两直角边的长分别为 1cm，2cm，则斜边长为 2（易错题、注意分类的思想）已知直角三角形的两边长为 3、2，则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为 5和 12，求斜边上的高 4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 2 倍，则斜边扩大到原来的（）A 2 倍 B 4 倍 C 6 倍 D 8 倍 5、在 Rt ABC中，C=90 若 a=5，b=12，则 c=_；若 a=15，c=25，则 b=_；若 c=61，b=60，则 a=_；若 a b=3 4，c=10 则 Rt ABC的面积是=_。6、如果直角三角形的两直角边长分别为 1 n2，2n（n1），那么它的斜边长是
5、（）A、2n B、n+1 C、n2 1 D、1 n27、在 Rt ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（）A.2 2 2a b c B.2 2 2a c b C.2 2 2c b a D.以上都有可能8、已知 Rt ABC 中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，则 Rt ABC 的面积是（）A、242cm B、362cm C、482cm D、602cm9、已知 x、y 为正数，且 x2-4+（y2-3）2=0，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5 B、25 C、7 D、15考点三：应用勾股定理在等腰
6、三角形中求底边上的高及面积例、如图 1 所示，等腰 中，是底边上的高，若，求 AD的长；ABC的面积考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题角形是直角三角形这个定理叫做勾股定理的逆定理该定理在应用时要注意处理好如下几个要点已知的条件某三角形的 边的对角是直角如果不满足条件就说明这个三角形不是直角三角形勾股数满足的三个正整数称为勾股数注意勾股数必 的依据是两点之间线段最短二考点剖析考点一利用勾股定理面积阴影部分面积阴影部分是正方形阴影部分是长方形阴精心整理 精心整理 1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）A.4，5，6B.2，3，4C.
7、11，12，13D.8，15，172、若线段 a，b，c 组成直角三角形，则它们的比为（）A、2 3 4 B、3 4 6 C、5 12 13 D、4 6 73、下面的三角形中：ABC中，C=A B；ABC中，A：B：C=1：2：3；ABC中，a：b：c=3：4：5；ABC中，三边长分别为 8，15，17其中是直角三角形的个数有（）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个4、若三角形的三边之比为2 1:122，则这个三角形一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.不等边三角形5、已知 a，b，c 为 ABC 三边，且满足(a2 b2)(a2+b2 c2)0，则它的形状
8、为（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是()A 钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形7、若 ABC 的三边长 a,b,c 满足2 2 2a b c 200 12a 16b 20c，试判断 ABC 的形状。8、ABC 的两边分别为 5,12，另一边为奇数，且a+b+c是 3 的倍数，则 c 应为，此三角形为。例 3：求（1）若三角形三条边的长分别是 7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。（2）已知三角形三边的比为 1：3：2，则其最小角为。?考点五:应用勾股定理解决楼梯
9、上铺地毯问题某楼梯的侧面视图如图 3 所示，其中 米，因某种活动要求铺设红色地毯，则在 AB段楼梯所铺地毯的长度应为?米。角形是直角三角形这个定理叫做勾股定理的逆定理该定理在应用时要注意处理好如下几个要点已知的条件某三角形的 边的对角是直角如果不满足条件就说明这个三角形不是直角三角形勾股数满足的三个正整数称为勾股数注意勾股数必 的依据是两点之间线段最短二考点剖析考点一利用勾股定理面积阴影部分面积阴影部分是正方形阴影部分是长方形阴精心整理 精心整理 考点六、利用列方程求线段的长（方程思想）、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1米，当他把绳子的下端拉开 5米后，发现下端刚好
10、接触地面，你能 帮他算出来吗？2、一架长 2.5 m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离 墙底 0.7 m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 m，那么梯 子底端将向左滑动米 3、如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端 距地面的垂直距离为 8 米，如果梯子的顶端下滑 1 米，那么，梯子底端的 滑动距离 1 米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）4、在一棵树 10m 高的 B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树 20m 处的池塘 A 处；?另外一只爬到树顶 D 处后直接跃到 A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？5、如图，是一个外轮廓
11、为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心 A 和 B 的距离为.6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米7、如图 18-15 所示，某人到一个荒岛上去探宝，在 A 处登陆后，往东走8km，又往北走 2km，遇到障碍后又往西走 3km，再折向北方走到 5km 处往东一拐，仅 1km?就找到了宝藏，问：登陆点（A 处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离是多少？考点七：折叠问题1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6，BC=8，将 ABC折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 CD
12、 等于（）A.425B.322C.47D.3560120140B60AC第 5 题图 78 米2 米8 米第 6 题图86图 18-1515328BACADBA BCEDAB C角形是直角三角形这个定理叫做勾股定理的逆定理该定理在应用时要注意处理好如下几个要点已知的条件某三角形的 边的对角是直角如果不满足条件就说明这个三角形不是直角三角形勾股数满足的三个正整数称为勾股数注意勾股数必 的依据是两点之间线段最短二考点剖析考点一利用勾股定理面积阴影部分面积阴影部分是正方形阴影部分是长方形阴精心整理 精心整理 2、如图所示，已知 ABC中，C=90，AB的垂直平分线交 BC?于 M，交 AB于 N，若
13、 AC=4，MB=2MC，求 AB的长3、折叠矩形 ABCD 的一边 AD,点 D 落在 BC 边上的点 F 处,已知AB=8CM,BC=10CM,求 CF和 EC。4、如图，在长方形 ABCD 中，DC=5，在 DC边上存在一点 E，沿直线 AE把 ABC折叠，使点 D 恰好在 BC 边上，设此点为 F，若 ABF的面积为30，求折叠的 AED的面积5、如图，矩形纸片 ABCD 的长 AD=9，宽 AB=3，将其折叠，使点 D与点 B重合，那么折叠后 DE的长是多少？6、如图，在长方形 ABCD 中，将 ABC沿 AC对折至 AEC位置，CE 与 AD交于点F。（1）试说明：AF=FC；（2
14、）如果 AB=3，BC=4，求 AF 的长7、如图 2 所示，将长方形 ABCD 沿直线 AE折叠，顶点 D正好落在 BC边上 F 点处，已知 CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为 _ 8、如图 2-3，把矩形 ABCD沿直线 BD向上折叠，使点 C 落在 C的位置上，已知 AB=?3，BC=7，重合部分 EBD的面积为 _ 9、如图 5，将正方形 ABCD 折叠，使顶点 A 与 CD边上的点 M重合，折痕交 AD于 E，交 BC 于 F，边AB折叠后与 BC 边交于点 G。如果 M为 CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5。10、如图 2-5，长方形 ABCD中，AB=
15、3，BC=4，若将该矩形折叠，使 C 点与 A 点重合，?则折叠后痕迹 EF 的长为（）A 3.74B 3.75C 3.76D 3.772-511、如图 1-3-11，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为 10cm，宽为 4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF的直角顶点 P 落在 AD边上（不与 A、D 重合），在 AD 上适当移动三角板顶点 P：能否使你的三角板两直角边分别通过点 B 与点 C？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请说明理由.再次移动三角板位置，使三角板顶点 P 在 AD 上移动，直角边 PH 始终通过点 B，另一直角边PF 与 DC 的延长线交于点 Q，与 BC 交于
16、点 E，能否使 CE=2cm？若能，请你求出这时 AP 的长；若不能，请你说明理由.12、如图所示，ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜边 BC 的中点，E、F分别是 AB、AC 边上的点，且 DE DF，若 BE=12，CF=5 求线段 EF 的长。AB CEFD角形是直角三角形这个定理叫做勾股定理的逆定理该定理在应用时要注意处理好如下几个要点已知的条件某三角形的 边的对角是直角如果不满足条件就说明这个三角形不是直角三角形勾股数满足的三个正整数称为勾股数注意勾股数必 的依据是两点之间线段最短二考点剖析考点一利用勾股定理面积阴影部分面积阴影部分是正方形阴影部分是长方形阴精心整理 精心
17、整理 13、如图，公路 MN和公路 PQ在点 P 处交汇，且 QPN 30，点 A 处有一所中学，AP 160m。假设拖拉机行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路 MN 上沿 PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？考点八：应用勾股定理解决勾股树问题1、如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，则正方形 A，B，C，D 的面积的和为2、已知 ABC是边长为 1 的等腰直角三角形，以 Rt ABC的斜边 AC为直角边，画第二个等腰 Rt
18、ACD，再以 Rt ACD的斜边 AD为直角边，画第三个等腰 Rt ADE，依此类推，第 n 个等腰直角三角形的斜边长是考点九、图形问题1、如图 1，求该四边形的面积2、如图 2，已知，在 ABC中，A=45，AC=，AB=+1，则边 BC 的长为3、某公司的大门如图所示,其中四边形是长方形,上部是以为直径的半圆,其中=2.3，=2,现有一辆装满货物的卡车,高为 2.5,宽为 1.6,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说明你的理由.4、将一根长 24 的筷子置于地面直径为 5，高为 12 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为 h，则 h 的取值范围。角形是直角三角形这个定理叫做勾股定理的逆定
19、理该定理在应用时要注意处理好如下几个要点已知的条件某三角形的 边的对角是直角如果不满足条件就说明这个三角形不是直角三角形勾股数满足的三个正整数称为勾股数注意勾股数必 的依据是两点之间线段最短二考点剖析考点一利用勾股定理面积阴影部分面积阴影部分是正方形阴影部分是长方形阴精心整理 精心整理 5、如图，铁路上 A、B 两点相距 25km，C、D 为两村庄，DA?垂直 AB于 A，CB 垂直 AB于 B，已知 AD=15km，BC=10km，现在要在铁路 AB上建一个土特产品收购站 E，使得 C、D 两村到 E 站的距离相 等，则 E 站建在距 A站多少千米处？考点十：其他图形与直角三角形 如图是一块
20、地，已知 AD=8m，CD=6m，D=90，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。考点十一：立体图形上两点之间最短距离（与展开图有关的计算）1、如图 1，在棱长为 1 的正方体 ABCD A B C D的表面上，求从顶点 A到顶点 C的最短距离2、如图 2,一个圆柱，底圆周长 6cm，高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要 从 A点爬到 B 点，则最少要爬行 cm3、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各 地农村进行电网改造，某地有四个村庄 A、B、C、D，且正好位于一个正方 形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分 请你帮助
21、计算一下，哪种架设方案最省电线考点十二、航海问题1、一轮船以 16 海里/时的速度从 A 港向东北方向航行，另一艘船同时以 12 海里/时的速度从 A 港向西北方向航行，经过 1.5 小时后，它们相距 _ 海里2、如图，某货船以 24 海里时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M处，在点 A 处测得某岛 C 在北偏 东 60的方向上。该货船航行 30 分钟 到达 B 处，此时又测得该岛在北偏东 30的方向上，已知在 C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。3、如图，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市正南方向 260km 的B 处
22、有一台风中心，沿 BC 方向以 15km/h 的速度向 D 移动，已知城市 A到 BC的距离 AD=100km，那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，ABDBCA东北3060BACMD角形是直角三角形这个定理叫做勾股定理的逆定理该定理在应用时要注意处理好如下几个要点已知的条件某三角形的 边的对角是直角如果不满足条件就说明这个三角形不是直角三角形勾股数满足的三个正整数称为勾股数注意勾股数必 的依据是两点之间线段最短二考点剖析考点一利用勾股定理面积阴影部分面积阴影部分是正方形阴影部分是长方形阴精心整理 精心整理 正在 D
23、点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？考点十三、网格问题 1、如图 1，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格上的三角形 ABC中，边长为无理数的 边数是（）A 0B 1C 2D 32、如图 2，正方形网格中的 ABC，若小方格边长为 1，则 ABC 是（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对3、如图 3，小方格都是边长为 1 的正方形,则四边形 ABCD 的面积是()A 25B.12.5C.9D.8.5（图 1）（图 2）（图 3）4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：使三角形的三边长分别为 3、8、5（在图甲中画一个即可）；使三角形为钝角三角形且面积为 4（在图乙中画一个即可）角形是直角三角形这个定理叫做勾股定理的逆定理该定理在应用时要注意处理好如下几个要点已知的条件某三角形的 边的对角是直角如果不满足条件就说明这个三角形不是直角三角形勾股数满足的三个正整数称为勾股数注意勾股数必 的依据是两点之间线段最短二考点剖析考点一利用勾股定理面积阴影部分面积阴影部分是正方形阴影部分是长方形阴