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1、2020 版高考数学一轮复习 课后限时集训 42 立体几何中的向量方法 理（含解析）新人教 A版 -1-课后限时集训(四十二)立体几何中的向量方法（建议用时：60 分钟)A 组 基础达标 一、选择题 1长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1,E为CC1的中点,则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（）A.错误!B。错误!C.错误!D。错误!B 建立空间直角坐标系如图 则A(1,0,0)，E（0，2，1）,B(1，2，0），C1（0,2,2)，错误!(1，0,2），错误!（1，2，1)，cos 错误!，错误!错误!错误!。所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为错误!.2。如图，
2、在三棱柱ABC.A1B1C1中，底面为等边三角形，侧棱垂直于底面，AB4，AA16,若E，F分别是棱BB1，CC1上的点,且BEB1E，C1F错误!CC1，则异面直线A1E与AF所成角的余弦值为（)A。错误!B.错误!C。错误!D.错误!D 以C为原点，CA为x轴，在平面ABC中作AC的垂线为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示 由题意知A1(4，0，6），E（2，2错误!,3），F(0，0，4)，A（4，0,0)，错误!（2,2错误!,3）,错误!（4,0,4）设异面直线A1E与AF所成的角为,则 cos 错误!错误!错误!。异面直线A1E与AF所成角的余弦值为错误!.故选 D.
3、3在直三棱柱ABC.A1B1C1中，AB1，AC2，BC错误!，D，E分别是AC1和BB1的中点,则直线DE与平面BB1C1C所成的角为()A30 B45 C60 D90 A 由已知AB2BC2AC2，得ABBC。以B为原点，分别以BC，BA，BB1所在直线为x轴，y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图所示，设AA12a，则A(0，1,0)，C（错误!，0,0），D错误!，E（0,0，a)，所以错误!错误!，平面BB1C1C的一个法向量为n（0，1，0),cos错误!，n错误!错误!错误!，错误!，n60，所以直线DE与平面BB1C1C所成的2020 版高考数学一轮复习 课后限时集训 42 立体几
4、何中的向量方法 理（含解析）新人教 A版 -2-角为 30。故选 A.4.如图，在四棱锥P.ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC平面PAB,PAAB，M为PB的中点,PAAD2.若AB1，则二面角B。AC。M的余弦值为(）A。错误!B.错误!C.错误!D.错误!A 因为BC平面PAB，PA平面PAB,所以PABC,又PAAB，且BCABB，所以PA平面ABCD.以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴,建立空间直角坐标系Axyz.则A(0，0,0），C（1,2，0)，P(0，0，2）,B（1，0,0)，M错误!，所以错误!(1,2,0),错误!错误!，求得平
5、面AMC的一个法向量为n（2，1，1），又平面ABC的一个法向量错误!(0，0，2），所以 cos n，错误!错误!错误!错误!错误!.所以二面角BAC.M的余弦值为错误!。5在直三棱柱ABC。A1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2。若二面角B1。DC。C1的大小为60，则AD的长为（）A。错误!B。错误!C2 D.错误!A 如图,以C为坐标原点，CA，CB,CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A（1，0，0）,B1（0,2，2）,C1（0，0,2）设ADa，则D点坐标为(1，0，a）,错误!(1，0，a)，错误!(0，2，2）设平面B1CD的法
6、向量为m（x,y，z）由错误!得错误!令z1，则m(a,1，1)又平面C1DC的一个法向量为n（0，1，0），则由 cos 60错误!，得错误!错误!，解得a错误!,所以AD错误!.故选 A.二、填空题 6.如图所示，在三棱柱ABC。A1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_ 坐标系如图则错误错误错误错误错误错误错误错误所以异面直线与所成角的余弦值为错误如图在三棱柱中底面为等边作的垂线为轴错误错误为轴建立空间直角坐标系如图所示由题意知错误错误错误错误设异面直线与所成的角为则错误在直线为轴轴轴建立空间直角坐标系
7、如图所示设则错误错误所以错误错误的一个法向量为错误错误错误错误错误所以2020 版高考数学一轮复习 课后限时集训 42 立体几何中的向量方法 理（含解析）新人教 A版 -3-60 以BC为x轴,BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系设ABBCAA12，则C1（2,0，2)，E(0，1,0），F(0，0，1),则错误!（0，1,1)，错误!（2，0，2),EF错误!2，cos错误!，错误!错误!错误!，EF和BC1所成的角为 60.7在正四棱柱ABCD。A1B1C1D1中，AA12AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_ 错误!以D为坐标原点，建立空间直角坐标系,如图，设AA12AB
8、2，则D（0，0，0)，C（0,1，0),B(1,1，0）,C1(0，1,2)，则错误!(0，1,0)，错误!(1，1，0），错误!（0，1,2）设平面BDC1的法向量为n（x，y，z），则错误!所以有错误!令y2,得平面BDC1的一个法向量n(2，2，1)设CD与平面BDC1所成的角为，则 sin cos n，错误!|错误!错误!.8(2019汕头模拟）在底面是直角梯形的四棱锥S。ABCD中，ABC90，ADBC，SA平面ABCD,SAABBC1，AD错误!，则平面SCD与平面SAB所成锐二面角的余弦值是_ 错误!如图所示，建立空间直角坐标系，则依题意可知,D错误!，C（1，1，0），S(0
9、,0，1），可知错误!错误!是平面SAB的一个法向量 设平面SCD的一个法向量n（x，y，z），因为错误!错误!，错误!错误!，所以n错误!0，n错误!0，即x2z0，错误!y0.令x2，则有y1，z1，所以n(2，1,1）设平面SCD与平面SAB所成的锐二面角为，则 cos 错误!错误!错误!.三、解答题 坐标系如图则错误错误错误错误错误错误错误错误所以异面直线与所成角的余弦值为错误如图在三棱柱中底面为等边作的垂线为轴错误错误为轴建立空间直角坐标系如图所示由题意知错误错误错误错误设异面直线与所成的角为则错误在直线为轴轴轴建立空间直角坐标系如图所示设则错误错误所以错误错误的一个法向量为错误错误
10、错误错误错误所以2020 版高考数学一轮复习 课后限时集训 42 立体几何中的向量方法 理（含解析）新人教 A版 -4-9。(2019陕西模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1AAB，ABC90，侧面A1ABB1底面ABC.(1）求证：AB1平面A1BC;(2)若AC5,BC3,A1AB60，求二面角BA1CC1的余弦值 解 (1）证明：在侧面A1ABB1中，A1AAB,四边形A1ABB1为菱形，AB1A1B.侧面A1ABB1底面ABC,ABC90，平面A1ABB1平面ABCAB，CB侧面A1ABB1。AB1平面A1ABB1,CBAB1。又A1BBCB，AB1平面A1BC。（2)在 R
11、tABC中，AC5，BC3,AB4，在菱形A1ABB1中，A1AB60,A1AB为正三角形 如图,以菱形A1ABB1的对角线交点O为坐标原点，OA1所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过点O且与BC平行的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系,则A1（2,0，0)，B(2,0，0）,C（2,0,3），B1（0,2错误!，0），C1（0,2错误!，3）,错误!（2，2错误!，0），错误!（2，2错误!，3）设n（x，y，z）为平面A1CC1的法向量，则错误!错误!令x3，得n（3，3,4）为平面A1CC1的一个法向量 又错误!(0,2错误!，0)为平面A1BC的一个法向量，cos n，错误!错误!
12、错误!错误!.由直观图知，二面角BA1C。C1的平面角为钝角,二面角B。A1CC1的余弦值为错误!.10。（2018天津高考）如图，ADBC且AD2BC，ADCD，EGAD且EGAD，CDFG且CD2FG，DG平面ABCD，DADCDG2.坐标系如图则错误错误错误错误错误错误错误错误所以异面直线与所成角的余弦值为错误如图在三棱柱中底面为等边作的垂线为轴错误错误为轴建立空间直角坐标系如图所示由题意知错误错误错误错误设异面直线与所成的角为则错误在直线为轴轴轴建立空间直角坐标系如图所示设则错误错误所以错误错误的一个法向量为错误错误错误错误错误所以2020 版高考数学一轮复习 课后限时集训 42 立体
13、几何中的向量方法 理（含解析）新人教 A版 -5-（1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证:MN平面CDE；(2)求二面角E.BC。F的正弦值；(3）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为 60，求线段DP的长 解 依题意,可以建立以D为原点,分别以DA,错误!，错误!的方向为x轴，y轴,z轴的正方向的空间直角坐标系(如图）,可得 D（0,0，0)，A(2,0,0），B(1,2，0），C（0，2，0),E（2，0,2），F(0,1，2)，G（0,0，2），M0，错误!，1，N(1,0,2)(1）证明：依题意错误!（0,2,0),错误!(2,0,2）设n0(x,y,z）为平面
14、CDE的法向量，则错误!即错误!不妨令z1，可得n0(1,0，1）又错误!错误!，可得错误!n00，又因为直线MN平面CDE,所以MN平面CDE.(2）依题意，可得错误!(1，0，0），错误!（1，2,2），错误!(0，1，2）设n(x，y，z)为平面BCE的法向量，则错误!即错误!不妨令z1，可得n(0,1,1）设m（x，y，z)为平面BCF的法向量,则错误!即错误!不妨令z1，可得m(0，2,1）因此有 cos m，n错误!错误!，于是 sin m，n错误!.所以，二面角E。BC。F的正弦值为错误!.（3)设线段DP的长为h（h0,2)，则点P的坐标为（0,0，h）,可得错误!(1，2,h
15、)易知,错误!（0,2，0)为平面ADGE的一个法向量，故|cos 错误!，错误!错误!错误!，由题意，可得错误!sin 60错误!，解得h错误!0，2 所以，线段DP的长为错误!.B组 能力提升 1设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 2,则点D1到平面A1BD的距离是（)A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!D 如图建立坐标系，则D1(0，0,2)，A1（2,0,2），B(2,2,0），错误!（2，0,0），错误!（2，2,0)，错误!(2,0,2）设平面A1BD的法向量为 n(x,y，z)，则错误!错误!令z1，得n(1,1,1）坐标系如图则错误错误错误错误错误错误错误错误所以异面
16、直线与所成角的余弦值为错误如图在三棱柱中底面为等边作的垂线为轴错误错误为轴建立空间直角坐标系如图所示由题意知错误错误错误错误设异面直线与所成的角为则错误在直线为轴轴轴建立空间直角坐标系如图所示设则错误错误所以错误错误的一个法向量为错误错误错误错误错误所以2020 版高考数学一轮复习 课后限时集训 42 立体几何中的向量方法 理（含解析）新人教 A版 -6-D1到平面A1BD的距离dD1A1n|n错误!错误!.2已知斜四棱柱ABCD。A1B1C1D1的各棱长均为 2，A1AD60,BAD90，平面A1ADD1平面ABCD,则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为（)A。错误!B.错误!C。错
17、误!D。错误!C 取AD中点O，连接OA1，易证A1O平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，得B(2，1,0)，D1（0，2，错误!)，错误!（2,3，错误!)，平面ABCD的一个法向量为n（0，0，1），设BD1与平面ABCD所成的角为，sin 错误!错误!,tan 错误!。3如图所示，二面角的棱上有A，B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB。已知AB4,AC6，BD8，CD2错误!，则该二面角的大小为_ 60 错误!错误!错误!错误!，|错误!|错误!错误!错误!2错误!。错误!错误!错误!错误!cos错误!,错误!24.cos错误!，错误!错误!。又所
18、求二面角与错误!，错误!互补，所求的二面角为60。4等边三角形ABC的边长为 3，点D,E分别是边AB，AC上的点，且满足错误!错误!错误!，如图 1。将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1。DEB为直二面角,连接A1B，A1C，如图 2。图 1 图 2(1)求证：A1D平面BCED；(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为 60？若存在,求出PB的长；坐标系如图则错误错误错误错误错误错误错误错误所以异面直线与所成角的余弦值为错误如图在三棱柱中底面为等边作的垂线为轴错误错误为轴建立空间直角坐标系如图所示由题意知错误错误错误错误设异面直线与所成的角为则错误在
19、直线为轴轴轴建立空间直角坐标系如图所示设则错误错误所以错误错误的一个法向量为错误错误错误错误错误所以2020 版高考数学一轮复习 课后限时集训 42 立体几何中的向量方法 理（含解析）新人教 A版 -7-若不存在，请说明理由 解(1）证明：因为等边三角形ABC的边长为 3，且错误!错误!错误!，所以AD1，AE2.在ADE中,DAE60,由余弦定理得 DE错误!错误!.从而AD2DE2AE2，所以ADDE。折起后有A1DDE，因为二面角A1。DEB是直二面角，所以平面A1DE平面BCED，又平面A1DE平面BCEDDE，A1DDE，所以A1D平面BCED。（2）存在理由：由(1）可知EDDB，
20、A1D平面BCED.以D为坐标原点,分别以DB，DE，DA1所在直线为x轴,y轴,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D。xyz.设PB2a(02a3）,作PHBD于点H，连接A1H,A1P，则BHa，PH错误!a，DH2a。所以A1（0,0,1），P（2a,错误!a，0）,E（0，错误!，0）所以错误!（a2,错误!a,1）因为ED平面A1BD，所以平面A1BD的一个法向量为DE，(0，错误!，0)要使直线PA1与平面A1BD所成的角为60，则 sin 60错误!3a4a24a 5 3错误!,解得a错误!,此时 2a错误!，满足 02a3，符合题意 所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面
21、A1BD所成的角为 60，此时PB错误!.坐标系如图则错误错误错误错误错误错误错误错误所以异面直线与所成角的余弦值为错误如图在三棱柱中底面为等边作的垂线为轴错误错误为轴建立空间直角坐标系如图所示由题意知错误错误错误错误设异面直线与所成的角为则错误在直线为轴轴轴建立空间直角坐标系如图所示设则错误错误所以错误错误的一个法向量为错误错误错误错误错误所以2020 版高考数学一轮复习 课后限时集训 42 立体几何中的向量方法 理（含解析）新人教 A版 -8-坐标系如图则错误错误错误错误错误错误错误错误所以异面直线与所成角的余弦值为错误如图在三棱柱中底面为等边作的垂线为轴错误错误为轴建立空间直角坐标系如图所示由题意知错误错误错误错误设异面直线与所成的角为则错误在直线为轴轴轴建立空间直角坐标系如图所示设则错误错误所以错误错误的一个法向量为错误错误错误错误错误所以