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1、第 9 章 钢筋混凝土受弯构件的应力、裂缝和变形计算9.1 概 述 在前面几章里，根据持久状况承载能力极限状态计算原则，已详细介绍了钢筋混凝土构件的承载力计算及设计方法。但是，钢筋混凝土构件除了可能由于材料强度破坏或失稳等原因达到承载能力极限状态以外，还可能由于构件变形或裂缝过大影响了构件的适用性及耐久性，而达不到结构正常使用要求。因此，钢筋混凝土构件除要求进行持久状况承载能力极限状态计算外，还要进行持久状况正常使用极限状态的计算，以及短暂状况的构件应力计算。本章以钢筋混凝土受弯构件为例，介绍公路桥规对钢筋混凝土构件进行这类计算的要求与方法。对于钢筋混凝土受弯构件，公路桥规规定必须进行使用阶段
2、的变形和最大裂缝宽度验算，除此之外，还应进行受弯构件在施工阶段的混凝土和钢筋应力验算。与承载能力极限状态计算相比，钢筋混凝土受弯构件在使用阶段的计算有如下特点：1)钢筋混凝土受弯构件的承载能力极限状态是取构件破坏阶段，例如，其正截面承载力计算即取图 3-10所示的a 状态为计算图式基础；而使用阶段一般取图 3-10所示的第 II阶段，即梁带裂缝工作阶段。2)在钢筋混凝土受弯构件的设计中，其承载力计算决定了构件设计尺寸、材料、配筋数量及钢筋布置，以保证截面承载能力要大于最不利荷载效应：dM0uM，计算内容分为截面设计和截面复核两部分。使用阶段计算是按照构件使用条件对已设计的构件进行计算，以保证在
3、正常使用状态下的裂缝宽度和变形小于规范规定的各项限值，这种计算称为“验算”。当构件验算不满足要求时，必须按正常使用极限状态要求对已设计好的构件进行修正、调整，直至满足两种极限状态的设计要求。3)承载能力极限状态计算时汽车荷载应计入冲击系数，作用（或荷载）效应及结构构件的抗力均应采用考虑了分项系数的设计值；在多种作用（或荷载）效应情况下，应将各设计值效应进行最不利组合，并根据参与组合的作用（或荷载）效应情况，取用不同的效应组合系数。【即承载能力极限状态采用作用效应的基本组合进行计算】正常使用极限状态计算时作用（或荷载）效应应取用短期效应和长期效应的一种或两种组合，并且公路桥规明确规定这时汽车荷载
4、可不计冲击系数的。上述讨论中提到的短期效应组合就是永久作用（结构自重）标准值与可变作用频遇值效应的组合；长期效应组合则为永久作用标准值与可变作用准永久值效应的组合。有关作用短期效应组合和作用长期效应组合的要求参见第 2 章所述。在钢筋混凝土受弯构件正常使用阶段的验算和应力验算中，要用到“换算截面”的概念，因此，本章将先介绍受弯构件换算截面的概念及其计算方法，然后介绍正常使用阶段和施工阶段各项验算的方法。9.2 换算截面 钢筋混凝土受弯构件受力进入第 II 工作阶段的特征是弯曲竖向裂缝已形成并开展，中和轴以下大部分混凝土已退出工作，由钢筋承受拉力，应力为s但还远小于其屈服强度，受压区混凝土的压应
5、力图形大致是抛物线形。而受弯构件的荷载-挠度（跨中）关系曲线是一条接近于直线的曲线。因而，钢筋混凝土受弯构件的第 II 工作阶段又可称为开裂后弹性阶段。对于第 II 工作阶段的计算，一般有下面的三项基本假定。（1）平截面假定，即认为梁的正截面在梁受力并发生弯曲变形以后，仍保持为平面。根据平截面假定，平行于梁中和轴的各纵向纤维的应变与其到中和轴的距离成正比。同时，由于钢筋与混凝土之间的粘结力，钢筋与其同一水平线的混凝土应变相等，因此，由图 9-1可得到 0()ccxhx （9-1）sc （9-2）式中 c、c分别为混凝土的受拉和受压平均应变；s与混凝土的受拉平均应变为c的同一水平位置处的钢筋平均
6、拉应变；x受压区高度；0h截面有效高度。图 9-1 受弯构件的开裂截面 a)开裂截面 b)应力分布 c)开裂截面的计算图式（2）弹性体假定。钢筋混凝土受弯构件在第 II 工作阶段时，混凝土受压区的应力分布图形是曲线形，但此时曲线并不丰满，与直线形相差不大，可以近似地看作直线分布，即受压区混凝土的应力与平均应变成正比。故有：cccE （9-3）同时，假定在受拉钢筋水平位置处混凝土的平均拉应变与应力成正比，即 cccE （9-4）（3）受拉（区受拉应混凝土完全不能承力。拉应力完全由钢筋承受。由上述三个基本假定作出的钢筋混凝土受弯构件在第 II 工作阶段的计算图式见图 9-1。由式（9-2）和式（9
7、-4）可得到 cccscEE 因为 sssE 故有 sccsEssEE （9-5）式中的Es称为钢筋混凝土构件截面的换算系数，等于钢筋弹性模量与混凝土弹性模量的比值/EsscEE。式（9-5）表明在钢筋同一水平位置处混凝土拉应力c为钢筋应力s的1/Es倍，换言之，钢筋的拉应力s是同一水平位置处混凝土拉应力c的Es倍。由钢筋混凝土受弯构件第 II 工作阶段计算假定而得到的计算图式与材料力学中匀质梁计算图式非常接近，主要区别是钢筋混凝土梁的受拉区混凝土不参予工作。因此，如果能将钢筋和受压区混凝土两种材料组成的实际截面换算一种拉压性能相同的假想材料【这种假想材料的特点是：抗拉压性能相同；理想线弹性材
8、料。即应力与应变关系满足cccE】组成的匀质截面（称换算截面），这样一来，换算截面可以看作是由匀质弹性材料组成的截面，从而能采用材料力学公式进行截面计算。通常，将钢筋截面积sA换算成假想的受拉混凝土截面积scA，位于钢筋的重心处【将每层受拉钢筋面积换算成一个截面积为scA，高度趋近于零的狭长矩形】（图 9-2）。图 9-2 换算截面图 a)原截面 b)换算截面 假想的混凝土所承受的总拉力应该与钢筋承受的总拉力相等，故：sssccAA 又由式（9-5）知/csEs，则可得到/scsscEssAAA （9-6）将ssEscAA称为钢筋的换算面积，而将受压区的混凝土面积和受拉区的钢筋换算面积所组成的
9、截面称为钢筋混凝土构件开裂截面的换算截面（图 9-2）。这样就可以按材料力学的方法来计算换算截面的几何特性。对于图 9-2所示的单筋矩形截面，换算截面的几何特性计算表达式为 换算截面面积0A 0EssAbxA （9-7）换算截面对中和轴的静矩0S：受压区 212ocSbx （9-8）受拉区 0otEssSA hx （9-9）换算截面惯性矩crI 23013c rE ssIb xAhx （9-10）对于受弯构件，开裂截面的中和轴通过其换算截面的形心轴，即otocSS，可得到 2012EssbxA hx 化简后解得换算截面的受压区高度为 0211EssEssAbhxbA （9-11）图 9-3是受
10、压翼缘有效宽度为fb时，T 形截面的换算截面计算图式。图 9-3 开裂状态下 T 形截面换算计算图式 a)第一类 T 型截面 b)第二类 T 型截面 当受压区高度x受压翼板高度fh时，为第一类 T 型截面，可按宽度为fb的矩形截面，应用式（9-7）至式（9-11）来计算开裂截面的换算截面几何特性。当受压区高度xfh，表明中和轴位于 T 形截面的肋部，为第二类 T 型截面。这时，换算截面的受压区高度x计算式为 2xABA （9-12）bhbbAAffssE，202EssffAhbbhBb 开裂截面的换算截面对其中和轴的惯性crI为 332033fffcrEssbbxhb xIA hx （9-13
11、）在钢筋混凝土受弯构件的使用阶段和施工阶段的计算中，有时会遇到全截面换算截面的概念。图 9-4 全截面换算示意图 a)原截面 b)换算截面 全截面的换算截面是混凝土全截面面积和钢筋的换算面积所组成的截面。对于图 9-4所示的 T 形截面，全截面的换算截面几何特性计算式为 换算截面面积：01ffEssAbhbb hA （9-14）受压区高度：220011()()122ffEssbhbb hAhxA （9-15）换算截面对中和轴的惯性矩：3232111()()()()()122122foffffhIbhbhhxbb hbb hx 201EssA hx (9-16）9.3 应力计算 对于钢筋混凝土受
12、弯构件，公路桥规要求进行施工阶段的应力计算，即短暂状况的应力验算。钢筋混凝土梁在施工阶段，特别是梁的运输、安装过程中，梁的支承条件、受力图式会发生变化。例如，图 9-5b)所示简支梁的吊装，吊点的位置并不在梁设计的支座截面，当吊点位置 a 较大时，将会在吊点截面处引起较大负弯矩。又如图 9-5c)所示，采用“钓鱼法”架设简支梁，在安装施工中，其受力简图不再是简支体系。因此，应该根据受弯构件在施工中的实际受力体系进行正截面和斜截面的应力计算。公路桥规规定进行施工阶段验算，施工荷载除有特别规定外均采用标准值，当有组合时不考虑荷载组合系数。构件在吊装时，构件重力应乘以动力系数 1.2 或 0.85【
13、构件在吊装时，若构件惯性力对验算截面不利，则重力动力系数取1.2；若惯性力对验算截面有利，则重力动力系数取0.85】，并可视构件具体情况适当增减。当用吊机(吊车)行驶于桥梁进行安装时，应对已安装的构件进行验算，吊机（车）应乘以 1.15 的荷载系数，但当由吊机（车）产生的效应设计值小于按持久状况承载能力极限状态计算的荷载效应设计值时，则可不必验算。对于钢筋混凝土受弯构件施工阶段的应力计算，可按第 II 工作阶段进行。公路桥规规定受弯构件正截面应力应符合下列条件：（1）受压区混凝土边缘纤维应力 tcc0.80ckf（2）受拉钢筋应力 tsiskf75.0 式中的ckf和skf分别为施工阶段相应的
14、混凝土轴心抗压强度标准值和普通钢筋的抗拉强度标准值，详见附表 1-1和附表 1-3，tsi为按短暂状况计算时受拉区第 i 层钢筋的应力。图 9-5 施工阶段受力图 a)简支梁图 b)梁吊点位置图 c)梁“钓鱼法”安装图 对于钢筋的应力计算，一般仅需验算最外排受拉钢筋的应力，当内排钢筋强度小于外排钢筋强度时，则应分排验算。受弯构件截面应力计算，应已知梁的截面尺寸、材料强度、钢筋数量及布置，以及梁在施工阶段控制截面上的弯矩tkM。下面按照换算截面法分别介绍矩形截面和 T 形截面正应力验算方法。1)矩形截面（图 9-2）按照式（9-11）计算受压区高度x，再按式（9-10）求得开裂截面换算截面惯性矩
15、crI。截面应力验算按式(9-17)和式(9-18)进行：（1）受压区混凝土边缘 ttkcccrM xI0.80ckf （9-17）（2）受拉钢筋的面积重心处 tko its iE scrMhxIskf75.0 （9-18）式中 crI开裂截面换算截面的惯性矩；tkM由临时的施工荷载标准值产生的弯矩值。2)T 形截面 在施工阶段，T 形截面在弯矩作用下，其翼板可能位于受拉区图 9-6a），也可能位于受压区图 9-6b)、图 9-6c)。当翼板位于受拉区时，按照宽度为 b、高度为 h 的矩形截面进行应力验算。当翼板位于受压区时，则先应按下式进行计算判断：2012fEssb xA hx （9-19
16、）式中 fb受压翼缘有效宽度；Es截面换算系数。图 9-6 T 形截面梁受力状态图 a)倒 T 形截面 b)第一类 T 形截面 c)第二类 T 形截面 若按式（9-19）计算的xfh，表明中和轴在翼板中，为第一类 T 形截面，则可按宽度为fb的矩形梁计算。若按式（9-19）计算的xfh，为第二类 T 形截面，这时应按式（9-12）重新计算受压区高度x，再按式（9-13）计算换算截面惯性矩oI。截面应力验算表达式及应满足的要求，仍按式（9-17）和（9-18）进行。当钢筋混凝土受弯构件施工阶段应力验算不满足时，应该调整施工方法，或者补充、调整某些钢筋。对于钢筋混凝土受弯构件在施工阶段的主应力验算
17、详见公路桥规规定，这里不再复述。9.4 受弯构件的裂缝及最大裂缝宽度验算 混凝土的抗拉强度很低，在不大的拉应力作用下就可能出现裂缝。钢筋混凝土结构的裂缝，按其产生的原因可分为以下几类：1)作用效应（如弯矩、剪力、扭矩及拉力等）引起的裂缝。其裂缝形态如前面第 3 章、第 4 章、第 5 章和第 8 章所述。由直接作用引起的裂缝一般是与受力钢筋以一定角度相交的横向裂缝。但是，应该指出的是，由于局部粘结应力过大引起的，沿钢筋长度出现的粘结裂缝（图 4-31）也是由直接作用引起的一种裂缝，这种裂缝通常是针脚状及劈裂裂缝。2)由外加变形或约束变形引起的裂缝。外加变形一般有地基的不均匀沉降、混凝土的收缩及
18、温度差等。约束变形越大，裂缝宽度也越大。例如在钢筋混凝土薄腹 T 梁的肋板表面上出现中间宽两端窄的竖向裂缝，这是混凝土结硬时，肋板混凝土受到四周混凝土及钢筋骨架约束而引起的裂缝。3)钢筋锈蚀裂缝。由于保护层混凝土碳化或冬季施工中掺氯盐（这是一种混凝土促凝、早强剂）过多导致钢筋锈蚀。锈蚀产物的体积比钢筋被侵蚀的体积大（23）倍，这种体积膨胀使外围混凝土产生相当大的拉应力，引起混凝土开裂，甚至保护层混凝土剥落。钢筋锈蚀裂缝是沿钢筋长度方向劈裂的纵向裂缝。过多的裂缝或过大的裂缝宽度会影响结构的外观，造成使用者不安。从结构本身来看，某些裂缝的发生或发展，将影响结构的使用寿命。为了保证钢筋混凝土构件的耐
19、久性，必须在设计、施工等方面控制裂缝。对外加变形或约束变形引起的裂缝，往往是在构造上提出要求和在施工工艺上采取相应的措施予以控制。例如，混凝土收缩引起的裂缝，往往发生在混凝土的结硬初期，因此需要良好的初期养护条件和合适的混凝土配合比设计，所以在施工规程中，提出要严格控制混凝土的配合比，保证混凝土的养护条件和时间。同时，公路桥规还规定，为防止过宽的收缩裂缝，对于钢筋混凝土薄腹梁，应沿梁肋的两侧分别设置直径为（68）mm 的水平纵向钢筋，并且具有规定的配筋率（0.0010.002）bh，其中 b 为肋板宽度，h 为梁的高度，其间距在受拉区不应大于肋板宽度，且不应大于 200mm；在受压区不应大于
20、300mm。在支点附近剪力较大区段，肋板两侧纵向钢筋截面面积应予增加，纵向钢筋间距宜为 100150mm。对于钢筋锈蚀裂缝，由于它的出现将影响结构的使用寿命，危害性较大，故必须防止其出现。钢筋锈蚀裂缝是目前正处于研究的一种裂缝，在实际工程中，为了防止它的出现，一般认为必须有足够厚度的混凝土保护层和保证混凝土的密实性，严格控制早凝剂的掺入量。一旦钢筋锈蚀裂缝出现，应当及时处理。在钢筋混凝土结构的使用阶段，直接作用引起的混凝土裂缝，只要不是沿混凝土表面延伸过长或裂缝的发展处于不稳定状态，均属正常的（指一般构件）。但在直接作用下，若裂缝宽度过大，仍会造成裂缝处钢筋锈蚀。钢筋混凝土构件在荷载作用下产生
21、的裂缝宽度，主要通过设计计算进行验算和构造措施上加以控制。由于裂缝发展的影响因素很多，较为复杂，例如荷载作用及构件性质、环境条件、钢筋种类等，因此，本节将主要介绍钢筋混凝土受弯构件弯曲裂缝宽度的验算及控制方法。9.4.1 受弯构件弯曲裂缝宽度计算理论和方法简介 裂缝宽度是指混凝土构件裂缝的横向尺寸。对于钢筋混凝土受弯构件弯曲裂缝宽度问题，各国均做了大量的试验和理论研究工作，提出了各种不同的裂缝宽度计算理论和方法，总的来说，可以归纳为两大类：第一类是计算理论法。它是根据某种理论来建立计算图式，最后得到裂缝宽度计算公式，然后对公式中一些不易通过计算获得的系数，利用试验资料加以确定。第二类是分析影响
22、裂缝宽度的主要因素，然后利用数理统计方法来处理大量的试验资料而建立计算公式。下面介绍三种计算理论法。1)粘结滑移理论法 由 D.Watstein 等人在（19401960）年代建立和发展起来的裂缝计算理论，一直被认为是“经典的裂缝理论”。这个理论认为裂缝控制主要取决于钢筋和混凝土之间的粘结性能。其理论要点是钢筋应力通过钢筋与混凝土之间的粘接应力传给混凝土，当混凝土裂缝出现以后，由于钢筋和混凝土之间产生了相对滑移，变形不一致而导致裂缝开展。因此，在一个裂缝区段（裂缝间距crl）内，钢筋伸长和混凝土伸长之差就是裂缝开展平均宽度fW，而且还意味着混凝土表面裂缝宽度与钢筋表面处的裂缝宽度是一样的。钢筋
23、 图 9-7 粘结滑移理论示意图 按这一理论建立的裂缝平均宽度fW的计算式为 fcrscWl (1/)crscscrsll 式中crl为平均裂缝间距，与钢筋直径d和配筋率有关；s、c分别为裂缝间的钢筋和混凝土的平均应变。式中的钢筋平均应变s进一步可表达为ssssE，为裂缝间混凝土参予受拉工作的程度，即裂缝间距内受拉钢筋应变不均匀系数，1.0。另外，由于c通常远远小于s，常可忽略不计。由此得到裂缝平均宽度为 ssfcrsWlE （9-20）式中 ss钢筋在裂缝处的应力；钢筋应变不均匀系数。2)无滑移理论 1966 年英国水泥混凝土学会 G.D.Base、J.b.Read 等人提出了无滑移理论。这
24、一理论认为，在通常允许的裂缝宽度范围内，钢筋与混凝土之间的粘结力并不破坏，相对滑移很小可以忽略不计，钢筋表面处裂缝宽度要比构件表面裂缝宽度小得多，这表明裂缝的形状如图 9-8所示。此理论要点是表面裂缝宽度是由钢筋至构件表面的应变梯度控制的，即裂缝宽度随着离钢筋距离的增大而增大，钢筋的混凝土保护层厚度是影响裂缝宽度的主要因素。钢筋 图 9-8 无滑移理论示意图 G.D.Base 等学者通过理论与试验导出钢筋侧面的最大裂缝宽度maxfW为 maxssfsWkcE （9-21）式中 c为裂缝观测点离最近一根钢筋表面的距离，若c点位于构件表面，则c为保护层厚度；为最大裂缝宽度与平均裂缝宽度的扩大倍数。
25、3)综合理论 即为粘结滑移理论和无滑移理论的综合。1971 年日本的 Y.Goto 在轴心拉杆的钢筋周围预埋导管并用墨水注入，试验后剖开试件发现在主裂缝附近变形钢筋周围形成（图 9-9）所示的内部微裂，主裂缝附近区段粘结力遭到破坏，同时证明裂缝宽度在构件外表处最大，钢筋表面处最小。这为综合理论的研究提供了试验观察现象。综合理论既考虑了混凝土保护层厚度对裂缝宽度fW的影响，也考虑了钢筋和混凝土之间可能出现的滑移，这无疑比前两种理论更为合理。主裂缝钢筋 图 9-9 综合理论示意图 我国混凝土结构设计规范（GBJ50010-2002）采用综合理论进行裂缝宽度计算式如下：max2.1(1.90.08)
26、eqskfstedWcE （9-22）1.10.65tkteskf 2iieqiiinddnvd testeAA skskAhM087.0 式中 MK 按荷载效应的标准组合计算的弯矩值；sk 按荷载短期效应标准组合计算的受弯构件纵向受拉钢筋的应力；裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数，当1.0 时，取=1.0；对直接承受重复荷载的构件，取=1.0；c 最外一排纵向受拉钢筋保护层厚度（以 mm 计），当c20 时，取c=20，当c65时，取c=65；teA 有效受拉混凝土面积。对轴拉构件为构件截面面积，对受弯构件则取21梁高以下【此处“以下”应指以梁高度中点划分的构件受拉一侧】的混凝土截面面积。te
27、按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率，当te0.01 时，取te=0.01；sA纵向受拉钢筋截面面积；eqd纵向受拉钢筋等效直径(mm)；id 第 i 种纵向受拉钢筋的公称直径；in第 i 种纵向受拉钢筋的根数；iv第 i 种纵向受拉钢筋的相对粘结特征系数，对带肋钢筋取 1.0，对光面钢筋取 0.7。在式（9-22）中的括号内数值相当于平均裂缝间距，其第一项反映保护层厚度c的影响，一般指主筋侧面的保护层厚度；第二项反映钢筋与混凝土相对滑移对裂缝宽度的影响。这些都反映了综合理论方法的特点。【裂缝宽度计算的数理统计方法】影响裂缝宽度的因素很多，裂缝机理也十分复杂。近数十年来人们已积累了
28、相当多的研究裂缝问题的试验资料，利用这些已有的试验资料，分析影响裂缝宽度的种因各素，找出主要的因素，舍去次要因素，再用数理统计方法给出简单适用而又有一定可靠性的裂缝宽度计算公式，这种方法称为数理统计方法。我国大连理工大学研究并提出了按数理统计方法得出的裂缝宽度公式。根据大连理工大学和东南大学的试验结果分析，影响裂缝宽度的主要因素有：钢筋应力ss、钢筋直径d、配筋率、保护层厚度c、钢筋外形、荷载作用性质（短期、长期、重复作用）、构件受力性质（受弯、受拉、偏心受拉等）。欲建立的裂缝宽度计算公式考虑因素分析如下：（1）混凝土强度等级（或抗拉强度）的影响 国内外资料大多认为混凝土强度对裂缝宽度影响不大
29、，计算公式中可不考虑此项因素。（2）钢筋保护层厚度c的影响 保护层厚度c对裂缝间距crl和表面裂缝宽度fW均有影响。保护层愈厚，裂缝宽度愈宽。但是，从另一方面讲，容许裂缝宽度如规定为使用年限内钢筋不致锈蚀的开展宽度，则也与保护层厚度密切有关，即保护层愈厚，钢筋锈蚀的可能性愈小。因此，保护层厚度对计算裂缝宽度和容许裂缝宽度的影响可大致抵消，同时，一般构件保护层厚度与截面有效高度之比变异范围不大（10.005.00hc），故在裂缝宽度计算公式中，暂时也可以不考虑保护层厚度的影响。（3）受拉钢筋应力ss的影响 在国外文献中，一致认为受拉钢筋应力ss是影响裂缝开展宽度的最主要因素。但裂缝宽度与ss的关
30、系则有不同的表达形式。采用在使用荷载作用下裂缝最大宽度maxfW与ss成线性关系的形式是最简单的表达形式。（4）钢筋直径d的影响 试验表明，在受拉钢筋配筋率和钢筋应力大致相同的情况下，裂缝宽度随d的增大而增大。（5）受拉钢筋配筋率的影响 试验表明，当钢筋直径相同、钢筋应力大致相同的情况下，裂缝宽度随着值的增加而减小，当接近某一数值（如0.02 时），裂缝宽度接近不变。（6）钢筋外形的影响 在裂缝宽度计算公式中，引用不同的系数1c来考虑钢筋外形的影响，例如对带肋钢筋取1c=1.0。（7）直接作用性质的影响 在裂缝宽度计算公式中，引用不同的系数2c来考虑荷载作用性质的影响，例如对短期荷载作用取0.
31、12c。（8）构件受力性质的影响 用不同的参数3c来考虑构件受力性质对最大裂缝宽度的影响，例如对受弯构件取3c=1.0。从以上分析，在选取统计参数时，舍去次要因素，考虑主要参数，得到最大裂缝宽度计算公式形式为 45max1 2 367()ssfscc dWc c cEcc 在做数理统计分析时，先取常用的带肋钢筋0.11c，短期荷载作用0.12c，常用的受弯构件0.13c，于是：44551max67672355()()()ssssssfssscdcc dccdccEccEEcccc 式中 1c、2c和3c是由试验数据决定的参数。上式是多变量的曲线方程。用常规的最小二乘方法进行直接的回归统计来确定
32、各待定参数是困难的，因此采用变换参数逐步逼近目标函数的方法寻找最佳参数值。计算的目标函数是要求maxmaxtffxWW的平均值1x，且使maxmaxtffxWW的变异系数趋于最小，maxtfW为试验观测值。经过用计算机进行统计计算，并取用工程设计中习用的取整数字，给出301c，28.02c，103c，再根据轴心受拉、偏心受压、偏心受拉构件裂缝宽度的试验资料和以往的设计经验，统计出各种情况下1c、2c和3c，由此给出矩形、T 形、倒 T 形、工字形截面受弯、轴心受拉、偏心受压、偏心受拉构件的最大裂缝宽度fkW(mm)的计算公式为 1 2 330()0.2810ssfksdWc c cE （9-2
33、3）式中 1c考虑钢筋表面形状的系数，对带肋钢筋，取1c=1.0；对光圆钢筋，取1c=1.4；2c考虑荷载作用的系数，短期静力荷载作用时，取2c=1.0；荷载长期或重复作用时,取2c=1.5;3c考虑构件受力特征的系数，对受弯构件，取3c=1.0；对大偏心受压构件，取3c=0.9；对偏心受拉构件，取3c=1.1；对轴心受拉构件，取3c=1.2;d纵向钢筋直径（mm）；截面配筋率；ss按构件短期效应组合计算的构件裂缝处纵向受拉钢筋应力（MPa）；sE受拉钢筋弹性模量（MPa）。9.4.2 公路桥规关于最大裂缝宽度计算方法和裂缝宽度限值 公路桥规对于钢筋混凝土构件的最大裂缝宽度计算公式，是以式（9
34、-23）为基础加以修订提出的。【说明：公路桥规采用数理统计方法计算裂缝宽度】在研究分析中，选用了包括式（9-23）在内的国内外 6 个裂缝宽度计算公式，对 40 根公路钢筋混凝土 T 形简支梁受拉主筋（采用螺纹钢筋）进行计算，并以 CEBFIP国际标准规范公式为准绳进行比较。其结论是式（9-23）的计算值接近于国际标准规范值，但略大。同时，对钢筋混凝土其他构件的试验资料进行对比后，对式（9-23）系数进行了修正。公路桥规规定矩形、T 形和工字形截面的钢筋混凝土构件，其最大裂缝宽度fkW可按下式计算：1 2 330()0.2810ssfksdWc c cE （mm）（9-24）式中 1c钢筋表面
35、形状系数，对于光面钢筋，1c=1.4；对于带肋钢筋，1c=1.0；2c 作用（或荷载）长期效应影响系数，210.5lsNcN，其中lN和sN分别为按作用（或荷载）长期效应组合和短期效应组合计算的内力值（弯矩或轴力）；3c与构件受力性质有关的系数。当为钢筋混凝土板式受弯构件时，3c=1.15；其他受弯构件时，3c=1.0，偏心受拉构件时，3c=1.1；偏心受压构件时，3c=0.9；轴心受拉构件时，3c=1.2；d纵向受拉钢筋的直径（mm）。当用不同直径的钢筋时，改用换算直径ed，2iieiinddnd，式中对钢筋混凝土构件，in为受拉区第 i 种普通钢筋的根数，id为受拉区第 i 种普通钢筋的公
36、称直径。对于焊接钢筋骨架，式(9-24)中的 d或 de应乘以 1.3 的系数；纵向受拉钢筋配筋率，ffshbbbhA)(0。对钢筋混凝土构件，当0.02 时，取0.02；当 0.006 时，取0.006；对于轴心受拉构件，按全部受拉钢筋截面面积sA的一半计算；fb、fh受拉翼缘的宽度与厚度；0h有效高度；ss由作用（或荷载）短期效应组合引起的开裂截面纵向受拉钢筋在使用荷载作用下的应力（MPa），对于钢筋混凝土受弯构件，087.0hAMssss；其他受力性质构件的ss计算式参见公路桥规；sE钢筋弹性模量（MPa）。公路桥规规定，在正常使用极限状态下钢筋混凝土构件的裂缝宽度，应按作用（或荷载）短
37、期效应组合并考虑长期效应组合影响进行验算，且不得超过规范规定的裂缝限值。在类和类环境条件下的钢筋混凝土构件，算得的裂缝宽度不应超过 0.2mm；处于类和类环境下的钢筋混凝土受弯构件，容许裂缝宽度不应超过 0.15mm。应该强调的是，公路桥规规定的裂缝宽度限值，是指在作用（或荷载）短期效应组合并考虑长期效应组合影响下构件的垂直裂缝，不包括施工中混凝土收缩、养护不当等引起的其他非受力裂缝。9.5 受弯构件的变形（挠度）验算 钢筋混凝土受弯构件在使用阶段，因作用（或荷载）将产生挠曲变形，而过大的挠曲变形将影响结构的正常使用。因此，为了确保桥梁的正常使用，受弯构件的变形计算列为持久状况正常使用极限状态
38、计算的一项主要内容，要求受弯构件具有足够刚度，使得构件在使用荷载作用下的最大变形（挠度）计算值不得超过容许的限值。受弯构件在使用阶段的挠度应考虑作用（或荷载）长期效应的影响，即按作用（或荷载）短期效应组合和给定的刚度计算的挠度值，再乘以挠度长期增长系数。挠度长期增长系数取用规定是：当采用 C40【不含C40】以下混凝土时，=1.60；当采用 C40C80 混凝土时，=1.451.35，中间强度等级可按直线内插取用。公路桥规规定，钢筋混凝土受弯构件按上述计算的长期挠度值，在消除结构自重产生的长期挠度后不应超过以下规定的限值：梁式桥主梁的最大挠度处 /600l 梁式桥主梁的悬臂端 1/300l 此
39、处，l为受弯构件的计算跨径，1l为悬臂长度。本节将介绍公路桥规关于受弯构件在使用阶段变形验算的方法。9.5.1 受弯构件的刚度计算 在使用阶段，钢筋混凝土受弯构件是带裂缝工作的。对这个阶段的计算，前已介绍有三个基本假定，即平截面假定、弹性体假定和不考虑受拉区混凝土参与工作，故可以采用材料力学或结构力学中关于受弯构件变形处理的方法，但应考虑到钢筋混凝土构件在第 II 阶段的工作特点。钢筋混凝土梁在弯曲变形时，纯弯段的各横截面将绕中和轴转动一个角度，但截面仍保持平面（图 9-10）。这时，按材料力学可得到挠度曲线的曲率为 BMdxyd221 （9-25）挠度计算公式为 2MLywB （9-26）式
40、中 B抗弯刚度。对匀质弹性梁，抗弯刚度EIB（截面和材料确定后，截面刚度就是常数）。【注：在挠度一般表达式（9-26）中，是一个无量纲的数值，取决于受弯构件的计算简图与作用（或荷载）短期效应组合的实际情况。可根据结构力学方法计算，但一般可直接求出挠度y，不必要关注和M的值】图 9-10 平截面假定示意图 构件截面抵抗弯曲变形的能力称为抗弯刚度。构件截面的弯曲变形是用曲率来度量的，1，是变形曲线（指平均中和轴）在该截面处的曲率半径，因此，曲率也就等于构件单位长度上两截面间的相对转角（图 9-10）。但是，钢筋混凝土受弯构件各截面的配筋不一样，承受的弯矩也不相等，弯矩小的截面可能不出现弯曲裂缝，其
41、刚度要较弯矩大的开裂截面大得多，因此沿梁长度的抗弯刚度是个变值。如图 9-11所示，将一根带裂缝的受弯构件视为一根不等刚度的构件，裂缝处刚度小，两裂缝间截面刚度大，图中实线表示截面刚度变化规律。为简化起见，把图中变刚度构件等效为图 9-11c)中的等刚度构件，采用结构力学方法，按在两端部弯矩作用下构件转角相等的原则，则可求得等刚度受弯构件的等效刚度 B，即为开裂构件等效截面的抗弯刚度。图 9-11 构件截面等效示意图 a)构件弯曲裂缝 b)截面刚度变化 c)等效刚度的构件 对钢筋混凝土受弯构件，公路桥规规定计算变形时的抗弯刚度为 crscrscrBBMMMMBB0220)(1)(（9-27）式
42、中 B 开裂构件等效截面的抗弯刚度；0B全截面的抗弯刚度，000.95cBE I；crB开裂截面的抗弯刚度，crccrIEB；cE混凝土的弹性模量；0I全截面换算截面惯性矩；crI开裂截面的换算截面惯性矩；sM按短期效应组合计算的弯矩值；crM开裂弯矩，0crtkMf W；tkf混凝土轴心抗拉强度标准值；构件受拉区混凝土塑性影响系数,002/SW；0S全截面换算截面重心轴以上（或以下）部分面积对重心轴的面积矩；0W全截面换算截面抗裂验算边缘的弹性抵抗矩；9.5.2 预拱度的设置 对于钢筋混凝土梁式桥，梁的变形是由结构重力（恒载）和可变荷载两部分荷载作用产生的。在前面已经介绍，公路桥规对受弯构件
43、主要计算作用（或荷载）短期效应组合并考虑作用（或荷载）长期效应影响的长期挠度值(扣除结构重力产生的影响值)并满足限值。对结构重力引起的变形，一般采用设置预拱度来加以消除。公路桥规规定：当由作用（或荷载）短期效应组合并考虑作用（或荷载）长期效应影响产生的长期挠度【包括结构自重产生的长期挠度】不超过/1600l（l为计算跨径）时，可不设预拱度；当不符合上述规定时则应设预拱度。钢筋混凝土受弯构件预拱度值按结构自重和21可变荷载频遇值计算的长期挠度值之和采用，即 12GQww （9-28）式中 预拱度值；Gw 结构重力产生的长期竖向挠度；Qw 可变荷载频遇值产生的长期竖向挠度。需要注意的是，预拱的设置
44、按最大的预拱值沿顺桥向做成平顺的曲线。例 9-1 钢筋混凝土简支 T 梁梁长019.96Lm，计算跨径mL50.19。C25 混凝土，MPafck7.16，MPaftk78.1，MPaEc41080.2。I 类环境条件，安全等级为二级。主梁截面尺寸如图 9-12a)。跨中截面主筋为 HRB335 级，钢筋截面积26836sAmm 8 322 16，111samm，MPaEs5102，MPafsk335。图 9-12 例 9-1图（尺寸单位：mm）a)梁立面图 b)梁跨中截面图 简支梁吊装时，其吊点设在距梁端mma400处图 9-12a），梁自重在跨中截面引起的弯矩1505.69GMkN m。T
45、 梁跨中截面使用阶段汽车荷载标准值产生的弯矩为596.04MkN mQ1（未计入汽车冲击系数），人群荷载标准值产生的弯矩55.30MkN mQ2，永久作用(恒载)标准值产生的弯矩751MkN mG。试进行钢筋混凝土简支 T 梁的验算。解：1)施工吊装时的正应力验算 根据图 9-12a）所示梁的吊点位置及主梁自重（看作均布荷载），可以看到在吊点截面处有最大负弯矩，在梁跨中截面有最大正弯矩，均为正应力验算截面。本例以梁跨中截面正应力验算为例介绍计算方法。（1）梁跨中截面的换算截面惯性矩crI计算 根据公路桥规规定计算得到梁受压翼板的有效宽度为mmbf1500，而受压翼板平均厚度为 110mm。有效
46、高度013001111189shhamm。542 107.1432.8 10sEscEE 由式（9-19）计算截面混凝土受压区高度为 2115007.143683611892xx 得到 252.07xmm)110(mmhf 故为第二类 T 形截面。这时，换算截面受压区高度 x 应由式（9-12）确定：2027.143 6836 1101500 180180107822 7.143 6836 11891500 180110180733826EssffEssffAhbbAbAhbb hBb 故 221 0 7 87 3 3 8 2 61 0 7 8xABA 299mm)110(mmhf 按式（9-
47、13）计算开裂截面的换算截面惯性矩crI为 332033264331500 180299 1101500 2997.143 683611892993349072.78 10fffcrEssbbxhb xIA hxmm（2）正应力验算 吊装时动力系数为 1.2（起吊时主梁超重），则跨中截面计算弯矩为11.21.2tkGMM mmN 6610828.6061069.505。由式（9-17）算得受压区混凝土边缘正应力为 66606.828 1029949072.78 10ttkcccrM xI 3.7 0 M P a)36.137.168.0(8.0MPafck 由式（9-18）算得受拉钢筋的面积重
48、心处的应力为 606606.828 1011892997.14349072.78 10tktsEscrMhxI 78.61MPa)25133575.0(75.0MPafsk 最下面一层钢筋（322）重心距受压边缘高度为0135.81300(35)12472hmm，则钢筋应力为 0166606.828 107.143124729949072.78 10tksEscrMhxI 83.7MPa)251(75.0MPafsk 验算结果表明，主梁吊装时混凝土正应力和钢筋拉应力均小于规范限值，可取图 9-12a)的吊点位置。2)裂缝宽度fkW的验算（1）系数1c带肋钢筋0.11c；荷载短期效应组合弯矩计算
49、值为 212111QQGsMMMM 751+0.7596.04+1.055.30 1223.53mkN 荷载长期效应组合弯矩计算值为 211222lGQQMMMM=751+0.4596.04+0.455.30=1011.54mkN 系数210.5lsMcM=53.122354.10115.01=1.41；系数3c非板式受弯构件0.13c。（2）钢筋应力ss的计算 MPaAhMssss1736836118987.01053.122387.060（3）换算直径 d 因为受拉区采用不同的钢筋直径，按式（9-24）要求，d 应取用换算直径 de，则可得到 228 322 1630.28 322 16e
50、ddmm 对于焊接钢筋骨架1.3 30.239.26eddmm（4）纵向受拉钢筋配筋率 118918068360bhAs 0319.00.02 取=0.02。（5）最大裂缝宽度fkW 由式（9-24）计算可得到 1 2 3530()0.28 101733039.261 1.41 1()2 100.28 10 0.02ssfksdWc c cE 0.18mm0.2fWmm，满足要求。3)梁跨中挠度的验算 在进行梁变形计算时应取梁与相邻梁横向联接后截面的全宽度受压翼板计算，即为mmbf16001，而fh仍为 110mm。（1）T 梁换算截面的惯性矩crI和0I计算 对 T 梁的开裂截面，由式（9-