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1、 2023 年深圳市高一年级调研考试数学试题参考答案及评分标准 第1页 共7页 2023 年深圳市普通高中高一年级调研考试 数学试题参考答案及评分标准 20236 本试卷 22 小题，满分 150 分。一、选择题本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号 1 23 4 5 6 7 8 答案 B D A B C A C B 二、选择题本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。题号9 10 11 12 答案 AC ACD AD
2、 ABD 三、填空题本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。130142 2315212162四、解答题本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10 分）解解：（1）因为(0,)2，所以 5+(,)336，.1 分 又因为()sin()163f=+=，.2 分所以32+=，.4 分因此6=；.5 分（2）由（1）知()sin(2)6f xx=+，.6 分因为0,4x，则 22,663x+，.7 分 所以1sin(2),162x+，.9 分即()f x的值域为1,12.10 分 18（12 分）2023 年深圳市高一年级调研考试数学试题参考答案及评分
3、标准 第2页 共7页 解解：（1）（法一）由余弦定理得222222acbbcaac+=，.2 分 化简得222bcbca=+，.3 分 所以2221cos222bcabcAbcbc+=，.4 分 又(0,)A，所以3A=.6 分（法二）由正弦定理得sin2sin2sincosBCAB=，.2 分 因为ABC+=，所以sinsin()sin()sincoscossinCABABABAB=+=+=+，所以sin2cossinBAB=，.3 分 因为(0,)B，则sin0B，所以1cos2A=，.4 分 又(0,)A，所以3A=.6 分（2）由余弦定理2222cosabcbcA=+，得2227bcb
4、c=+，.8 分 又2cb=，解得3b=，6c=.10 分 所以ABC的面积19 3sin22SbcA=.12 分 19（12 分）解解：（1）当01a时，()f x单调递减，所以()f x的最大值为(1)0f=，不符合题意；.3 分 当1a 时，()f x单调递增，所以()f x的最大值为(8)log 83af=，则2a=；综上所述，2a=.6 分（2）由（1）知2()logf xx=，所以221loglog22212log2loglogxxxtxtxtx+=+=+，当1,8x时，21log0 xtx+恒成立，即21logtxx恒成立；.8 分 令21()logg xxx=，1,8x，.9
5、分 由函数2logyx=与1yx=的单调性可得，()g x在区间1,8上单调递增，.10 分 所以()g x最大值为23(8)=8g，.11 分 所以238t，即23,)8t+.12 分 20（12 分）解解：（1）样本技术参数的平均数为0.010 10 150.025 10 250.030 10 350.015 10 45+0.010 10 550.005 10 650.005 10 7537.5+=；.3 分 因为前三的频率之和为0.010 100.025 100.030 100.65+=，第四组的频率为0.015 100.15=，0.650.150.80.75+=，所以第 75 百分位数
6、一定在第四组，设第 75 百分数为x，则0.65(40)0.0150.75x+=，解得46.7x，所以第 75 百分数约为46.7.6 分 2023 年深圳市高一年级调研考试数学试题参考答案及评分标准 第3页 共7页（2）采用分层抽样的方法，从技术参数位于区间40,50)，50,60)，60,70)三组的产品中抽取 6 件产品，则从技术参数位于区间40,50)的产品应抽取0.015630.0150.0100.005=+件，记为1a，2a，3a；从技术参数位于区间50,60)的产品应抽取0.010620.0150.0100.005=+件，记为1b，2b；从技术参数位于区间60,70)的产品应抽取
7、0.005610.0150.0100.005=+件，记为c.7 分 从这 6 件产品中任选 3 件产品，样本空间12312112212(,),(,),(,),(,),aaaaabaabaac=13113213231232231121112(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),aabaabaacaabaabaacabbabcabc2122122312313212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)abbabcabcabbabcabcbbc，()20n =，.9 分 事件AB包含了三类，一是在这三组分别抽取1件，1件，1件；二是在这三组分别抽取0
8、件，2件，1件；三是在这三组分别抽取1件，2件，0件 11122122313212(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),ABabcabcabcabcabcabcbbc=112212312(,),(,),(,)abbabbabb，()10n AB=，.11 分 所以()101()()202n ABP ABn=.12 分 21（12 分）解解：（1）因为AB为圆O的直径，所以90ACB=，由222ACABBC=可得4AC=因为2 2PAPC=，满足222PAPCAC+=，所以PAPC 因为平面PAC 平面PCB，平面PAC平面PCBPC=，PA 平面PAC，所以PA 平面PCB，
9、.2 分 又BC 平面PCB，所以PABC 因为BCAC，PA，AC 平面PAC，且PAACA=，所以BC 平面PAC，.4 分 因为BC 平面ABC，所以平面PAC 平面ABC.5 分（2）（法一）取AC的中点1O，连接1O P和1O B，再取1O B的中点M，连接ME 在平面ABC内过点M作BF的垂线，垂足为点N，连接EN，则ENM即为二面角EBFA的平面角.6 分 证明如下：因为PAPC=，且1O是AC的中点，所以1POAC 由（1）知平面PAC 平面ABC，平面PAC平面ABCAC=，1PO 平面PAC，2023 年深圳市高一年级调研考试数学试题参考答案及评分标准 第4页 共7页 所以
10、1PO 平面ABC 因为EM是1POB的中位线，则1/EM PO，所以EM 平面ABC 因为BF 平面ABC，所以BFEM 因为BFMN，MN，ME 平面ENM，且MNMEM=，所以BF 平面ENM又EN 平面ENM，所以BF EN，由二面角的平面角的定义可知ENM即为二面角EBFA的平面角.8 分 连接FM，并延长FM交BC于点T 由EM是1BPO的中位线，得1/EM PO，1PO 平面PAC，EM 平面PAC，所以/EM平面PAC 当/EF平面PAC时，EM，EF 平面EFM，且EMEFE=，所以平面/EFM平面PAC 由平面与平面平行的性质定理可知/TF AC 因为点M是1O B的中点，
11、所以FT过点O，由此可知5FT=因为ACBC，所以FTBC，且BTCT=由222FTBTBF+=，可知30BF=由FTBFNM得MNBTFMBF=，所以263MN=又1112EMPO=因此6tan4EMENMMN=所以二面角EBFA的平面角的正切值为64.12 分（法二）取AC的中点1O，过点1O作BF的垂线，垂足为点Q，连接PQ，则1PQO即为二面角EBFA的平面角.6 分 证明如下：因为PAPC=，且1O是AC的中点，所以1POAC 由（1）知平面PAC 平面ABC，平面PAC平面ABCAC=，1PO 平面PAC，所以1PO 平面ABC 因为BF 平面ABC，所以1BFPO，（第 21 题
12、图一）P A B E C F O M O1T N 2023 年深圳市高一年级调研考试数学试题参考答案及评分标准 第5页 共7页 又因为1BFOQ，111POOQO=，且1PO，1OQ平面1POQ，所以BF 平面1POQ，因为PQ 平面1POQ 所以BFPQ 由二面角的平面角的定义可知1PQO即为二面角PBFA的平面角，同时也是二面角EBFA的平面角.8 分 连接EM，连接FM并延长FM交BC于点T，由EM是1BPO的中位线，得1/EM PO，1PO 平面PAC，EM 平面PAC，所以/EM平面PAC 当/EF平面PAC时，EM，EF 平面EFM，且EMEFE=，所以平面/EFM平面PAC 由平
13、面与平面平行的性质定理可知/TF AC 因为点M是1O B的中点，所以FT过点O，由此可知5FT=因为ACBC，所以FTBC，且BTCT=由222FTBTBF+=，可知30BF=因为30sin6TFTBFBF=，116sin6COTBMBO=，6cos6BTTBFBF=，30cos6BTTBMBM=所以12sinsin()3O BQTBFTBM=所以1114 6sin3OQBOO BQ=，因此1116tan4POPQOOQ=所以二面角EBFA的平面角的正切值为64.12 分 22（12 分）解解：（1）由题意得2221,041(),0441,44xx xf xxxxxx x=+，显然()0f
14、x，且(0,0)是函数()f x与()g x图象的一个交点，.1 分（第 21 题图二）P A B E C F O M O1T Q 2023 年深圳市高一年级调研考试数学试题参考答案及评分标准 第6页 共7页 当0k 时，()0g x 在区间(0,)+上恒成立，与()f x图象无交点；在区间(,0)，()g x与()f x图象至多有一个交点，不合题意.2 分 当0k=时，函数()f x与()g x图象与有且仅有两个交点(0,0)，(4,0)，不符合题意.3 分 当0k 时，若函数()f x与()g x图象有三个交点，则方程214xxkx+=，214xxkx=均有正根，分别为4(1)xk=，4(
15、1)xk=+，.5 分 由04(1)04(1)0kkk+，可得01k，所以实数k的取值范围为(0,1).6 分（2）由（1）可得当(0,1)k时，函数()f x与()g x有三个交点，两个非零交点横坐标分别为14(1)xk=，24(1)xk=+，当1(0,)xx时，()()f xg x，max(),()()f xg xf x=，当12,xxx时，()()f xg x，max(),()()f xg xg x=，当2(,)xx+时，()()f xg x，max(),()()f xg xf x=当314k 时，11x，26x，()()(16)xg xx=，(6)6Mk=，(1)mk=，155,5)4
16、Mmk=.7 分 当1324k 时，112x，26x，11(),1()(),6f xxxxg xxx=，()f x在11,)x上为增函数，且()g x为增函数，故()x在1,6上为增函数，(6)6Mgk=，3(1)4mf=，39 156,)444Mmk=.8 分 当1142k时，123x，256x，1122(),1(),()(),6f xxxg xxxxxf xxx=,且()x在1,2)上为增函数，12,)x上为减函数，在1,6x上为增函数，3(1)(1)4f=，11()()(1)xf xf=，(2)(2)1f=，(6)(6)3(2)f=，2023 年深圳市高一年级调研考试数学试题参考答案及评
17、分标准 第7页 共7页 故(6)3M=，3(1)4mf=，94Mm=.9 分 当104k时，134x，245x，1122(),1(),()(),6f xxxg xxxxxf xxx=，且()x在1,2)上为增函数，12,)x上为减函数，在1,6x上为增函数，3(1)(1)4f=，11()()(1)xf xf=，(2)(2)1f=，(6)(6)3(2)f=，故(6)3M=，21()(4(1)44mf xfkkk=+，29443,3)4Mmkk=+.10 分 综上所述，当314k 时，6Mk=，mk=；当1324k 时，6Mk=，34m=；当1142k时，3M=，34m=；当104k时，3M=，244mkk=+；Mm的取值范围为9,5)4 .12 分