《2023年湖南省怀化市中考数学真题含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年湖南省怀化市中考数学真题含解析.pdf（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、怀化市怀化市 2023 年初中学业水平考试试卷年初中学业水平考试试卷数学数学温馨提示：温馨提示：1.本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为 120 分钟，满分分钟，满分 150 分分2.请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上3.请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效一一、选择题选择题（每小题每小题 4 分分，共共 40 分分；每小题的四个选项中只有一项是正确的每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置
2、上）的代号填涂在答题卡的相应位置上）1.下列四个实数中，最小的数是（）A.5B.0C.12D.22.2023 年 4 月 12 日 21 时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第 122254 次实验中成功实现了 403 秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录数据 122254 用科学记数法表示为（）A.412.2254 10B.41.22254 10C.51.22254 10D.60.122254 103.下列计算正确的是（）A.235aaaB.623aaaC.2329aba bD.52
3、3aa4.剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.5.在平面直角坐标系中，点(2,3)P关于 x 轴对称的点P的坐标是（）A.(2,3)B.(2,3)C.(2,3)D.(2,3)6.如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，160，则2的度数为（）A.30B.60C.100D.1207.某县“三独”比赛独唱项目中，5 名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4.关于这组
4、数据，下列说法正确的是（）A.众数是9.6B.中位数是9.5C.平均数是9.4D.方差是0.38.下列说法错误的是（）A.成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件B.一元二次方程230 xx有两个相等的实数根C.任意多边形的外角和等于360D.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心9.已知压力(N)F、压强(Pa)p与受力面积2mS之间有如下关系式：FpS当 F 为定值时，下图中大致表示压强 p 与受力面积 S 之间函数关系的是（）A.B.C.D.10.如图，反比例函数(0)kykx的图象与过点(1,0)的直线AB相交于A、B两点已知点A的坐标为(1,3)，点C为x轴上任意一点如果9ABCS，那么
5、点C的坐标为（）A.(3,0)B.(5,0)C.(3,0)或(5,0)D.(3,0)或(5,0)二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 24 分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11.要使代数式9x 有意义，则 x 的取值范围是_12.分解因式：2242aa_13.已知关于 x 的一元二次方程220 xmx的一个根为1，则 m 的值为_，另一个根为_14.定义新运算：(,)(,)a bc dacbd，其中a，b，c，d为实数 例如：(1,2)(3,4)1 32 411 如果(2,3)(3,1)3x，那么x _15.如图，点P是正方
6、形ABCD的对角线AC上的一点，PEAD于点E，3PE 则点P到直线AB的距离为_16.在平面直角坐标系中，AOB为等边三角形，点 A 的坐标为1,0把AOB按如图所示的方式放置，并将AOB进行变换：第一次变换将AOB绕着原点 O 顺时针旋转60，同时边长扩大为AOB边长的 2倍，得到11AOB；第二次旋转将11AOB绕着原点 O 顺时针旋转60，同时边长扩大为11AOB，边长的 2倍，得到22A OB，依次类推，得到20332033AOB，则20232033AOB的边长为_，点2023A的坐标为_三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 86 分）分）17.计算：101
7、1219sin451(1)3 18.先化简234111aaa，再从1，0，1，2 中选择一个适当的数作为 a 的值代入求值19.如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F（1）证明：BOFDOE；（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形20.为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30，在B点处测得碑顶D的仰角为60，已知35mAB，测角仪的高度是1.5m
8、（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD（31.732，结果保留一位小数）21.近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图请根据图中信息解答下列问题：（1）所抽取的学生人数为_；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；（3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数22.如图，AB是O的直径，点P是O外一点，PA与O相切于点A，点C为O上的一点 连接PC、AC、OC，且PC
9、PA（1）求证：PC为O的切线；（2）延长PC与AB的延长线交于点 D，求证：PD OCPA OD；（3）若308CABOD，求阴影部分的面积23.某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？24.如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线28yax
10、bx与x轴交于(4,0)(2,0)AB、两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求PAC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）设直线135:4lykxk交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值，平行于x轴的直线237:4ly 上总存在一点E，使得MEN为直角怀化市怀化市 2023 年初中学业水平考试试卷年初中学业水平考试试卷数学数学温馨提示：温馨提示：1.本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为 120 分钟，满分分钟，满分 150 分分2.请你将姓名、准考证号等相关信
11、息按要求填涂在答题卡上请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上3.请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效请你在答题卡上作答，答在本试题卷上无效一一、选择题选择题（每小题每小题 4 分分，共共 40 分分；每小题的四个选项中只有一项是正确的每小题的四个选项中只有一项是正确的，请将正确选项请将正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上）的代号填涂在答题卡的相应位置上）1.下列四个实数中，最小的数是（）A.5B.0C.12D.2【答案】A【解析】【分析】先根据实数的大小比较法则比较数的大小，再求出最小的数即可【详解】15022 最小的数是：5故选：A【点睛】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数
12、的大小比较法则是解此题的关键2.2023 年 4 月 12 日 21 时，正在运行的中国大科学装置“人造太阳”世界首个全超导托卡马克东方超环（EAST）装置取得重大成果，在第 122254 次实验中成功实现了 403 秒稳态长脉冲高约束模式等离子体运行，创造了托卡马克装置高约束模式运行新的世界纪录数据 122254 用科学记数法表示为（）A.412.2254 10B.41.22254 10C.51.22254 10D.60.122254 10【答案】C【解析】【分析】科学记数法的表示形式为10na 的形式，其中110a，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n
13、 的绝对值与小数点移动的位数相同【详解】解：数据 122254 用科学记数法表示为51.22254 10，故选：C【点睛】本题考查的知识点是科学记数法表示较绝对值较大的数把一个大于等于 10 的数写成科学记数法10na 的形式时，将小数点放到左边第一个不为 0 的数位后作为 a，把整数位数减 1 作为 n，从而确定它的科学记数法形式3.下列计算正确的是（）A.235aaaB.623aaaC.2329aba bD.523aa【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项分别计算后，即可得到答案【详解】解：A235aaa，故选项正确，符合题意；B624
14、aaa，故选项错误，不符合题意；C2326aba b，故选项错误，不符合题意；D523aaa，故选项错误，不符合题意故选：A【点睛】此题考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键4.剪纸又称刻纸，是中国最古老的民间艺术之一，它是以纸为加工对象，以剪刀（或刻刀）为工具进行创作的艺术民间剪纸往往通过谐音、象征、寓意等手法提炼、概括自然形态，构成美丽的图案下列剪纸中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这
15、个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故 A 选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 B 选项不合题意C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故 C 选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 D 选项不合题意故选：C【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义5.在平面直角坐标系中，点(2,3)P关于 x 轴对称的点P的
16、坐标是（）A.(2,3)B.(2,3)C.(2,3)D.(2,3)【答案】D【解析】【分析】根据关于 x 轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解【详解】解：点(2,3)P关于 x 轴对称的点P的坐标是(2,3)，故选：D【点睛】本题考查了关于 x 轴对称的两个点的坐标特征，熟练掌握关于 x 轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键6.如图，平移直线AB至CD，直线AB，CD被直线EF所截，160，则2的度数为（）A.30B.60C.100D.120【答案】B【解析】【分析】根据平移可得ABCD，根据平行线的性质以及对顶角相等，即可求解【详解】解：如图所示，平移直
17、线AB至CDABCD，160，13 ,又23，2160 ，故选：B【点睛】本题考查了平移的性质，平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题的关键7.某县“三独”比赛独唱项目中，5 名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4.关于这组数据，下列说法正确的是（）A.众数是9.6B.中位数是9.5C.平均数是9.4D.方差是0.3【答案】A【解析】【分析】先把 5 个数据按从小到大的顺序排列，而后用中位数，众数，平均数和方差的定义及计算方法逐一判断【详解】解：5 个数按从小到大的顺序排列9.2，9.4，9.6，9.6，9.7，A、9.6出现次数最多，众数是9.6，故正确，符
18、合题意；B、中位数是9.6，故不正确，不符合题意；C、平均数是19.2+9.4+9.6 2+9.7=9.55，故不正确，不符合题意；D、方差是222219.29.5+9.49.5+2 9.69.5+9.79.5=0.0325，故不正确，不符合题意故选：A【点睛】本题考查了中位数，众数，平均数和方差，熟练掌握这些定义及计算方法是解决此类问题的关键8.下列说法错误的是（）A.成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件B.一元二次方程230 xx有两个相等的实数根C.任意多边形的外角和等于360D.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心【答案】B【解析】【分析】根据不可能事件、根的判别式、多边形的外角和以
19、及三角形的重心的定义分别进行判断即可【详解】解：A、成语“水中捞月”表示的事件是不可能事件，故此选项不符合题意；B、214 1 3110 ，则一元二次方程230 xx没有实数根，故此选项符合题意；C、任意多边形的外角和等于360，故此选项不符合题意；D、三角形三条中线的交点叫作三角形的重心，故此选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查不可能事件、根的判别式、多边形的外角和以及三角形的重心的定义，熟练掌握有关知识点是解题的关键9.已知压力(N)F、压强(Pa)p与受力面积2mS之间有如下关系式：FpS当 F 为定值时，下图中大致表示压强 p 与受力面积 S 之间函数关系的是（）A.B.C.D.【
20、答案】D【解析】【分析】根据反比例函数的定义，即可得到答案【详解】解：根据题意得：FPS，当物体的压力 F 为定值时，该物体的压强 P 与受力面积 S 的函数关系式是：FPS，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数故选：D【点睛】本题主要考查反比例函数，掌握FPS以及反比例函数的定义，是解题的关键10.如图，反比例函数(0)kykx的图象与过点(1,0)的直线AB相交于A、B两点已知点A的坐标为(1,3)，点C为x轴上任意一点如果9ABCS，那么点C的坐标为（）A.(3,0)B.(5,0)C.(3,0)或(5,0)D.(3,0)或(5,0)【答案】D【解析】【分析】反比例函数(0)kykx的图象
21、过点(1,3)，可得3yx，进而求得直线AB的解析式为3322yx，得出B点的坐标，设,0C c，根据1313922ABCSc，解方程即可求解【详解】解：反比例函数(0)kykx的图象过点(1,3)1 33k 3yx设直线AB的解析式为ymxn，30mnmn，解得：3232mn,直线AB的解析式为3322yx，联立33223yxyx，解得：13xy或232xy ，32,2B，设,0C c，1313922ABCSc，解得：3c 或5c ，C的坐标为(3,0)或(5,0)，故选：D【点睛】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点B的坐标是解题的关键二、填空题（每小题二、填空
22、题（每小题 4 分，共分，共 24 分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）分；请将答案直接填写在答题卡的相应位置上）11.要使代数式9x 有意义，则 x 的取值范围是_【答案】9x【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件得出90 x，即可求解【详解】解：代数式9x 有意义，90 x，解得：9x，故答案为：9x【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键12.分解因式：2242aa_【答案】221a【解析】【详解】解：先提取公因式 2 后继续应用完全平方公式分解即可：原式2222121aaa，故答案为：221a13.已知关于 x 的一元二次方程220 xm
23、x的一个根为1，则 m 的值为_，另一个根为_【答案】.1.2【解析】【分析】将=1x代入原方程，解得m，根据一元二次方程根与系数的关系，得出122xx，即可求解【详解】解：关于 x的一元二次方程220 xmx的一个根为1，120m解得：1m ，设原方程的另一个根为2x，则122x x ，11x 22x 故答案为：12，【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键14.定义新运算：(,)(,)a bc dacbd，其中a，b，c，d为实数 例如：(1,2)(3,4)1 32 411 如果(2,3)(3,1)3x，那么x _【
24、答案】1【解析】【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解【详解】解：(2,3)(3,1)3x23313x 即66x 解得：1x 故答案为：1【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键15.如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PEAD于点E，3PE 则点P到直线AB的距离为_【答案】3【解析】【分析】过点P作PQAB于Q，证明四边形四边形AEPQ是正方形，即可求解【详解】解：如图所示，过点P作PQAB于Q，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PEAD于点E四边形AEPQ是矩形，45EAPAEP是等腰直角三角形，AEEP四边形AEPQ是正方
25、形，3PQEP，即点P到直线AB的距离为3故答案为：3【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，点到直线的距离，熟练掌握正方形的性质与判定是解题的关键16.在平面直角坐标系中，AOB为等边三角形，点 A 的坐标为1,0把AOB按如图所示的方式放置，并将AOB进行变换：第一次变换将AOB绕着原点 O 顺时针旋转60，同时边长扩大为AOB边长的 2倍，得到11AOB；第二次旋转将11AOB绕着原点 O 顺时针旋转60，同时边长扩大为11AOB，边长的 2倍，得到22A OB，依次类推，得到20332033AOB，则20232033AOB的边长为_，点2023A的坐标为_【答案】.20232.20222
26、0222,32【解析】【分析】根据旋转角度为60，可知每旋转 6 次后点A又回到x轴的正半轴上，故点2023A在第四象限，且202320232OA，即可求解【详解】解：AOB为等边三角形，点 A 的坐标为1,0，1OA，每次旋转角度为60，6 次旋转360，第一次旋转后，1A在第四象限，12OA，第二次旋转后，2A在第三象限，222OA，第三次旋转后，3A在x轴负半轴，332OA，第四次旋转后，4A在第二象限，442OA，第五次旋转后，5A在第一象限，552OA，第六次旋转后，6A在x轴正半轴，662OA，如此循环，每旋转 6 次，点A的对应点又回到x轴正半轴，2023 63371，点2023
27、A在第四象限，且202320232OA，如图，过点2023A作2023AHx轴于H，在在2023Rt OHA中，202360HOA，202320232022202320231cos2cos60222OHOAHOA，202320222023202320233sin2322AHOAHOA，点2023A的坐标为202220222,32故答案为：20232，202220222,32【点睛】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 86 分）分）17.计算：1011219sin45
28、1(1)3【答案】18【解析】【分析】先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂、减法运算，再进行加减混合运算即可【详解】解：1011219sin451(1)3 121331 1 18【点睛】此题考查了实数混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键18.先化简234111aaa，再从1，0，1，2 中选择一个适当的数作为 a 的值代入求值【答案】12a，当1a 时，原式为13；当0a 时，原式为12【解析】【分析】本题先对要求的式子进行化简，再选取一个适当的数代入即可求出结果【详解】解：234111aaa2213111aaaaaa21122aaaaa12a，当 a 取2，1，2 时分式没有意义，
29、所以1a 或 0，当1a 时，原式11123 ；当0a 时，原式11022【点睛】本题考查分式的化简求值，解题时要注意先对括号里边进行通分，再约分化简19.如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F（1）证明：BOFDOE；（2）连接BE、DF，证明：四边形EBFD是菱形【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出ADBC，则12,34 ，根据O是BD的中点，可得BODO，即可证明AASBOFDOE；（2）根据BOFDOE可得EDBF，进而可得四边形EBFD是平行四边形，根据对角线互相垂直的四边形是菱形，即可得证【小问 1
30、 详解】证明：如图所示，四边形ABCD是矩形，ADBC，12,34 ，O是BD的中点，BODO，在BOF与DOE中1234BODO ，AASBOFDOE；【小问 2 详解】BOFDOEEDBF，又EDBF四边形EBFD是平行四边形，EFBD四边形EBFD是菱形【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键20.为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰
31、角为30，在B点处测得碑顶D的仰角为60，已知35mAB，测角仪的高度是1.5m（A、B、C在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD（31.732，结果保留一位小数）【答案】烈士纪念碑的通高CD约为31.8米【解析】【分析】根据题意，四边形,AMNB NBCE AMEC是矩形，1.5CE 米，35MNAB米，根据三角形的外角的性质得出，30NMDMDN，等角对等边得出35NDNM，进而解Rt DEN，求得DE，最后根据CDDECE，即可求解【详解】解：依题意，四边形,AMNB NBCE AMEC是矩形，1.5CE 米，35MNAB米，30,60DMNDNE 30MDNDNEDMN30
32、NMDMDN，35NDNM米，在Rt DEN中，sinDEDNEDN3sin603530.32DEDN米1.530.331.8CDCEDE米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键21.近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图请根据图中信息解答下列问题：（1）所抽取的学生人数为_；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数；（3）该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的
33、人数【答案】（1）200人（2）统计图见解析，126（3）1050人【解析】【分析】（1）用“视力正常”的人数除以其人数占比即可求出抽取的学生人数；（2）先求出“中度近视”的人数，进而求出“轻度近视”的人数，由此补全统计图即可；再用360乘以“轻度近视”的人数占比即可求出对应的圆心角度数；（3）用3000乘以样本中“轻度近视”的人数占比即可得到答案【小问 1 详解】解：9045%200人，所抽取的学生人数为200人，故答案为：200；【小问 2 详解】解：中度近视的人数为200 15%30人，“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数为70360126200高度近视的人数为20090703010人，
34、补全统计图如下：【小问 3 详解】解：7030001050200人，估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数为1050人【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键22.如图，AB是O的直径，点P是O外一点，PA与O相切于点A，点C为O上的一点 连接PC、AC、OC，且PCPA（1）求证：PC为O的切线；（2）延长PC与AB的延长线交于点 D，求证：PD OCPA OD；（3）若308CABOD，求阴影部分的面积【答案】（1）见解析（2）见解析（3）88 33【解析】【分析】（1）连接PO，证明PAOPCO，即可得证；（2）根据sinOC
35、PADODPD，即可得证；（3）根据圆周角定理得出260CODCAB，进而勾股定理求得CD，根据OCDOBCSSS阴影扇形，即可求解【小问 1 详解】证明：PA是O的切线，90PAO如图所示，连接PO在PAO与PCO中，PAPCOAOCPOPOPAOPCOSSS90PCOPAOC为O上的一点PC是O的切线；【小问 2 详解】PC是O的切线；OCPD，sinOCPADODPDPD OCPA OD【小问 3 详解】解：BCBC，308CABOD，260CODCAB，OCPD30D，142OCOD4 3CD，21602360OCDOBCSSSCO CDCO阴影扇形2114 4 34 26 8 338
36、【点睛】本题考查了切线的性质与判定，圆周角定理，求含 30 度角的直角三角形的性质，勾股定理，求扇形面积，熟练掌握以上知识是解题的关键23.某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？（2）若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最合算？【答案】（1）原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人
37、（2）共有3种租车方案，方案一：租用A种客车18辆，则租用B种客车7辆；方案二：租用A种客车19辆，则租用B种客车6辆；方案三：租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆，（3）租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆才最合算【解析】【分析】（1）设原计划租用A种客车x辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）设租用A种客车a辆，则租用B种客车25a辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；（3）分别求得三种方案的费用，进而即可求解【小问 1 详解】解：设原计划租用A种客车x辆，根据题意得，4530606xx，解得：26x 所以60 2661200（人）答：原计划租用A种客车2
38、6辆，这次研学去了1200人；【小问 2 详解】解：设租用A种客车a辆，则租用B种客车25a辆，根据题意，得2574560 251200aaa解得：1820a，a为正整数，则18,19,20a，共有3种租车方案，方案一：租用A种客车18辆，则租用B种客车7辆，方案二：租用A种客车19辆，则租用B种客车6辆，方案三：租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆，【小问 3 详解】A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，B种客车越少，费用越低，方案一：租用A种客车18辆，则租用B种客车7辆，费用为18 2207 3006060 元，方案二：租用A种客车19辆，则租用B种客车6辆，费用为19
39、 2206 3005980 元，方案三：租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆，费用为20 2205 3005900 元，租用A种客车20辆，则租用B种客车5辆才最合算【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次方程与不等式组是解题的关键24.如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线28yaxbx与x轴交于(4,0)(2,0)AB、两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，作直线AC，连接PA、PC，求PAC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）设直线135:4lykxk交抛物线于点M、N，求证：无论k为何值
40、，平行于x轴的直线237:4ly 上总存在一点E，使得MEN为直角【答案】（1）228yxx（2）PAC面积的最大值为8，此时点P的坐标为2,8P（3）见解析【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；（2）如图所示，过点P作PDx轴于点D，交AC于点E，得出直线AC的解析式为28yx，设2,28P m mm，则,28E mm，得出224PEm，当PE取得最大值时，PAC面积取得最大值，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）设11,M x y、22,N xy，MN的中点坐标为1212,22xxyyQ，联立235428ykxkyxx，消去y，整理得：23204xk xk，得出121232,
41、4xxkx xk ，则211351,224Qkk，设Q点到2l的距离为QE，则QE 22135371124422kk，依题意，212352yyk，221212122yyxxxx12122xxxx12k xx，得出2221212MNxxyy221k，则21MNk，12MNQE，E点总在Q上，MN为直径，且Q与237:4ly 相切，即可得证【小问 1 详解】解：将(4,0)(2,0)AB、代入28yaxbx，得164804280abab，解得：12ab，抛物线解析式为：228yxx；【小问 2 详解】解：如图所示，过点P作PDx轴于点D，交AC于点E，由228yxx，令0 x，解得：8y ，0,8
42、C，设直线AC的解析式为8ykx，将点4,0A 代入得，480k，解得：2k ，直线AC的解析式为28yx，设2,28P m mm，则,28E mm，22828PEmmm 24mm 224m，当2m 时，PE的最大值为4114222PACSPE OAPEPE 当PE取得最大值时，PAC面积取得最大值PAC面积的最大值为2 48，此时2m ，2284488mm 2,8P【小问 3 详解】解：设11,M x y、22,N xy，MN的中点坐标为1212,22xxyyQ，联立235428ykxkyxx，消去y，整理得：23204xk xk，121232,4xxkx xk ，12122xxk，1212
43、135135222424yyk xxkk kk213524k，211351,224Qkk，设Q点到2l的距离为QE，则QE 22135371124422kk，11,M x y、22,N xy，212352yyk，221212122yyxxxx12122xxxx12k xx2221212MNxxyy2221212xxkxx22121xxk22121241xxx xk222431kkk2211kk221k21MNk，12MNQEQMQNQE，E点总在Q上，MN为直径，且Q与237:4ly 相切，MEN为直角无论k为何值，平行于x轴的直线237:4ly 上总存在一点E，使得MEN为直角【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程根与系数的关系，切线的性质与判定，直角所对的弦是直径，熟练掌握以上知识是解题的关键