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1、北京市西城区 2012 2013 学年度第一学期期末试卷 高三数学（理科）2013.1 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1已知集合|01Axx R，|(21)(1)0Bxxx R，则AB U（）（A）1(0,)2 （B）(1,1)（C）1(,1)(,)2 U （D）(,1)(0,)U 2在复平面内，复数5i2i的对应点位于（）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 3在极坐标系中，已知点(2,)6P，则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）（A）sin1 （B）sin3 （C）cos1 （D）c
2、os3 4执行如图所示的程序框图若输出15S，则框图中 处可以填入（）（A）2k （B）3k （C）4k （D）5k 5已知函数()cosf xxbx，其中b为常数那么“0b”是“()f x为奇函数”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 6已知,a b是正数，且满足224ab 那么22ab的取值范围是（）（A）4 16(,)55 （B）4(,16)5 （C）(1,16)（D）16(,4)5 7某四面体的三视图如图所示该四面体的 六条棱的长度中，最大的是（）（A）2 5（B）2 6（C）2 7（D）4 2 8将正整数1,2,3,4,5,6
3、,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（）（A）221 （B）463 （C）121 （D）263 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9.已知向量(1,3)a，(2,1)b，(3,2)c.若向量c与向量k ab共线，则实数k _ 10如图，RtABC中，90ACB，3AC，4BC 以AC为直径的圆交AB于点D，则 BD ；CD _ 11设等比数列na的各项均为正数，其前n项和为nS 若11a，34a，63kS，则k _ 12已知椭圆 22142xy的两个焦点是1F，2F，点P在该椭圆上 若12|2PFPF，则12PF F的面积是_ 13已
4、知函数()sin(2)6f xx，其中,6xa当3a时，()f x的值域是_；若()f x的值域是1,12，则a的取值范围是_ 14已知函数()f x的定义域为R若常数0c，对x R，有()()f xcf xc，则称函数()f x具有性质P给定下列三个函数：()2xf x；()sinf xx；3()f xxx 其中，具有性质P的函数的序号是_ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15（本小题满分 13 分）在ABC中，已知3sin 21cos 2BB （）求角B的值；标系中已知点则过点且平行于极轴的直线的方程是执行如图所示的程序框图若输出则
5、框图中处可以填入已知函数其中满足那么的取值范围是四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中最大的是将正整数随机分成两组使得每组实数如图中以为直径的圆交于点则设等比数列的各项均为正数其前项和为若则已知椭圆的两个焦点是点在该椭圆上若（）若2BC，4A，求ABC的面积 16（本小题满分 14 分）如图，四棱锥ABCDP 中，底面ABCD为正方形，PDPA，PA平面PDC，E为棱PD的中点（）求证：PB/平面EAC；（）求证：平面PAD 平面ABCD；（）求二面角BACE的余弦值 17（本小题满分 13 分）生产 A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品现随
6、机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标 元件 A 元件 B （）试分别估计元件 A，元件 B为正品的概率；（）生产一件元件 A，若是正品可盈利 40 元，若是次品则亏损 5 元；生产一件元件 B，若是正品可盈利 50元，若是次品则亏损 10 元.在（）的前提下，（）记X为生产 1 件元件 A和 1 件元件 B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（）求生产 5 件元件 B所获得的利润不少于 140 元的概率 18（本小题满分 13 分）已知函数2()xf xxb，其中bR（）求)(xf的单调区间；（）设0b 若1 3,4 4x，使()1f x，求b的取值范围 1
7、9（本小题满分 14 分）如图，已知抛物线24yx的焦点为F过点(2,0)P的直线交抛物线于11(,)A x y，22(,)B xy两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N（）求12y y的值；（）记直线MN的斜率为1k，直线AB的斜率为2k.证明：12kk为定值 20（本小题满分 13 分）如图，设A是由n n个实数组成的n行n列的数表，其中标系中已知点则过点且平行于极轴的直线的方程是执行如图所示的程序框图若输出则框图中处可以填入已知函数其中满足那么的取值范围是四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中最大的是将正整数随机分成两组使得每组实数如图中以为直径的圆交于点则设等比数列的各项
8、均为正数其前项和为若则已知椭圆的两个焦点是点在该椭圆上若ija(,1,2,3,)i jnL表示位于第i行第j列的实数，且1,1ija.记(,)S n n为所有这样的数表构成的集合 对 于(,)AS n n，记()irA为A的 第i行 各 数 之 积，()jcA为A的 第j列 各 数 之 积 令11()()()nnijijl Ar AcA（）请写出一个(4,4)AS，使得()0l A；（）是否存在(9,9)AS，使得()0l A？说明理由；（）给定正整数n，对于所有的(,)AS n n，求()l A的取值集合 北京市西城区 2012 2013 学年度第一学期期末 高三数学（理科）参考答案及评分标
9、准 2013.1 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1D；2B；3A；4C；5C；6B；7 C；8B 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.91；10 165，125；11 6；12 2；13 1,12，,6 2；14 注：10、13 题第一问 2 分，第二问 3 分;14 题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15（本小题满分 13 分）（）解法一：因为3sin 21cos 2BB，所以 22 3sincos2sinBBB3 分 因为 0B ，所以 sin0B
10、，从而 tan3B，5 分 所以 3B 6 分 解法二：依题意得 3sin 2cos 21BB，所以 2sin(2)16B，即 1sin(2)62B 3 分 因为 0B ，所以 132666B，所以 5266B 5 分 所以 3B 6 分（）解法一：因为 4A，3B，根据正弦定理得 sinsinACBCBA，7 分 所以 sin6sinBCBACA 8 分 因为 512CAB ，9 分 所以 562sinsinsin()12464C，11 分 标系中已知点则过点且平行于极轴的直线的方程是执行如图所示的程序框图若输出则框图中处可以填入已知函数其中满足那么的取值范围是四面体的三视图如图所示该四面体
11、的六条棱的长度中最大的是将正整数随机分成两组使得每组实数如图中以为直径的圆交于点则设等比数列的各项均为正数其前项和为若则已知椭圆的两个焦点是点在该椭圆上若yzOEPCBADx所以 ABC的面积133sin22SAC BCC 13 分 解法二：因为 4A，3B，根据正弦定理得 sinsinACBCBA，7 分 所以 sin6sinBCBACA 8 分 根据余弦定理得 2222cosACABBCAB BCB，9 分 化简为 2220ABAB，解得 13AB 11 分 所以 ABC的面积133sin22SAB BCB 13 分 16（本小题满分 14 分）（）证明：连接BD与AC相交于点O，连结EO
12、 因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD中点 因为 E为棱PD中点 所以 EOPB/3 分 因为 PB平面EAC，EO平面EAC，所以直线PB/平面EAC 4 分 （）证明：因为PA平面PDC，所以CDPA 5 分 因为四边形ABCD为正方形，所以CDAD，所以CD平面PAD 7 分 所以平面PAD平面ABCD 8 分 （）解法一：在平面PAD内过D作直线DzAD 因为平面PAD平面ABCD，所以Dz 平面ABCD 由,Dz DA DC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyzD 9 分 设4AB，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,
13、1)DABCPE 所以)1,0,3(EA，)0,4,4(AC 设平面EAC的法向量为=()x,y,zn，则有0,0.EAACuuu ruuu rnn 所以 044,03yxzx 取1x，得(1,1,3)n 11 分 标系中已知点则过点且平行于极轴的直线的方程是执行如图所示的程序框图若输出则框图中处可以填入已知函数其中满足那么的取值范围是四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中最大的是将正整数随机分成两组使得每组实数如图中以为直径的圆交于点则设等比数列的各项均为正数其前项和为若则已知椭圆的两个焦点是点在该椭圆上若yzNMOEPCBADx易知平面ABCD的法向量为(0,0,1)v 12 分
14、所以|3 11|cos,|11n vn vn v 13 分 由图可知二面角BACE的平面角是钝角，所以二面角BACE的余弦值为11113 14 分 解法二：取AD中点M，BC中点N，连结PM，MN 因为ABCD为正方形，所以CDMN/由（）可得MN平面PAD 因为PDPA，所以PMAD 由,MP MA MN两两垂直，建立如图所示 的空间直角坐标系xyzM 9 分 设4AB，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)ABCDPE 所以)1,0,3(EA，)0,4,4(AC 设平面EAC的法向量为=()x,y,zn，则有0,0.EAACuuu
15、ruuu rnn 所以 044,03yxzx 取1x，得n)3,1,1(11 分 易知平面ABCD的法向量为v)1,0,0(12 分 所以|3 11|cos,|11n vn vn v 13 分 由图可知二面角BACE的平面角是钝角，所以二面角BACE的余弦值为11113 14 分 17（本小题满分 13 分）（）解：元件 A为正品的概率约为4032841005 1 分 元件 B为正品的概率约为4029631004 2 分（）解：（）随机变量X的所有取值为90,45,30,15 3 分 标系中已知点则过点且平行于极轴的直线的方程是执行如图所示的程序框图若输出则框图中处可以填入已知函数其中满足那么
16、的取值范围是四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中最大的是将正整数随机分成两组使得每组实数如图中以为直径的圆交于点则设等比数列的各项均为正数其前项和为若则已知椭圆的两个焦点是点在该椭圆上若 433(90)545P X ；133(45)5420P X ；411(30)545P X ；111(15)5420P X 7 分 所以，随机变量X的分布列为:8 分 3311904530(15)66520520EX 9 分（）设生产的 5 件元件 B中正品有n件，则次品有5n件.依题意，得 5010(5)140nn，解得 196n 所以 4n，或5n 11 分 设“生产 5 件元件 B所获得的利润不
17、少于 140 元”为事件A，则 445531381()C()()444128P A 13 分 18.（本小题满分 13 分）（）解：当0b 时，1()f xx 故()f x的单调减区间为(,0)，(0,)；无单调增区间 1 分 当0b 时，222()()bxfxxb 3 分 令()0fx，得1xb，2xb ()f x和()fx的情况如下：故()f x的单调减区间为(,)b，(,)b；单调增区间为(,)bb 5 分 当0b 时，()f x的定义域为|Dxxb R 因为222()0()bxfxxb 在D上恒成立，标系中已知点则过点且平行于极轴的直线的方程是执行如图所示的程序框图若输出则框图中处可以
18、填入已知函数其中满足那么的取值范围是四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中最大的是将正整数随机分成两组使得每组实数如图中以为直径的圆交于点则设等比数列的各项均为正数其前项和为若则已知椭圆的两个焦点是点在该椭圆上若故()f x的单调减区间为(,)b ，(,)bb，(,)b；无单调增区间 7 分（）解：因为0b，1 3,4 4x，所以()1f x 等价于 2bxx ，其中1 3,4 4x 9 分 设2()g xxx ，()g x在区间1 3,4 4上的最大值为11()24g11 分 则“1 3,4 4x，使得 2bxx ”等价于14b 所以，b的取值范围是1(0,4 13 分 19（本小题
19、满分 14 分）（）解：依题意，设直线AB的方程为2xmy 1 分 将其代入24yx，消去x，整理得 2480ymy 4 分 从而128y y 5 分（）证明：设33(,)M xy，44(,)N xy 则 221234341121222234123123444444yyyyyykxxyykxxyyyyyyyy 7 分 设直线AM的方程为1xny，将其代入24yx，消去x，整理得 2440yny 9 分 所以 134y y 10 分 同理可得 244y y 11 分 故112121223412444kyyyyy ykyyyy 13 分 由（）得 122kk，为定值 14 分 20（本小题满分 1
20、3 分）（）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求 标系中已知点则过点且平行于极轴的直线的方程是执行如图所示的程序框图若输出则框图中处可以填入已知函数其中满足那么的取值范围是四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中最大的是将正整数随机分成两组使得每组实数如图中以为直径的圆交于点则设等比数列的各项均为正数其前项和为若则已知椭圆的两个焦点是点在该椭圆上若 3 分（）解：不存在(9,9)AS，使得()0l A 4 分 证明如下：假设存在(9,9)AS，使得()0l A 因为()1,1ir A，()1,1jcA (19,19)ij ，所以1()r A，2()rA，L，9()rA，1()c A，2(
21、)cA，L，9()cA这18个数中有9个1，9个1 令129129()()()()()()Mr A rArA c A cAcA LL 一方面，由于这18个数中有9个1，9个1，从而9(1)1M 另一方面，129()()()r A rAr A L表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m）；129()()()c A cAcA L也表示m，从而21Mm 、相矛盾，从而不存在(9,9)AS，使得()0l A 8 分（）解：记这2n个实数之积为p 一方面，从“行”的角度看，有12()()()npr A rArA L；另一方面，从“列”的角度看，有12()()()npc A cAcA L 从而有12
22、12()()()()()()nnr A rArAc A cAcA LL 10 分 注意到()1,1ir A，()1,1jcA (1,1)injn 下面考虑1()r A，2()rA，L，()nrA，1()c A，2()cA，L，()ncA中1的个数：由知，上述2n个实数中，1的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)kkn；则1的个数为22nk，所以()(1)21(22)2(2)l Aknknk 12 分 对数表0A：1ija(,1,2,3,)i jnL，显然0()2l An 将数表0A中的11a由1变为1，得到数表1A，显然1()24l An 将数表1A中的22a由1变为1，得到数表2A，显然2()
23、28l An 依此类推，将数表1kA中的kka由1变为1，得到数表kA 即数表kA满足：11221(1)kkaaakn L，其余1ija 标系中已知点则过点且平行于极轴的直线的方程是执行如图所示的程序框图若输出则框图中处可以填入已知函数其中满足那么的取值范围是四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中最大的是将正整数随机分成两组使得每组实数如图中以为直径的圆交于点则设等比数列的各项均为正数其前项和为若则已知椭圆的两个焦点是点在该椭圆上若所以 12()()()1kr ArArA L，12()()()1kc AcAcA L 所以()2(1)()24kl Aknknk 由k的任意性知，()l A的取值集合为2(2)|0,1,2,nkknL13 分 标系中已知点则过点且平行于极轴的直线的方程是执行如图所示的程序框图若输出则框图中处可以填入已知函数其中满足那么的取值范围是四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中最大的是将正整数随机分成两组使得每组实数如图中以为直径的圆交于点则设等比数列的各项均为正数其前项和为若则已知椭圆的两个焦点是点在该椭圆上若