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1、2 0 2 3 府 谷 中 学 高 二 年 级 第 二 学 期 第 二 次 月 考数 学 试 题（文 科）考生 注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。2 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3 考 生 作 答 时，请 将 答 案 答 在 答 题 卡 上。选 择 题 每 小 题 选 出 答 案 后，用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4本卷命题范围：高考范围。
2、一、选 择 题：本 题 共 12 小 题，每 小 题 5 分，共 60 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项是符 合题 目要求 的。1 集 合 1,3,5,7,9 M，2 5 N x x，则 M N A 1,3 B 1,3,5 C 1,3,5,7 D 1,3,5,7,92 若 2 3 2 a b i i i（a，b R，i 为 虚 数 单 位），则 a b A 95B 65C 45D 253 命 题“0 x R，20 01 0 x x”的 否 定 是A 0 x R，20 01 0 x x B x R，21 0 x x C 0 x R，21 0 x x D x R，
3、20 01 0 x x 4 在 等 差 数 列 na 中，nS 为 其 前 n 项 和，若3 9 1518 a a a，则17S A 1 0 2 B 1 1 2 C 1 9 2 D 2 0 45 若 x，y 满 足 约 束 条 件3 12 20 x yx yy，则 3 z x y 的 最 大 值 是A 1 B 1 C 6 D 1 936 2s i n 1 6 0 c o s 2 01 2 s i n 2 5 等 于A 12B 32C 34D 27 已 知 函 数 s i n 03f x x）在 0,上 恰 有 3 个 零 点，则 整 数 的 值 为A 2 B 3 C 4 D 58 放 射 性
4、核 素 锶 8 9 的 质 量 M 会 按 某 个 衰 减 率 衰 减，设 初 始 质 量 为0M，质 量 M 与 时 间 t（单 位：天）的 函 数关 系 为1012hM M（其 中 h 为 常 数），若 锶 8 9 的 半 衰 期（质 量 衰 减 一 半 所 用 的 时 间）约 为 5 0 天，那 么 质量 为0M 的 锶 8 9 经 过 3 0 天 衰 减 后 质 量 大 约 变 为（参 考 数 据0.62 1.5 1 6）A 0.7 20M B 0.7 00M C 0.6 80M D 0.6 60M9 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 几 何 体 的 体 积 为A
5、 3 B 2 C 1 D 131 0 若 双 曲 线 C：2 22 21 0,0 x ya ba b 的 一 条 渐 近 线 被 圆 222 4 x y 所 截 得 的 弦 长 为 2 3，则 C的 离 心 率 为A 3 B 2 33C 2 D 3 221 1 已 知1 9 7l n9 8 9 8a，1 9 8l n9 9 9 9b，1 9 9l n1 0 0 1 0 0c，则 a，b，c 的 大 小 关 系 是A a c b B a b c C c a b D c b a 1 2 如 图，正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 的 棱 长 为 2，点 M 是 棱1 1B C
6、的 中 点，点 P 是 正 方 体 表 面 上 的 动 点 若1D M C P，则 P 点 在 正 方 体 表 面 上 运 动 所 形 成 的 轨 迹 的 长 度 为A 2 5 B 2 2 5 C 2 2 5 D 2 2 2 5 二、填空 题：本 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分。1 3 已 知 向 量 a，b满 足 2,4 a，2 7,5 a b，则 b 1 4 已 知 函 数 33 l n 3 f x x x x 的 图 象 在 点 1,1 f 处 的 切 线 为 l，则 直 线 l 的 倾 斜 角 为 1 5 设 等 比 数 列 na 的 前 n 项 和 为nS，若1055
7、SS，则1 51 0SS 1 6 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f x 满 足 f x f x，函 数 1 f x 为 偶 函 数，且 当 0,1 x 时，2l o g f x x a，则 2 0 2 2 2 0 2 3 f f 三、解 答 题：共 70 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 17 21 题 为 必 考 题，每个 试题 考生都 必须 作答。第 22、23 题为 选考 题，考 生根 据要求 作答。（一）必 考题：共 60 分。1 7（本 小 题 满 分 1 2 分）在 A B C 中，角 A，B，C 所 对 的 边 分 别 为
8、a，b，c，且 c os 3 s i n b C b C a c（1）求 角 B；（2）若 2 b，A B C 的 面 积 为 3，求 c 的 值 1 8（本 小 题 满 分 1 2 分）2 0 2 2 年 3 月 2 8 日 是 第 三 十 届“世 界 水 日”，我 国 将 3 月 2 2 2 8 日 确 定 为“中 国 水 周”，并 将“推 进 地 下 水超 采 综 合 治 理，复 苏 河 湖 生 态 环 境”作 为 相 关 宣 传 活 动 的 主 体 某 地 区 为 了 制 定 更 加 合 理 的 节 水 方 案，通 过 随机 抽 样，调 查 了 上 一 年 度 2 0 0 户 居 民
9、的 月 均 用 水 量（单 位：吨），并 将 数 据 分 成 以 下 9 组：0,2，2,4，4,6，6,8，8,1 0，1 0,1 2，1 2,1 4，1 4,1 6，1 6,1 8，制 成 了 频 率 分 布 直 方 图 如 图 所 示（1）求 a 的 值，并 估 计 该 地 区 居 民 的 月 均 用 水 量（同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 为 代 表）；（2）设 该 地 区 有 居 民 2 0 万 户，估 计 该 地 区 居 民 的 月 均 用 水 量 不 低 于 1 4 吨 的 户 数；（3）为 了 进 一 步 了 解 居 民 的 节 水、用 水 情
10、况，在 月 均 用 水 量 为 2,4 和 1 4,1 6 的 两 组 中，按 月 均 用 水 量 用 分层 抽 样 的 方 法 抽 取 6 户 居 民，再 从 这 6 户 居 民 中 随 机 抽 取 2 户 进 行 问 卷 调 查，求 抽 取 的 这 2 户 居 民 来 自 不 同 组的 概 率 1 9（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图，已 知 在 菱 形 A B C D 中，1 2 0 B A D，E 为 B C 的 中 点，将 A B E 沿 A E 翻 折 成1A B E，连 接1B C 和1B D，F 为1B D 的 中 点（1）求 证：平 面1A B E 平 面1B E C；
11、（2）求 异 面 直 线1A B 与 C F 所 成 角 的 大 小 2 0（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 3 2 2133f x x a x a x（1）讨 论 f x 的 单 调 性；（2）当 1 a 时，判 断 f x 的 零 点 个 数 2 1（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 椭 圆 E 的 中 心 为 坐 标 原 点，对 称 轴 为 x 轴、y 轴，且 过 2,1 A，62,2B 两 点（1）求 E 的 方 程；（2）若 直 线 l 与 圆 O：2 285x y 相 切，且 直 线 l 交 E 于 M，N 两 点，试 判 断 M O N 是 否 为 定 值？若 是，
12、求 出 该 定 值；若 不 是，请 说 明 理 由（二）选 考 题；共 10 分。请 考 生 在 第 22、23 两 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第一题 计分。2 2（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，已 知 直 线 l：2 0 m x y m m R，以 O 为 极 点，x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极坐 标 系，圆 C 的 极 坐 标 方 程 为 4 s i n c o s（1）求 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 和 圆 C 的 一 个 参
13、数 方 程；（2）若 直 线 l 与 圆 C 交 于 A，B 两 点，且 2 6 A B，求 m 的 值 2 3（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-5：不 等 式 选 讲已 知 函 数 21 2 f x x x（1）解 不 等 式 3 f x；（2）若 23 f a a a，求 满 足 条 件 的 实 数 a 的 取 值 范 围 府 谷 中 学 高 二 年 级 第 二 学 期 第 二 次 月 考 数 学 试 题（文 科）参 考 答 案、提 示 及 评 分 细 则1 A因 为 1,3,5,7,9 M，2 5 N x x，所 以 1,3 M N 故 选 A 2 A由 2 2 2 2 2
14、a b i i a a b i b a b a b i，所 以2 32 2a ba b，解 得85a，15b，所 以8 1 95 5 5a b 故 选 A 3 D命 题 的 否 定 是 改 变 量 词，否 定 结 论，故“0 x R，20 01 0 x x”的 否 定 是“x R，21 0 x x”故选 D 4 A由3 9 1518 a a a 得96 a，所 以 1 1717 91717 1022a aS a 故 选 A 5 C由 题 意 作 出 可 行 域，如 图 所 示 转 化 目 标 函 数 3 z x y 为 3 y x z，平 移 直 线 3 y x z，得 当 直 线 过 点 2
15、,0 A 时，直 线 在 y 轴 上 的 截距 最 小，z 最 大，所 以m a x3 2 0 6 z 故 选 C 6 A21s i n 40s i n 160 c os 20 s i n 20 c os 20 121 2 s i n 25 c os 50 s i n 40 2 故 选 A 7 B函 数 s i n 03f x x 在 0,上 恰 有 3 个 零 点，则 3 43，解 得8 113 3，因而 整 数 3 故 选 B 8 D由 题 意，半 衰 期 所 用 时 间 为 5 0 天，即500 01 12 2hM M，则 5 0 h，所 以 质 量 为0M 的 锶 8 9 经 过 3
16、0 天 衰减 后，质 量 大 约 为300.6500 0 0 0 00.61 1 1 10.662 2 2 1.516M M M M M 故 选 D 9 C由 三 视 图 可 知，该 几 何 体 为 如 图 所 示 三 棱 锥 A-B C D，则1 11 2 3 13 2A B C DV 故 选 C 1 0 B取 C 的 一 条 渐 近 线 方 程 为 0 b x a y，所 以 222 223 4ba b，所 以2 23 a b，即 2 2 23 a c a，所 以2 33cea 故 选 B 1 1 B构 造 函 数 l n 1 f x x x，1 1 1xf xx x，当 0 1 x 时，
17、0 f x，f x 单 调 递 增，所 以1 1 19 8 9 9 1 0 0f f f，即 a b c 故 选 B 1 2 C取1B B 的 中 点 G，1 1A B 的 中 点 H，连 接1C H，H G，1G C，1D M，C M，如 图 所 示 因 为 四 边 形1 1 1 1A B C D 是 正 方 形，又 点 M 是 棱1 1B C 的 中 点，点 H 是1 1A B 的 中 点，易 得1 1H C D M 因 为 正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D，以1D D 平 面1 1 1 1A B C D，又1C H 平 面1 1 1 1A B C D，所 以1 1D
18、 D C H，又1 1 1D D D M D，1D D，1D M 平 面1D D M，所 以1C H 平 面1D D M，又 M D 平 面1D D M，所 以1C H M D 同 理 可 得，1C G M D，又1 1 1C G C H C，1C G，1C H 平 面1C G H，所 以 D M 平 面1C G H 所 以 P 点 在 正 方 体 表 面 上 运 动 所 形 成 的 轨 迹 为1C G H 因 为 正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 的 棱 长 为 2，所 以2 21 12 1 5 H C G C，所 以1C G H 的 周 长 为G H 1 12 5 5
19、 2 2 5 H C G C 故 选 C 1 3 3 2由 已 知 可 得 2 2 2 2,4 7,5 3,3 b a a b，所 以 223 3 3 2 b 1 4 3由 题 意 得 23 3 3 f x xx，所 以 1 3 3 3 3 f，设 直 线 l 的 倾 斜 角 为 0，则t a n 3，所 以3 1 5 2 15法 一：设 等 比 数 列 的 公 比 为 q，若 1 q，则1 0 15 11 02 55S aS a，所 以 1 q；由1055SS，得 101151a qq 5111a qq，即 1 0 51 5 1 q q，所 以51 5 q，解 得54 q，则 1513515
20、152 10 10510 1111 11 111a qqS q qS q a qqq 321 4 1 64 211 4 1 16 5 法 二：由 等 比 数 列 的 性 质 知5S，10 5S S，15 10S S，成 等 比 数 列，其 公 比 为10 5 105 51 4S S SS S，设5S t，显 然 0 t，则105 S t，21 5 1 04 1 6 S S t t，所 以1521 S t，所 以1 51 02 15SS 1 6 1因 为 函 数 y f x 的 定 义 域 为 R，且 f x f x，所 以 函 数 y f x 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，所 以 2
21、0 l o g 0 f a，解 得 1 a，即 当 0,1 x 时，2l o g 1 f x x，21 l o g 2 1 f；因 为 1 y f x 为 偶 函 数，所 以 1 1 f x f x，即 y f x 的 图 象 关 于 直 线 1 x 对 称，又 y f x 满 足 f x f x，所 以 1 1 f x f x，则 2 f x f x，4 2 f x f x f x，即函 数 y f x 是 周 期 函 数，周 期 为 4，则 2 0 2 2 2 0 2 3 2 3 0 1 1 f f f f f f 1 7 解：（1）因 为 c os 3 s i n b C b C a c
22、，所 以 s i n c os 3 s i n s i n s i n s i n B C B C A C，又 A B C，所 以 s i n c os 3 s i n s i n s i n s i n B C B C B C C，所 以 3 s i n s i n c os s i n s i n B C B C C，因 为 0,C，所 以 s i n 0 C，所 以 3 s i n c os 1 B B，所 以1s i n6 2B，因 为 0,B，所 以6 6B，所 以3B（2）因 为 A B C 的 面 积 为 3，所 以1s i n 32ac B，所 以 4 a c，又 22 2 2
23、2 c o s 3 a c a c B a c a c b，所 以 24 3 1 6 a c a c 所 以 4 a c，与 4 a c 联 立，得 2 a c 1 8 解：（1）由 图 可 知：0.0 0 5 0.0 1 5 0.0 3 0 0.0 5 5 0.1 2 0 0.1 6 0 0.0 3 0 0.0 0 5 2 1 a，解 得 0.0 8 0 a，该 地 区 居 民 的 月 均 用 水 量1 0.0 1 3 0.0 3 5 0.0 6 7 0.1 1 9 0.1 6 1 1 0.2 4 1 3 0.3 2 1 5 0.0 6 1 7 0.0 1 1 0.4 8 x，即 估 计 该
24、 地 区 居 民 的 月 均 用 水 量 为 1 0.4 8 吨（2）月 均 用 水 量 不 低 于 1 4 吨 的 用 户 的 频 率 为 2 0.0 3 0 0.0 0 5 0.0 7，所 以 2 0 0.0 7 1.4，估 计 2 0 万 用 户 中 月 均 用 水 量 不 低 于 1 4 吨 的 用 户 数 为 1.4 万 户（3）2,4 的 频 率 为 0.0 1 5 2 0.0 3，有 2 0 0 0.0 3 6（户），14,16 的 频 率 为 0.0 3 0 2 0.0 6，有 2 0 0 0.0 6 1 2（户），共 1 8 户，所 以 在 2,4 组 中 抽 取66 21
25、8（户），记 为1a，2a，在 14,16 组 中 抽 取1 26 41 8（户），记 为1b，2b，3b，4b，则 从 中 抽 取 2 户 有 1 2,a a，1 1,a b，1 2,a b，1 3,a b，1 4,a b，2 1,a b，2 2,a b，2 3,a b，2 4,a b，1 2,b b，1 3,b b，1 4,b b，2 3,b b，2 4,b b，3 4,b b，共 有 1 5 种 基 本 事 件，抽 取 的 这 2 户 居 民 来 自 不 同 组 有 1 1,a b，1 2,a b，1 3,a b，1 4,a b，2 1,a b，2 2,a b，2 3,a b，2 4,a
26、 b，共 8 种 所 以 抽 取 的 2 户 来 自 不 同 组 的 概 率81 5P 1 9（1）证 明：在 菱 形 A B C D 中，1 2 0 B A D，A B C 为 等 边 三 角 形，又 E 为 B C 的 中 点，所 以 A E E C，1A E B E，而1E C B E E，E C，1B E 平 面1B E C，故 A E 面1B E C，又 A E 面1A B E，所 以 平 面1A B E 平 面1B E C（2）解：设 G 是1A B 的 中 点，连 结 F G，E G，又 F 为1B D 的 中 点，则 G F A D 且12G F A D，而1 12 2E C
27、B C A D 且 E C A D，所 以 G F E C 且 G F E C，即 四 边 形 F G E C 为 平 行 四 边 形，故 C F E G，所 以1A B 与 C F 所 成 的 角 为 A G E 或 其 补 角 在1A E B 中，1G E A G B G，所 以 1 2 0 A G E，故 异 面 直 线1A B 与 C F 所 成 的 角 为 6 0 2 0 解：（1）2 2 2 3 3 f x x a x a x a x a，当 0 a 时，2 0 f x x 在 R 上 恒 成 立，所 以 f x 在 R 上 单 调 递 增；当 0 a 时，令 0 f x，得 x
28、a，或 3 x a，令 0 f x，得 3 a x a，所 以 f x 在,3 a，,a 上 单 调 递 增，在 3,a a 上 单 调 递 减；当 0 a 时，令 0 f x，得 3 x a，或 x a，令 0 f x，得 3 a x a 所 以 f x 在,a，3,a 上 单 调 递 增，在,3 a a 上 单 调 递 减 综 上，当 0 a 时，f x 在,上 单 调 递 增；当 0 a 时，f x 在,3 a，,a 上 单 调 递 增，在 3,a a 上 单 调 递 减；当 0 a 时，f x 在,a，3,a 上 单 调 递 增，在,3 a a 上 单 调 递 减（2）由（1）知 f
29、x 在,1，3,上 单 调 递 增，在 1,3 上 单 调 递 减，所 以 513f x f 极 大 值，3 9 f x f 极 小 值，又 3 216 6 6 3 6 1 8 03f，3 2 13 3 3 3 3 9 03f，所 以 f x 在,1，1,3，3,上 各 有 一 个 零 点，故 f x 在 R 上 的 零 点 个 数 为 3 个 2 1 解：（1）设 E 的 方 程 为2 21 m x ny，过 2,1 A，62,2B，所 以4 132 12m nm n，解 得18m，12n，所 以 E 的 方 程 为2 218 2x y（2）当 直 线 l 的 斜 率 不 存 在 时，易 得
30、 直 线 l 的 方 程 为2 1 05x 或2 105x 若 直 线 l 的 方 程 为2 1 05x 则2 1 0 2 1 0,5 5M，2 1 0 2 1 0,5 5N 或2 1 0 2 1 0,5 5M，2 1 0 2 1 0,5 5N，所 以 0 O M O N，所 以2M O N；若 直 线 l 的 方 程 为2 105x，则2 1 0 2 1 0,5 5M，2 10 2 10,5 5N 或2 10 2 10,5 5M，2 1 0 2 1 0,5 5N，所 以 0 O M O N，所 以2M O N 当 直 线 l 的 斜 率 存 在 时，设 直 线 l 的 方 程 为 y k x
31、 m，1 1,M x y，2 2,N x y，因 为 直 线 l 与 圆 O：2 285x y 相 切，所 以22 1 051mk，即 2 2815m k 由2 218 2y k x mx y 得 2 2 21 4 8 4 8 0 k x k m x m，所 以1 2281 4k mx xk，21 224 81 4mx xk，所 以 22 2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 24 8 81 11 4 1 4m k mO M O N x x y y k x x k m x x m k k m mk k 2 22 22 285 1 8 85 8 8501 4 1 4k km kk k，所
32、以2M O N 综 上，M O N 为 定 值，该 定 值 为22 2 解：（1）将c oss i nxy 代 入 l:2 0 m x y m，得 c o s s i n 2 0 m m，所 以 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 c o s s i n 2 0 m m，由 4 s i n c o s，得 24 s i n c o s，又2 2x y，c o s x，s i n y，所 以2 24 4 0 x y x y，即 2 22 2 8 x y，所 以 圆 C 的 一 个 参 数 方 程 为2 2 2 c os2 2 2 s i nxy（为 参 数）（2）点 2,2 C 到 直 线
33、l 的 距 离2 22 2 2 21 1m mdm m，则2222 8 2 61 m，所 以2421 m，即 1 m 2 3 解：（1）3 f x，即21 2 3 x x 当 1 x 时，21 3 x x，解 得 1 x；当 1 1 x 时，23 3 x x，解 得 1 0 x 当 1 2 x，21 3 x x，不 等 式 无 解；当 2 x，23 3 x x，解 得 2 x 故 不 等 式 3 f x 的 解 集 为 2 0 x x x 或（2）因 为 2 2 21 2 1 2 3 f x x x x x x x，当 且 仅 当 21 2 0 x x 时 取 等 号，所 以 23 f a a a，当 且 仅 当 21 2 0 a a 时 取 等 号，又 23 f a a a，所 以 23 f a a a，且 21 2 0 a a，解 得 2 a 或 1 1 a，即 实 数 a 的 取 值 范 围 1,1 2,