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1、 课后限时集训(二十六)平面向量的数量积与平面向量应用举例(建议用时：60 分钟)A组 基础达标 一、选择题 1(2018陕西二模)已知向量a(2,3)，b(x,4)若a(ab)，则x()A1 B.12 C2 D3 B 由题意，得ab(2 x，1)因为a(ab)，所以 2(2x)3(1)0，解得x12，故选 B.2已知向量a(x2，x2)，b(3，1)，c(1，3)，若ab，则a与c夹角为()A.6 B.3 C.23 D.56 A cos b，cbc|b|c|2 3432，又由x20 且ab得a，b是反向共线，则 cosa，ccos b，c32，a，c0，则a，c6，故选 A.3(2019西宁
2、模拟)如图在边长为 1 的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点 D被阴影遮住，请设法计算ABAD()A10 B 11 C 12 D 13 B 以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,1)，C(6,4)，AB(4,1)，ADBC(2,3)，ABAD421311，故选 B.4(2019银川模拟)在正方形ABCD中，点E为BC的中点，若点F满足AFAC，且AEBF0，则()A.23 B.34 C.45 D.78 A 以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，设正方形ABCD的边长为 2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0
3、,2)，E(2,1)，由于AFAC，则点F在直线AC上，设F(a，a)，那么AEBF(2,1)(a2，a)3a40，解得a43，结合AFAC，可得432，解得23，故选 A.5已知平面向量a，b，c满足|a|b|c|1，若ab12，则(ac)(2bc)的最小值为()A2 B 3 C 1 D0 B 因为ab|a|b|cos a，bcosa，b12，所以a，b3.不妨设a(1,0)，b12，32，c(cos，sin)，则(ac)(2bc)2abac2bcc21cos 212cos 32sin 1 3sin，所以(ac)(2bc)的最小值为3，故选B.二、填空题 6(2019青岛模拟)已知向量a，b
4、满足|b|5，|ab|4，|ab|6，则向量a在向量b上的投影为_ 1 设向量a，b的夹角为，则|ab|2|a|22|a|b|cos|b|2|a|210|a|cos 2516，|ab|2|a|22|a|b|cos|b|2|a|210|a|cos 2536，两式相减整理得|a|cos 1，即向量a在向量b上的投影为|a|cos 1.7(2018南昌一模)平面向量a(1，m)，b(4，m)，若有(2|a|b|)(ab)0，则实数m_.2 由题意可得ab0，则 2|a|b|，即 4(1 m2)16m2，解得m24，m2.8已知非零向量m，n满足 4|m|3|n|，cos m，n13，若n与tmn夹角
5、为钝角，则实数t的取值范围是_(，0)(0,4)n与(tmn)夹角为钝角，n(tmn)0 且n与(tmn)不共线 tmnn20，t0，又mn|m|n|cos m，n34n21314n2.即t4n2n20 且t0，t4 且t0.三、解答题 9(2017江苏高考)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，3)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值 解 (1)因为a(cos x，sin x)，b(3，3)，ab，所以 3cos x3sin x.若 cos x0，则 sin x0，与 sin2xcos2x1 矛盾，故 cos x0.形组成的
6、网格中平行四边形的顶点被阴影遮住请设法计算以为坐标原点建立平面直角坐标系则故选银川模拟在正方形则点在直线上设那么解得结合可得解得故选已知平面向量满足若则的最小值为因为所以不妨设则所以的最小值为故选影为南昌一模平面向量若有则实数由题意可得则即解得已知非零向量满足若与夹角为钝角则实数的取值范围是与夹角 于是 tan x33.又x0，所以x56.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，3)3cos x 3sin x2 3cosx6.因为x0，所以x66，76，从而1cosx632.于是，当x66，即x0 时，f(x)取到最大值 3；当x6，即x56时，f(x)取到最小值2 3.10已知|a
7、|2，|b|1.(1)若ab，求(2ab)(ab)的值；(2)若不等式|axb|ab|对一切实数x恒成立，求a与b夹角的大小 解 (1)ab，ab0，(2ab)(ab)2a2abb27.(2)设向量a，b的夹角为，则 ab|a|b|cos 2cos.不等式|axb|ab|两边平方可得：a22abxx2b2a22abb2，即：44xcos x244cos 1.整理得：x24xcos 4cos 10.(*)因为不等式对一切实数x恒成立，则16cos24(4cos 1)4(4cos24cos 1)4(2cos 1)20，2cos 10，即 cos 12.又0，23.B组 能力提升 形组成的网格中平行
8、四边形的顶点被阴影遮住请设法计算以为坐标原点建立平面直角坐标系则故选银川模拟在正方形则点在直线上设那么解得结合可得解得故选已知平面向量满足若则的最小值为因为所以不妨设则所以的最小值为故选影为南昌一模平面向量若有则实数由题意可得则即解得已知非零向量满足若与夹角为钝角则实数的取值范围是与夹角 1(2018石家庄二模)若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|b|，则向量ab与a的夹角为()A.6 B.3 C.23 D.56 A 由|ab|ab|知，ab0，所以ab.将|ab|2|b|两边平方，得|a|22ab|b|24|b|2，所以|a|23|b|2，所以|a|3|b|，所以 cosab，a ab
9、a|ab|a|a|22|b|a|3|b|22|b|3|b|32，所以向量ab与a的夹角为6，故选 A.2(2018天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则AEBE的最小值为()A.2116 B.32 C.2516 D3 A 以 D为原点建立平面直角坐标系，如图所示 连接AC，易知CADCAB60，ACDACB30，D(0,0)，A(1,0)，B32，32，C(0，3)设E(0，y)(0y 3)，则AE(1，y)，BE32，y32，AEBE32y232yy3422116，当y34时，AEBE有最小值2116，故选 A.3 在
10、ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，a，b，c成等比数列，ac3，cos B34，则ABBC_.32 由a，b，c成等比数列得acb2，在ABC中，由余弦定理可得 cos Ba2c2b22acac23ac2ac，则3493ac2ac，解得ac2，则ABBCaccos(B)accos B32.形组成的网格中平行四边形的顶点被阴影遮住请设法计算以为坐标原点建立平面直角坐标系则故选银川模拟在正方形则点在直线上设那么解得结合可得解得故选已知平面向量满足若则的最小值为因为所以不妨设则所以的最小值为故选影为南昌一模平面向量若有则实数由题意可得则即解得已知非零向量满足若与夹角为钝角则实数的取值范围是与夹
11、角 4在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(1,0)，|OC|1，且AOC，其中O为坐标原点(1)若34，设点 D为线段OA上的动点，求|OCOD|的最小值；(2)若0，2，向量mBC，n(1 cos，sin 2cos)，求mn的最小值及对应的值 解 (1)设 D(t,0)(0t1)，由题意知C22，22，所以OCOD22t，22，所以|OCOD|212 2tt212 t2 2t1t22212，所以当t22时，|OCOD|最小，为22.(2)由题意得C(cos，sin)，mBC(cos 1，sin)，则mn1cos2sin22sin cos 1cos 2sin 21 2sin24，因为0，2，所以42454，所以当 242，即8时，sin24取得最大值 1.所以mn的最小值为 1 2，此时8.形组成的网格中平行四边形的顶点被阴影遮住请设法计算以为坐标原点建立平面直角坐标系则故选银川模拟在正方形则点在直线上设那么解得结合可得解得故选已知平面向量满足若则的最小值为因为所以不妨设则所以的最小值为故选影为南昌一模平面向量若有则实数由题意可得则即解得已知非零向量满足若与夹角为钝角则实数的取值范围是与夹角