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1、 课后限时集训(六十二)离散型随机变量的均值与方差、正态分布(建议用时：60 分钟)A组 基础达标 一、选择题 1(2019孝感模拟)已知袋中有 3 个白球，2 个红球，现从中随机取出 3 个球，其中取出 1 个白球计 1 分，取出 1 个红球计 2 分，记 X为取出 3 个球的总分值，则 EX()A.185 B215 C 4 D 245 B 由题意知，X的所有可能取值为 3,4,5，且 P(X 3)C33C35110，P(X 4)C23C12C3535，P(X 5)C13C22C35310，所以 EX 31104355310215.2已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布 N(0,
2、32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()(附：正态分布 N(，2)中，P()68.3%，P(2 2)95.4%)A 0.045 5 B 0.135 9 C 0.271 8 D 0.317 4 B 因为 P(3 3)0.683，P(6 6)0.954，所以 P(3 6)12(0.954 0.683)0.135 5，故选 B 3已知随机变量 的分布列为 1 0 1 2 P x 13 16 y 若 E 13，则 D()A 1 B 119 C.23 D 2 B E 13，由 随 机 变 量 的 分 布 列 知，x1316 y 1，x16 2y13，x 518，y 29，则 D
3、 1132518013213113216213229119.4(2018合肥二检)已知 5 件产品中有 2 件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为，则 E()A 3 B 72 C.185 D 4 B 的可能取值为 2,3,4，P(2)A22A25110，P(3)A33 C12C13A22A35310，P(4)A33C12C13 A33C23C12A4535，则 E 2110331043572，故选 B 5体育课的排球发球项目考试的规则是：每名学生最多可发球 3 次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到 3 次为止设某学生每次发球成功的概率为 p(0 p 1)，发球次数为
4、X，若 X的数学期望 EX 1.75，则 p 的取值范围是()A.0，712 B712，1 C.0，12 D 12，1 C 由已知条件可得 P(X 1)p，P(X 2)(1 p)p，P(X 3)(1 p)2p(1 p)3(1 p)2，则 EX p 2(1 p)p 3(1 p)2 p2 3p 3 1.75，解得 p52或 p12.由 p(0,1)，可得 p0，12.二、填空题 6 设 X为随机变量，X Bn，13，若随机变量 X的均值 EX 2，则 P(X 2)等于 _ 80243 由 X Bn，13，EX 2，得 np13n 2，n 6，则 P(X 2)C26132113480243.7(20
5、19海口模拟)某超市经营的某种包装优质东北大米的质量 X(单位：kg)服从正态分布 N(25,0.22)，任意选取一袋这种大米，质量在 24.8 25.4 kg 的概率为 _(附：若 Z N(，2)，则 P(|Z|)0.682 6，P(|Z|2)95.4%，P(|Z|3)99.7%)可能取值为且所以已知某批零件的长度误差单位毫米服从正态分布从中随机取一件其长度误差落在区间内的概率为附 现逐一检测直至能确定所有次品为止记检测的次数为则的可能取值为则故选体育课的排球发球项目考试的规则是每名 数学期望则的取值范围是由已知条件可得则解得或由可得二填空题设为随机变量得若随机变量的均值则等于由则海口 0
6、818 5 X N(25,0.22)，25，0.2.P(24.8 X 25.4)P(X 2)12(0.683 0.954)0.818 5.8口袋中有 5 只球，编号为 1,2,3,4,5，从中任意取 3 只球，以 X表示取出的球的最大号码，则 EX _.4 5 X的取值为 3,4,5.又 P(X 3)1C35110，P(X 4)C23C35310，P(X 5)C24C3535.所以随机变量 X的分布列为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 E(X)30.140.350.6 4.5 三、解答题 9(2018武汉模拟)某市高中某学科竞赛中，某区 4 000 名考生的竞赛成绩的频率分布直方图
7、如图所示(1)求这 4 000 名考生的平均成绩 x(同一组中数据用该组区间中点值作代表)；(2)认为考生竞赛成绩 z 服从正态分布 N(，2)，其中，2分别取考生的平均成绩 x和考生成绩的方差 s2，那么该区 4 000 名考生成绩超过 84.81 分(含 84.81 分)的人数大约为多少？(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考生中随机抽取 4 名考生，记成绩不超过 84.81 分的考生人数为，求 P(3)(精确到 0.001)附：s2 204.75，204.75 14.31；Z N(，2)，则 P(Z)68.3%，P(2 Z 2)95.4%；0.84
8、1 540.501.解(1)由题意知：可能取值为且所以已知某批零件的长度误差单位毫米服从正态分布从中随机取一件其长度误差落在区间内的概率为附 现逐一检测直至能确定所有次品为止记检测的次数为则的可能取值为则故选体育课的排球发球项目考试的规则是每名 数学期望则的取值范围是由已知条件可得则解得或由可得二填空题设为随机变量得若随机变量的均值则等于由则海口 中间值 45 55 65 75 85 95 概率 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1 x 450.1550.15650.2750.3850.15950.1 70.5(分)，这 4 000 名考生的平均成绩为 70.5 分(2)由题知
9、Z 服从正态分布 N(，2)，其中 x 70.5，2 204.75，14.31，Z 服从正态分布 N(，2)，即 N(70.5,14.312)而 P(Z)P(56.19 Z 84.81)0.683，P(Z84.81)1 0.6832 0.158 5.竞赛成绩超过 84.81 分的人数大约为 0.158 54 000 634.(3)全市参赛考生成绩不超过 84.81 分的概率为 1 0.158 5 0.841 5.而 B(4,0.841 5)，P(3)1 P(4)1 C440.841 541 0.501 0.499.10(2019辽宁五校联考)某商场销售某种品牌的空调，每周周初购进一定数量的空调
10、，商场每销售一台空调可获利 500 元，若供大于求，则多余的每台空调需交保管费 100 元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时每台空调仅获利润 200 元(1)若该商场周初购进 20 台空调，求当周的利润(单位：元)关于当周需求量 n(单位：台，n N)的函数解析式 f(n)；(2)该商场记录了去年夏天(共 10 周)空调需求量 n(单位：台)，整理得下表：周需求量 n 18 19 20 21 22 频数 1 2 3 3 1 以 10 周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进 20 台空调，X表示当周的利润(单位：元)，求 X的分布列及数学期望 解(1)当 n20 时
11、，f(n)50020200(n 20)200n 6 000；当 n19 时，f(n)500 n100(20 n)600n 2 000，f(n)200n 6 000 n20600n 2 000 n19(n N)(2)由(1)得 f(18)8 800，f(19)9 400，f(20)10 000，f(21)10 200，f(22)10 400，P(X 8 800)0.1，P(X 9 400)0.2，P(X 10 000)0.3，P(X 10 200)0.3，P(X 10 400)0.1，可能取值为且所以已知某批零件的长度误差单位毫米服从正态分布从中随机取一件其长度误差落在区间内的概率为附 现逐一检
12、测直至能确定所有次品为止记检测的次数为则的可能取值为则故选体育课的排球发球项目考试的规则是每名 数学期望则的取值范围是由已知条件可得则解得或由可得二填空题设为随机变量得若随机变量的均值则等于由则海口 X的分布列为 X 8 800 9 400 10 000 10 200 10 400 P 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1 EX 8 8000.1 9 4000.210 0000.310 2000.310 4000.1 9 860.B 组 能力提升 1(2018西安质检)已知随机变量 的分布列如下：0 1 2 P a b c 其中 a，b，c 成等差数列，则函数 f(x)x2 2x 有且只有一
13、个零点的概率为()A.16 B 13 C.12 D 56 B 由题意知 a，b，c0,1，且 2b a c，a b c 1，解得 b13，又函数 f(x)x2 2x 有且只有一个零点，故对于方程 x2 2x 0，4 4 0，解得 1，所以 P(1)13.2(2019杭州模拟)已知 0 a12，随机变量 的分布列如下：1 0 1 P a 12 a 12 当 a 增大时，()A E 增大，D 增大 B E 减小，D 增大 C E 增大，D 减小 D E 减小，D 减小 B 由题意得，E a12，D a12 12 a a12212 a a12 1212 a2 2a14，又0 a12，当 a 增大时，
14、E 减小，D 增大 3 2018 年高考前第二次适应性训练结束后，某校对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布 N(95,82)的密度曲线非常拟合据此估计：在全市随机抽取的 4名高三同学中，恰有 2名同学的英语成绩超过 95 分的概率是 _ 可能取值为且所以已知某批零件的长度误差单位毫米服从正态分布从中随机取一件其长度误差落在区间内的概率为附 现逐一检测直至能确定所有次品为止记检测的次数为则的可能取值为则故选体育课的排球发球项目考试的规则是每名 数学期望则的取值范围是由已知条件可得则解得或由可得二填空题设为随机变量得若随机变量的均值则等于由则海口 38 由题意可知每
15、名学生的英语成绩 N(95,82)，P(95)12，故所求概率 P C2412438.4 某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重 3 kg)测试，成绩在 6.9 米以上的为合格把所得数据进行整理后，分成 5 组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在 9.9,11.4)的频数是 4.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记 表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求 的分布列、均值与方差 解(1)由频率分布直方图，知成绩在 9.9,11.4)的频率为 1(0.
16、05 0.22 0.300.03)1.5 0.1.因为成绩在 9.9,11.4)的频数是 4，故抽取的总人数为40.1 40.又成绩在 6.9 米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为 400.051.5 40 37.(2)的所有可能取值为 0,1,2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为3740，成绩不合格的概率为 13740340，可判断 B2，340.P(0)C02374021 3691 600，P(1)C123403740111800，P(2)C22340291 600，故所求分布列为 X 0 1 2 可能取值为且所以已知某批零件的长度误差单位
17、毫米服从正态分布从中随机取一件其长度误差落在区间内的概率为附 现逐一检测直至能确定所有次品为止记检测的次数为则的可能取值为则故选体育课的排球发球项目考试的规则是每名 数学期望则的取值范围是由已知条件可得则解得或由可得二填空题设为随机变量得若随机变量的均值则等于由则海口 P 1 3691 600 111800 91 600 的均值为 E 01 3691 6001111800291 600320，的方差为 D 032021 3691 600132021118002320291 600111800.可能取值为且所以已知某批零件的长度误差单位毫米服从正态分布从中随机取一件其长度误差落在区间内的概率为附 现逐一检测直至能确定所有次品为止记检测的次数为则的可能取值为则故选体育课的排球发球项目考试的规则是每名 数学期望则的取值范围是由已知条件可得则解得或由可得二填空题设为随机变量得若随机变量的均值则等于由则海口