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1、 课后限时集训(二十四)平面向量的概念及线性运算(建议用时：40 分钟)A组 基础达标 一、选择题 1下列各式中不能化简为 PQ的是()A.AB(PA BQ)B(AB PC)(BA QC)C.QC QP CQ D PA AB BQ D AB(PA BQ)AB BQ PA PA AQ PQ；(AB PC)(BA QC)(AB BA)(PC QC)PC CQ PQ；QC QP CQ PC CQ PQ；PA AB BQ PB BQ，显然由 PB BQ得不出 PQ，所以不能化简为 PQ的式子是 D 2(2019武汉调研)设 M为平行四边形 ABCD 对角线的交点，O为平行四边形 ABCD 所在平面内的
2、任意一点，则 OA OB OC OD等于()A.OM B 2OM C 3OM D 4OM D 由题意可得 OA OC 2OM，OB OD 2OM，OA OB OC OD 4OM.3已知向量 a，b 不共线，且 c a b，d a(2 1)b，若 c 与 d 共线反向，则实数 的值为()A 1 B12 C 1 或12 D 1 或12 B 由于 c 与 d 共线反向，则存在实数 k 使 c kd(k 0)，于是 a b k a(2 1)b 整理得 a b ka(2 k k)B 由于 a，b 不共线，所以有 k，2k k 1，整理得 22 1 0，解得 1 或 12.又因为 k 0，所以 0，故 1
3、2.4在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 CD的中点，BE与 AC的交点为 F，设 AB a，AD b，则向量 BF()A.13a23b B13a23b C13a23b D 13a23b C 由 CEF ABF，且 E 是 CD的中点得CEABEFBF12，则 BF23BE23(BC CE)23AD12AB13a23b，故选 C.5在 ABC 中，AB 2，BC 3，ABC 60，AD 为 BC边上的高，O为 AD 的中点，若 AO AB BC，则 等于()A 1 B12 C.13 D 23 D AD AB BD AB13BC，2 AO AB13BC，即 AO12AB16BC.故 1216
4、23.6 已知点 O，A，B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，且 2OP 2OA BA，则()A 点 P 在线段 AB上 B点 P 在线段 AB的反向延长线上 C点 P 在线段 AB的延长线上 D 点 P 不在直线 AB上 等于由题意可得已知向量不共线且若与共线反向则实数的值为或或由于与共线反向则存在实数使于是整理得由于不共 为边上的高为的中点若则等于即故已知点不在同一条直线上点为该平面上一点且则点在线段上点在线段的反向延长线 为的中点若为实数则所以故故选二填空题如图在平行四边形中对角线与交于点则因为为平行四边形所以已知故郑州模 B 因为 2OP 2OA BA，所以 2AP BA，所
5、以点 P 在线段 AB的反向延长线上，故选 B 7如图所示，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，E为 AO的中点，若 DE AB AD(，为实数)，则 2 2()A.58 B14 C 1 D 516 A DE12DA12DO12DA14DB12DA14(DA AB)14AB34AD，所以 14，34，故2 258，故选 A.二、填空题 8 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC与 BD交于点 O，ABAD AO，则 _.2 因为 ABCD 为平行四边形，所以 AB AD AC 2AO.已知 AB AD AO，故 2.9(2019郑州模拟)设 e1与 e2是两个不共线向量，AB 3e1
6、 2e2，CB ke1 e2，CD 3e1 2ke2，若 A，B，D三点共线，则 k 的值为 _ 94 由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数，使得 AB BD.又 AB 3e1 2e2，CB ke1 e2，CD 3e1 2ke2，所以 BD CD CB 3e1 2ke2(ke1 e2)(3 k)e1(2 k 1)e2，所以 3e1 2e2(3 k)e1(2 k 1)e2，又因为 e1与 e2 不共线，所以 3 3 k，2 2k 1，解得 k94.10下列命题正确的是 _(填序号)向量 a，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数，使 b a；在 ABC 中，AB BC CA 0；等于由题意
7、可得已知向量不共线且若与共线反向则实数的值为或或由于与共线反向则存在实数使于是整理得由于不共 为边上的高为的中点若则等于即故已知点不在同一条直线上点为该平面上一点且则点在线段上点在线段的反向延长线 为的中点若为实数则所以故故选二填空题如图在平行四边形中对角线与交于点则因为为平行四边形所以已知故郑州模 不等式|a|b|a b|a|b|中两个等号不可能同时成立；只有方向相同或相反的向量是平行向量；若向量 a，b 不共线，则向量 a b 与向量 a b 必不共线 易知错误 向量 a 与 b 不共线，向量 a，b，a b 与 a b 均不为零向量 若 a b 与 a b 共线，则存在实数 使 a b(
8、a b)，即(1)a(1)b，1 0，1 0，此时 无解，故假设不成立，即 a b 与 a b 不共线 B 组 能力提升 1 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足：OP OAAB|AB|AC|AC|，0，)，则 P 的轨迹一定通过 ABC 的()A 外心 B内心 C重心 D 垂心 B 作 BAC 的平分线 AD 因为 OP OA AB|AB|AC|AC|，所以 AP AB|AB|AC|AC|AD|AD|(0，)，所以 AP|AD|AD，所以 AP AD，所以 P 的轨迹一定通过 ABC 的内心，故选 B 2设 O 在 ABC 的内部，D 为 AB的中点，且 O
9、A OB 2OC 0，则 ABC 的面积与 AOC的面积的比值为()A 3 B 4 C 5 D 6 B 如图，D为 AB的中点，则 OD12(OA OB)，又 OA OB 2 OC 0，OD OC，O为 CD的中点，又 D为 AB中点，S AOC12S ADC14S ABC，则S ABCS AOC 4.3(2019西安调研)如图，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角等于由题意可得已知向量不共线且若与共线反向则实数的值为或或由于与共线反向则存在实数使于是整理得由于不共 为边上的高为的中点若则等于即故已知点不在同一条直线上点为该平面上一点且则点在线段上点在线段的反向延长线 为的中点若为实数则所以
10、故故选二填空题如图在平行四边形中对角线与交于点则因为为平行四边形所以已知故郑州模 线 AC，BD的交点，N是线段 OD 的中点，AN 的延长线与 CD交于点 E，若 AE mAB AD，则实数m的值为 _ 13 由 N是 OD 的中点，得 AN12AD12AO 12AD14(AD AB)34AD14AB，又因为 A，N，E三点共线，故 AE AN，即 mAB AD 34AD14AB，又 AB与 AD不共线，所以 m 14，134，解得 m 13，43，故实数 m 13.4如图，直角梯形 ABCD 中，AB CD，DAB 90，AD AB 4，CD 1，动点 P 在边 BC上，且满足 AP mA
11、B nAD(m，n 均为正实数)，则1m1n的最小值为 _ 7 4 34 AC AD DC14AB AD，BC AC AB34AB AD，设 BP BC34AB AD(0 1)，则 AP AB BP134AB AD.因为 AP mAB nAD，所以 m 134，n.所以1m1n44 31 4 32 4 1283 4 64 4128 2 3647 4 34.当且仅当 3(4)64 4，即(4)2643时取等号 等于由题意可得已知向量不共线且若与共线反向则实数的值为或或由于与共线反向则存在实数使于是整理得由于不共 为边上的高为的中点若则等于即故已知点不在同一条直线上点为该平面上一点且则点在线段上点在线段的反向延长线 为的中点若为实数则所以故故选二填空题如图在平行四边形中对角线与交于点则因为为平行四边形所以已知故郑州模 等于由题意可得已知向量不共线且若与共线反向则实数的值为或或由于与共线反向则存在实数使于是整理得由于不共 为边上的高为的中点若则等于即故已知点不在同一条直线上点为该平面上一点且则点在线段上点在线段的反向延长线 为的中点若为实数则所以故故选二填空题如图在平行四边形中对角线与交于点则因为为平行四边形所以已知故郑州模