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1、 第 2 讲 空间几何体的表面积与体积 基础题组练 1(2019安徽合肥质检)已知圆锥的高为 3，底面半径为 4，若一球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的半径为()A5 B.5 C9 D3 解析：选 B.因为圆锥的底面半径r4，高h3，所以圆锥的母线l5，所以圆锥的侧面积Srl20，设球的半径为R，则 4R220，所以R 5，故选 B.2九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()A2 B42 2 C44 2 D46 2 解析：选 C.由三视图知，该几何体是直三棱柱ABCA1B1C1，其中ABA
2、A12，BCAC2，C90，其直观图如图所示，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S(2 2 2)2 44 2，故选 C.3.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A.5003cm3 B.8663cm3 C.1 3723cm3 D.2 0483cm3 解析：选 A.设球的半径为R，则由题意知球被正方体上面截得的圆的半径为 4 cm，球心到截面圆的距离为(R2)cm，则R2(R2)242，解得R5，所以球的体积为4533 5003cm3.4(2019福建市第一
3、学期高三期末考试)已知圆柱的高为2，底面半径为 3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于()A4 B.163 C.323 D16 解析：选 D.如图，由题意知圆柱的中心O为这个球的球心，于是，球的半径rOBOA2AB212（3）22.故这个球的表面积S4r216.故选 D.5(2019武汉市武昌调研考试)中国古代数学名著九章算术中记载了公元前 344 年商鞅监制的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)，若取 3，其体积为 12.6(单位：立方寸)，则图中的x为()A1.2 B1.6 C1.8 D2.4 解析：选 B.该几何体是一个组合体，左边是一个底面半
4、径为12的圆柱，右边是一个长、宽、高分别为 5.4 x、3、1 的长方体，所以组合体的体积VV圆柱V长方体122x(5.4 x)31 12.6(其中 3)，解得x1.6.故选 B.6.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_ 解析：三棱锥D1EDF的体积即为三棱锥FDD1E的体积 因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCDA1B1C1D1中，EDD1的面积为定值12，F到平面AA1D1D的距离为定值 1，所以VD1EDFVFDD1E1312116.答案：16 九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称为堑
5、堵已知某堑堵的三视图如图所示俯视图中间的实线平分矩形的面积面积故选如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器高将一个球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水为球心到截面圆的距离为则解得所以球的体积为福建市第一学期高三期末考试已知圆柱的高为底面半径为若该圆柱的 7.(2017高考江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V2的值是_ 解析：设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为 2r，所以V1V2r22r43r332.答案：32 8如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC135，AB5，CD2 2
6、，AD2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积 解：由已知得：CE2，DE2，CB5，S表面积S圆台侧S圆台下底S圆锥侧(25)52522 2(60 4 2)，VV圆台V圆锥13(2252 22522)4132221483.综合题组练 1(2019蓉城名校第一次联考)已知一个几何体的正视图和侧视图如图 1 所示，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为 1 的等腰直角三角形(如图 2 所示)，则此几何体的体积为()A1 B.2 C2 D2 2 九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称为堑堵已知某堑堵的三视图如图所示俯视图中间的实线平分矩形的面积面积故选如图
7、有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器高将一个球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水为球心到截面圆的距离为则解得所以球的体积为福建市第一学期高三期末考试已知圆柱的高为底面半径为若该圆柱的 解析：选B.根据直观图可得该几何体的俯视图是一个直角边长分别是2和 2的直角三角形(如图所示)，根据三视图可知该几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为3，所以体积V13122 2 3 2.故选 B.2(2019福州市质量检测)已知正三棱柱ABCA1B1C1中，底面积为3 34，一个侧面的周长为 6 3，则正三棱柱ABCA1B1C1外接球的表面积为()A4 B8 C16 D32 解析：选C.如图所示，设底面边
8、长为a，则底面面积为34a23 34，所以a 3.又一个侧面的周长为 6 3，所以AA12 3.设E，D分别为上、下底面的中心，连接DE，设DE的中点为O，则点O即为正三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心，连接OA1，A1E，则OE 3，A1E 332231.在直角三角形OEA1中，OA112（3）22，即外接球的半径R2，所以外接球的表面积S4R216，故选 C.3(2019福建泉州质检)如图，在正方形网格纸上，实线画出的是某多面体的三视图及其部分尺寸若该多面体的顶点在同一球面上，则该球的表面积等于()A8 B18 C24 D8 6 解析：选 C.设球的半径为R.多面体是两个正四棱锥的组合
9、体(底面重合)两顶点之间的距离为 2R，底面是边长为 2R的正方形，由R22R2232R26，故该球的表面积S4R224.选 C.4(2019辽宁五校协作体模考)一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称为堑堵已知某堑堵的三视图如图所示俯视图中间的实线平分矩形的面积面积故选如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器高将一个球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水为球心到截面圆的距离为则解得所以球的体积为福建市第一学期高三期末考试已知圆柱的高为底面半径为若该圆柱的 A36 B48 C64 D72 解析：选 B.由
10、几何体的三视图可得几何体如图所示，将几何体分割为两个三棱柱，所以该几何体的体积为123441234448，故选B.5(2019洛阳市第一次统考)一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为 2，则该几何体的体积为()A823 B43 C83 D423 解析：选A.由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体是一个棱长为 2 的正方体上、下各挖去一个底面半径为 1，高为 1 的圆锥后剩余的部分，其体积为 23213121823.故选 A.6.(应用型)现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示
11、)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的 4 倍，若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？解：由PO12 m，知O1O4PQ18 m.因为A1B1AB6 m，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥13A1B21PO11362224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积 V柱AB2O1O628288(m3)，所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3)九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称为堑堵已知某堑堵的三视图如图所示俯视图中间的实线平分矩形的面积面积故选如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器高将一个球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水为球心到截面圆的距离为则解得所以球的体积为福建市第一学期高三期末考试已知圆柱的高为底面半径为若该圆柱的 故仓库的容积是 312 m3.九章算术中将底面是直角三角形的直三棱柱称为堑堵已知某堑堵的三视图如图所示俯视图中间的实线平分矩形的面积面积故选如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器高将一个球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水为球心到截面圆的距离为则解得所以球的体积为福建市第一学期高三期末考试已知圆柱的高为底面半径为若该圆柱的