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1、 第讲 几何概型 课时达标 一、选择题 1在区间 2,3 上随机选取一个数X，则X1 的概率为()A.45 B.35 C.25 D.15 B 解析 区间 2,3 的长度为 3(2)5，2,1 的长度为 1(2)3，故满足条件的概率P35.2 设p在0,5 上随机地取值，则关于x的方程x2px10 有实数根的概率为()A.15 B.25 C.35 D.45 C 解析 方程有实根，则p240，解得p2 或p2(舍去)所以所求概率为525035.3老师计划在晚修 19：0020：00 解答同学甲、乙的问题，预计解答完一个学生的问题需要 20 分钟若甲、乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的，则
2、两人独自去时不需要等待的概率为()A.29 B.49 C.59 D.79 B 解析 设 19：0020：00 对应时刻0,60，甲、乙问问题的时刻分别为x，y，则x，y0,60 两人独自去时不需要等待满足|xy|20，则由几何概型可知，所求概率为12602022606049，故选 B.4如图所示，半径为 3 的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是()A.3 B C2 D3 D 解析 设阴影部分的面积为S1，圆的面积S329，由几何概型的概率计算公式得S1S13，得S13.5(2019北京昌平模拟)设不等式组 x2y20，x4，y
3、2表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点，则此点到直线y20 的距离大于 2 的概率是()A.413 B.513 C.825 D.925 D 解析 作出平面区域可知平面区域D是以A(4,3)，B(4，2)，C(6，2)为顶点的三角形区域，当点在AED区域内时，点到直线y20 的距离大于 2.PSAEDSABC126312105925，故选 D.6(2019山东枣庄一模)已知实数a满足3aP2 BP1P2 CP1P2 DP1与P2的大小不确定 C 解析 若f(x)的值域为 R，则1a240，得a2 或a2.故P12343424337.解答同学甲乙的问题预计解答完一个学生的问题需要分钟若甲乙两
4、人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的则两何概型可知所求概率为故选如图所示半径为的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域在圆中随机扔一粒豆子落在阴影区域设不等式组表示的平面区域为在区域内随机取一个点则此点到直线的距离大于的概率是解析作出平面区域可知平面区 若f(x)的定义域为 R，则2a240，得2a2.故P247，所以P1P2.二、填空题 7(2019石宝中学一模)如图所示，M是半径为R的圆周上的一个定点，在圆周上等可能地任取一点N，连接MN，则弦MN的长度超过 2R的概率是_ 解析 当弦MN的长度恰为 2R时，MON2，如图当点N落在半圆弧上时，弦MN的长度不超过 2R，故所求概率为P12.答案
5、 12 8记集合A(x，y)|x2y24和集合B(x，y)|xy20，x0，y0表示的平面区域分别为1和2，若在区域1内任取一点M(x，y)，则点M落在区域2的概率为_ 解析 作圆O：x2y24，区域1就是圆O内部(含边界)，其面积为 4，区域2就是图中AOB内部(含边界)，其面积为 2，因此所求概率为2412.答案 12 9在区间(0,1)内随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是_ 解析 设随机取出的两个数分别为x，y，则 0 x1,0y1，依题意有xy65，由几何概型知，所求概率为 解答同学甲乙的问题预计解答完一个学生的问题需要分钟若甲乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的则两
6、何概型可知所求概率为故选如图所示半径为的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域在圆中随机扔一粒豆子落在阴影区域设不等式组表示的平面区域为在区域内随机取一个点则此点到直线的距离大于的概率是解析作出平面区域可知平面区 P1212115115121725.答案 1725 三、解答题 10甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为 4 小时，乙船的停泊时间为 2 小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率 解析(1)设甲、乙两船到达时间分别为
7、x，y，则 0 x24,0y4或yx4.作出区域 0 x24，0y4或yx2 或yx4.设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域 0 x24，0y4或xy2.解答同学甲乙的问题预计解答完一个学生的问题需要分钟若甲乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的则两何概型可知所求概率为故选如图所示半径为的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域在圆中随机扔一粒豆子落在阴影区域设不等式组表示的平面区域为在区域内随机取一个点则此点到直线的距离大于的概率是解析作出平面区域可知平面区 则P(B)1220201222222424442576221288.11已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其标号
8、为 0 的小球 1 个，标号为 1的小球 1 个，标号为 2 的小球n个若从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号为 2 的小球的概率是12.(1)求n的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b.记“2ab3”为事件A，求事件A的概率；在区间0,2 内任取 2 个实数x，y，求事件“x2y2(ab)2恒成立”的概率 解析(1)由题意共有小球n2 个，标号为 2 的小球n个 从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号为 2 的小球的概率是nn212，解得n2.(2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小
9、球标号为b，则取出 2个小球的可能情况共有 C14C1312 种结果，令满足“2ab3”为事件A，则事件A共有 C1428 种结果，故P(A)81223；由可知(ab)24，故x2y24，(x，y)可以看成平面中点的坐标，则全部结果构成的区域(x，y)|0 x2,0y2，x，yR，由几何概型可得概率为 P41422414.12甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为 15，边界忽略不计)即为中奖 乙商场：从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性摸出 2
10、个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是 2 个红球，即为中奖 问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解析 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为 R2(R为圆盘的解答同学甲乙的问题预计解答完一个学生的问题需要分钟若甲乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的则两何概型可知所求概率为故选如图所示半径为的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域在圆中随机扔一粒豆子落在阴影区域设不等式组表示的平面区域为在区域内随机取一个点则此点到直线的距离大于的概率是解析作出平面区域可知平面区 半径)，阴影区域的面积为415R2360R26.所以，在甲商场中奖的概率为P1R26 R2 16.如果
11、顾客去乙商场，从盒子中摸出 2 个球的一切可能的结果有 C26共 15 种 摸到的 2 个球都是红球有 C23种，共 3 种，所以在乙商场中奖的概率为P231515，又P1P2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大 13 选做题(2019福州一模)已知复数zxyi(x，yR)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P4，3，2,0，Q0,1,2，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x0,3，y0,4，求点M落在不等式组：x2y30，x0，y0所表示的平面区域内的概率 解析(1)记“复数z为纯虚数”为事件A.因为组成复数z的所有情况共有 C14C
12、1312 个：4，4i，42i，3，3i，32i，2，2i，22i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2个：i,2i，所以所求事件的概率为 P(A)21216.(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域x，y 0 x3，0y4内，属于几何概型该平面区域的图形为右图中矩形OABC围成的区域，面积为S3412.而所求事件构成的平面区域为x，y x2y30，x0，y0，其图形如图中的三角形OAD(阴影部分)又直线x2y30 与x轴，y轴的交点分别为A(3,0)，D0，32，所以三角形OAD的面积为S11233294.所以所求事件的概率为PS1S94 1
13、2 316.解答同学甲乙的问题预计解答完一个学生的问题需要分钟若甲乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的则两何概型可知所求概率为故选如图所示半径为的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域在圆中随机扔一粒豆子落在阴影区域设不等式组表示的平面区域为在区域内随机取一个点则此点到直线的距离大于的概率是解析作出平面区域可知平面区 解答同学甲乙的问题预计解答完一个学生的问题需要分钟若甲乙两人在晚修内的任意时刻去问问题是相互独立的则两何概型可知所求概率为故选如图所示半径为的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域在圆中随机扔一粒豆子落在阴影区域设不等式组表示的平面区域为在区域内随机取一个点则此点到直线的距离大于的概率是解析作出平面区域可知平面区