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1、晨鸟教育 Earlybird 7 万有引力定律及其应用 1此部分内容几乎每年必考，以选择题为主。近几年的出题主要集中在月球探测，嫦娥系列，以及万有引力定律在航空领域的应用。2卫星运行规律 例 1(2019 全国 I 卷 15)火星的质量约为地球质量的110，半径约为地球半径的12，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()A.0.2 B.0.4 C.2.0 D.2.5【答案】B【解析】根据 F=GMmR2得21 1 222 2 11 40.410 1F M RF M R，故选 B。例 1(2019 全国 II 卷 15)若一均匀球形星体的密度为，引力常量为 G，则在该星体表面附近
2、沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是()A3G B4G C13 G D14 G【答案】A【解析】卫星在星体表面附近绕其做圆周运动，则 GMmr2 m2T2r，M 43 r3，知卫星该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期3TG。例 3(2019 全国 III 卷 16)“嫦娥四号”探测器于 2019 年 1 月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的 K倍。已知地球半径 R 是月球半径的 P倍，地球质量是月球质量的 Q倍，地球表面重力加速度大小为考点分析 晨鸟教育 Earlybird g。则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为()ARKgQP
3、BRPKgQ CRQgKP DRPgQK【答案】D【解析】假设在地球表面和月球表面上分别放置质量为 m 和 m0的两个物体，则在地球和月球表面处，分别有 GMmR2 mg，02/(/)mM QG m gR P，解得2Pg gQ，设嫦娥四号卫星的质量为 m1，根据万有引力提供向心力得2112/(/)/m M Q vG mKR P KR P，解得RPgvQK。1如图所示，A、B 为地球两个同轨道面的人造卫星，运行方向相同，A 为同步卫星，A、B 卫星的轨道半径之比为rArB k，地球自转周期为 T。某时刻 A、B 两卫星位于地球同侧直线上，从该时刻起至少经过多长时间 A、B 间距离最远()AT2（
4、k3 1）BTk3 1 CT2（k3 1）DTk3 1【答案】A【解析】由开普勒第三定律得2 23 3A BB Ar rT T，设两卫星至少经过时间 t 距离最远，如图所示，tTBtTA nB nA12，又 TA T，解得 tT2（k3 1），选项 A 正确。2位于贵州的“中国天眼”(FAST)是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜，通过 FAST提分训练 径的则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为答案解析根据得故选例全国卷若一均匀球形星体的密 运动则知卫星该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期例全国卷嫦娥四号探测于年月在月球背面成功着陆着陆 质量是月球质量的倍地球表面重力加
5、速度大小为晨鸟教育则嫦娥四号绕月球做圆周运动的速率为答案解析假设在地球晨鸟教育 Earlybird 可以测量地球与木星之间的距离。当 FAST 接收到来自木星的光线传播方向恰好与地球公转线速度方向相同时，测得地球与木星的距离是地球与太阳距离的 k 倍。若地球和木星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动且轨道共面，则可知木星的公转周期为()A 3241 k 年 B 3221 k 年 C 321 k 年 D32k 年【答案】A【解析】该题中，太阳、地球、木星的位置关系如图，设地球的公转半径为 R1，木星的公转半径为 R2，测得地球与木星的距离是地球与太阳距离的 k 倍，则有 R22 R12(kR1)2(1
6、 k2)R12，由开普勒第三定律有R13T12R23T22，可得 T22R23R13 T12 3221 k T12，由于地球公转周期 T1 1 年，则有 T2 3241 k 年，故 A 正确，B、C、D 错误。3假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为 g0，在赤道的大小为 g；地球自转的周期为 T，引力常量为 G。地球的密度为()A3（g0 g）GT2g0 B3 g0GT2（g0 g）C3GT2 D3 g0GT2g【答案】B【解析】由万有引力定律可知 GMmR2 mg0，在地球的赤道上 GMmR2 mg m2T2R，地球的质量 M43 R3，联立三式可得 3 g
7、0GT2（g0 g），选项 B 正确。4 2019 年 1 月 3 日 10 时 26 分，“嫦娥四号”探测器成功在月球背面着陆，标志着我国探月航天工程达到了一个新高度，图示为“嫦娥四号”到达月球背面的巡视器。已知地球和月球的半径之比约为 4 1，其表面重力加速度之比约为 6 1。则地球和月球相比较，下列说法中最接近实际的是()A地球的密度与月球的密度比为 3 2 B地球的质量与月球的质量比为 64 1 C地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度比为 8 1 径的则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为答案解析根据得故选例全国卷若一均匀球形星体的密 运动则知卫星该星体表面附近沿圆轨道
8、绕其运动的卫星的周期例全国卷嫦娥四号探测于年月在月球背面成功着陆着陆 质量是月球质量的倍地球表面重力加速度大小为晨鸟教育则嫦娥四号绕月球做圆周运动的速率为答案解析假设在地球晨鸟教育 Earlybird D苹果在地球表面受到的引力与它在月球表面受到的引力比为 60 1【答案】A【解析】设星球的密度为，由 GmMR2 mg，得 MgR2G，MV3g4 GR，已知地球的半径约为月球半径 4 倍；地球表面重力加速度约为月球表面重力加速度的 6 倍，所以地球和月球的密度之比约为 3 2，地球的质量与月球的质量比为 96 1，故 A 正确，B 错误；根据 GmMR2 mg mv2R可得 v=gR，则地球的
9、第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度比为 2 6 1，选项C 错误；根据 F mg 可知，苹果在地球表面受到的引力与它在月球表面受到的引力比为 6 1，选项 D 错误。5(多选)使物体成为卫星的最小发射速度称为第一宇宙速度 v1，而使物体脱离星球引力所需要的最小发射速度称为第二宇宙速度 v2，v2与 v1的关系是 v2 2v1。已知某星球半径是地球半径 R 的13，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度 g 的16，地球的平均密度为，不计其他星球的影响，则()A该星球上的第一宇宙速度为3gR3 B该星球上的第二宇宙速度为gR3 C该星球的平均密度为2 D该星球的质量为8 R381【答案】BC【解析
10、】星球的半径 R R3，星球上的重力加速度 g g6，该星球上的第一宇宙速度 v1 g Rg6R32gR6，选项 A 错误；该星球上的第二宇宙速度为 v2 2v1 22gR6gR3，选项 B 正确；由 g GMR 2，gGMR2，M V，V43 R3，联立解得该星球的质量为 M 2 R381，选项 D 错误；该星球体积 V 43 R 3，该星球的平均密度为 MV，R R3，联立解得 2，选项 C 正确。6“嫦娥五号”作为我国登月计划中第三期工程的“主打星”，登月后又从月球起飞，并以“跳跃式返回技术”成功返回地面，完成探月第三期工程的重大跨越带回月球样品。“跳跃式返回技术”是指航天器在关闭发动机
11、后进入大气层，依靠大气升力再次冲出大气层，降低速度后进入大气层。如图所示，虚线为大气层的边界，已知地球半径为 R，d 点与地心距离为 r，径的则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为答案解析根据得故选例全国卷若一均匀球形星体的密 运动则知卫星该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期例全国卷嫦娥四号探测于年月在月球背面成功着陆着陆 质量是月球质量的倍地球表面重力加速度大小为晨鸟教育则嫦娥四号绕月球做圆周运动的速率为答案解析假设在地球晨鸟教育 Earlybird 地球表面重力加速度为 g。下列说法正确的是()A“嫦娥五号”在 b 点处于完全失重状态 B“嫦娥五号”在 d 点的向心加速
12、度大小等于gr 2R2 C“嫦娥五号”在 a 点和 c 点的速率相等 D“嫦娥五号”在 c 点和 e 点的速率相等【答案】D【解析】由“嫦娥五号”运动轨迹可知，其在 b 点的加速度方向与所受万有引力方向相反，处于超重状态，选项 A 错误；由万有引力定律和牛顿第二定律得 GMmr2 ma，其在 d 点的向心加速度 aGMr2，在地表处，有 mg GMmR2，解得 agR2r2，选项 B 错误；从 a 点到 c 点过程中，万有引力做功为零，但大气阻力做负功，由动能定理可知，动能变化量不为零，故在 a、c 两点时速率不相等，选项 C 错误；从 c 点到 e 点过程中，所经空间无大气，万有引力做功为零
13、，所以在 c、e 两点时速率相等，选项 D 正确。7我国先后发射了量子科学实验卫星、“天宫二号”、“风云四号 A”、全球二氧化碳监测科学实验卫星等卫星或航天器，如图所示，其中量子科学实验卫星运行在距地面 500 千米的极地轨道，“天宫二号”运行在距地面 393 千米的轨道，“风云四号 A”是中国新一代静止气象卫星，运行在地球同步轨道上，全球二氧化碳监测科学实验卫星运行在距地面 700 千米的极地轨道上，这些卫星或航天器对我国及国际的科学研究做出了重大贡献。下列关于这些卫星或航天器的说法正确的是()A量子科学实验卫星的轨道在赤道上空 径的则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为答案解
14、析根据得故选例全国卷若一均匀球形星体的密 运动则知卫星该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期例全国卷嫦娥四号探测于年月在月球背面成功着陆着陆 质量是月球质量的倍地球表面重力加速度大小为晨鸟教育则嫦娥四号绕月球做圆周运动的速率为答案解析假设在地球晨鸟教育 Earlybird B“天宫二号”的运行速度最小 C“风云四号 A”的运行轨道距地面的高度最大 D全球二氧化碳监测科学实验卫星运行周期为 24 小时【答案】C【解析】量子科学实验卫星运行在距地面 500 千米的极地轨道，轨道不在赤道上空，选项 A错误；根据万有引力提供向心力可知 GMmr2 mv2r，解得 vGMr，轨道半径越大，速度越小，
15、根据题意可知，“风云四号 A”的轨道半径最大，则其速度最小，距地面的高度最大，选项 B 错误，C 正确；根据万有引力提供向心力得 GMmr2 m4 2rT2，解得 T 2r 3GM，地球同步卫星的周期为 24 h，轨道半径越大，周期越大，而全球二氧化碳监测科学实验卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，则周期小于 24 h，选项 D 错误。8 2018 年 8 月 12 日，美国“帕克”太阳探测器在佛罗里达州卡纳维拉尔角发射升空，这是人类首个将穿越日冕“触摸”太阳的探测器。已知海王星距太阳的距离约为 450 400 万千米，“帕克”太阳探测器距太阳的距离约为 4 273 万千米。若海王星与“帕克
16、”太阳探测器围绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，则()A海王星的运行周期一定比“帕克”太阳探测器的运行周期小 B在相同时间内，海王星转过的弧长一定比“帕克”太阳探测器转过的弧长长 C海王星运行时的向心加速度一定比“帕克”太阳探测器运行时的向心加速度小 D海王星的角速度一定比“帕克”太阳探测器的角速度大【答案】C【解析】由公式 T 2r3GM可知 T r3，所以海王星的运行周期比“帕克”太阳探测器的运行周期大，选项 A 错误；由 GMmr2 mv2r得 vGMr，知轨道半径小，运行速度大，海王星运行时的速度比“帕克”太阳探测器的小，在相同时间内，海王星转过的弧长一定比“帕克”太阳探测器的短，选项
17、B 错误；根据 GMmr2 ma 可得 aGMr21r2，因为海王星的轨道半径大，所以其向心加速度较小，选项 C 正确；根据公式 GMmr2 mr 2 可得 GMr3，轨道半径越大，角速度越小，所以海王星的角速度小于“帕克”太阳探测器的角速度，选项 D 错误。9(多选)在星球 M 上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体 P 轻放在弹簧上端，P 由静止向下运动，物体的加速度 a 与弹簧的压缩量 x 间的关系如图中实线所示。在另一星球 N上用完全相同的弹簧，改用物体 Q 完成同样的过程，其 a x 关系如图中虚线所示。假设两径的则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为答案解析根据得故
18、选例全国卷若一均匀球形星体的密 运动则知卫星该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期例全国卷嫦娥四号探测于年月在月球背面成功着陆着陆 质量是月球质量的倍地球表面重力加速度大小为晨鸟教育则嫦娥四号绕月球做圆周运动的速率为答案解析假设在地球晨鸟教育 Earlybird 星球均为质量均匀分布的球体。已知星球 M 的半径是星球 N 的 3 倍，则()A M 与 N 的密度相等 B Q 的质量是 P 的 3 倍 C Q 下落过程中的最大动能是 P 的 4 倍 D Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是 P 的 4 倍【答案】AC【解析】由题图知，当 x 0 时，对 P 有 mPgM mP 3a0，即星球 M
19、 表面的重力加速度 gM3a0；对 Q 有 mQgN mQa0，即星球 N 表面的重力加速度 gN a0。在星球表面，由 mg GMmR2得，星球质量 MgR2G，V43 R3，则星球的密度 MV3g4 GR，所以 M、N 的密度之比MNgMgNRNRM3113 1，选项 A 正确；当 P、Q 的加速度 a 0 时，对 P 有 mPgM kx0，则 mPkx03a0；对 Q 有 mQgN k 2x0，则 mQ2kx0a0，即 mQ 6mP，选项 B 错误；根据 a x 图线与坐标轴围成图形的面积和质量的乘积表示合外力做的功及动能定理可知，EkmP32mPa0 x0，EkmQmQa0 x0，所以
20、 EkmQ 4EkmP，选项 C 正确；根据运动的对称性可知，Q 下落时弹簧的最大压缩量为 4x0，P 下落时弹簧的最大压缩量为 2x0，选项 D 错误。10 2019 年 3 月 3 日，中国探月工程总设计师吴伟仁宣布中国探月工程“三步走”即将收官，我国对月球的探索将进入新的征程。若近似认为月球绕地球做匀速圆周运动，地球绕太阳也做匀速圆周运动，它们的绕行方向一致且轨道在同一平面内。(1)已知地球表面处的重力加速度为 g，地球半径为 R，月心地心间的距离为 r，求月球绕地球一周的时间 Tm；(2)如图是相继两次满月时，月球、地球和太阳相对位置的示意图。已知月球绕地球运动一周的时间 Tm 27.
21、4 天，地球绕太阳运动的周期 Te 365 天，求地球上的观察者相继两次看径的则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为答案解析根据得故选例全国卷若一均匀球形星体的密 运动则知卫星该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期例全国卷嫦娥四号探测于年月在月球背面成功着陆着陆 质量是月球质量的倍地球表面重力加速度大小为晨鸟教育则嫦娥四号绕月球做圆周运动的速率为答案解析假设在地球晨鸟教育 Earlybird 到满月满月的时间间隔 t。【解析】(1)设地球的质量为 M，月球的质量为 m，地球对月球的万有引力提供月球的向心力，则：22m2 MmG m rT r 地球表面的物体受到的万有引力约等于重力，则：002MmG m gR 解得：3m22rTgR。(2)相继两次满月，月球绕地心转过的弧度比地球绕日心转过的弧度多 2，即：mt 2 et 而mm2T，ee2T 解得：t 29.6 天。径的则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为答案解析根据得故选例全国卷若一均匀球形星体的密 运动则知卫星该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期例全国卷嫦娥四号探测于年月在月球背面成功着陆着陆 质量是月球质量的倍地球表面重力加速度大小为晨鸟教育则嫦娥四号绕月球做圆周运动的速率为答案解析假设在地球