(完整版)第四讲导数与函数的零点讲义(非常好,有解析).pdf

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1、函数的零点【题型一】函数的零点个数【解题技巧 】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象， 再借助图象加以判断。【例 1】已知函数3( )31,0f xxaxa求( )f x的单调区间；若( )f x在1x处取得极值，直线y=m 与( )yf x的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。变式：已知定义在R上的奇函数)(xf，满足(4)( )f xf x，且在区间 0,2上是增函数，若方程( )(0)f xm m在区间 8 , 8上有四个不同的根1234,x xxx，则1234_.xxxx【答案 】 -8 【解析】 因为定义在R 上的奇函数，满足(4)( )f

2、xf x，所以(4)()f xfx，所以, 由)(xf为奇函数，所以函数图象关于直线2x对称且(0)0f， 由(4)( )f xf x知(8)( )f xf x，所以函数是以8 为周期的周期函数，又因为)(xf在区间 0,2上 是增函数，所以)(xf在区间 -2,0上也是增函数如图所示，那么方程f(x)=m(m0) 在区间8, 8上 有 四 个 不 同 的 根1234,xxxx， 不 妨 设1234xxxx，由 对 称 性 知1212xx，344xx所以12341248xxxx【题型二】 复合函数 的零点个数复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层-8 -6

3、 -4 -2 0 2 4 6 y x f(x)=m 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 和外层函数与零点的关系。【解题技巧】函数( )( )h xff xc的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想分两步进行。即令( )f xd，则( )( )h xf dc第一步：先 判断( )f dc的零点个数情况第二步：再 判断( )f xd的零点个数情况【例 2】 已知函数3( )3f xxx设( )( )h xff xc， 其中 22c，

4、求函数( )yh x的零点个数1 （ 江 苏 省 连 云 港 市2013届 高 三 上 学 期 摸 底 考 试 （ 数 学 ） 已 知 函 数322( )39(0)f xxaxa x a. 若方程2( )12169fxnxaxaa在 l,2恰好有两个相异的实根 , 求实数 a 的取值范围 ( 注:1n20.69):【题型三】 如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点【解题技巧】（1）要求证一个函数存在零点， 只须要用 “函数零点的 存在性定理” 即可证明。即：如果函数( )f x在区间ab，上是一条连续不断曲线，并且( )( )0f af b，则函数( )f x在区间ab，上至少有一个零

5、点。即存在一点0 xab， 使得0()0f x，这个0 x 也就是方程( )0f x的根 .（2）要求证一个函数“有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用“函数零点的 存在性定理”求证函数零点的唯一性。其依据为：如果函数( )f x在区间ab，上是单调函数，并且( )( )0f af b，则函数( )f x在区间ab，上至多有一个零点。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 【例 3】设函数329( )62f xxx

6、xa（1）对于任意实数x，( )fxm恒成立，求m的最大值；（2）若方程( )0f x有且仅有一个实根，求a的取值范围变式：设函数( )lnfxx，( )ag xx，( )( )( )F xf xg x。 若方程( )fxmx在区间21 ,e上有唯一实数解，求实数m的取值范围；解析：方程( )f xmx在区间21 ,e上有唯一实数解等价于方程ln xmx在区间21 ,e上有唯一实数解。记2ln( )1 ,xh xxex，则21ln( )xh xx， 令( )0h x，得：xe，当1 ,xe时，( )0h x，( )h x递增；当2,xee时，( )0h x，( )h x递减。所以max1( )

7、( )h xh ee。易求得：(1)0h，222()h ee。为使方程ln xmx在区间21 ,e上有唯一实数解，则直线ym与函数ln( )xyh xx的图象有唯一交点，根据( )h x的图象可知：1me或220me。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 故m的取值范围是2210 ,eeU。【例 4】已知函数xfxemx在( 1,)上没有零点，求m的取值范围；【题型四】 如何运用导数来判断与求证含参函数的零点【例 5】 （2013江苏

8、卷） 设函数axxxfln)(，axexgx)(，其中a为实数 若)(xg在), 1(上是单调增函数，试求)(xf的零点个数，并证明你的结论基础练习：1己知( )lnxf xaxae，其中常数0a（1）当ae时，求函数( )f x的极值；2已知函数f（x）12m（x1）22x3lnx ， m R当 m0 时，若曲线yf（x）在点 P（1，1）处的切线l 与曲线 yf（x）有且只有一个公共点，求实数m 的值精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - -

9、- - 3已知函数1( )1xf xxe(aR,e为自然对数的底数).若直线:1lykx与曲线( )yf x没有公共点 ,求k的最大值 . 4已知函数f（x）=13x3+1a2x2-ax-a,xR,其中 a0若函数f（x）在区间（ -2,0）内恰有两个零点 ,求 a 的取值范围；5设1a，函数aexxfx)1()(2(1) 求)(xf的单调区间；(2) 证明：)(xf在,上仅有一个零点；参考答案与解析【例 1】解析：（ 1）22( )333(),fxxaxa当0a时，对xR，有( )0,fx当0a时，( )f x的单调增区间为(,)当0a时，由( )0fx解得xa或xa；由( )0fx解得ax

10、a，当0a时 ，( )f x的 单 调 增 区 间 为(,),(,)aa；( )f x的 单 调 减 区 间 为(,)aa。（2）因为( )f x在1x处取得极大值，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 所以2( 1)3( 1)30,1.faa所以32( )31,( )33,f xxxfxx由( )0fx解得121,1xx。由（ 1）中( )f x的单调性可知，( )f x在1x处取得极大值( 1)1f，在1x处取得极小值(1)3f。

11、因 为 直 线ym与 函 数( )yf x的 图 象 有三 个 不 同 的交 点 ， 又( 3)193f，(3)171f，结合( )f x的单调性可知，m的取值范围是( 3,1)。【例 2】令3( )3f xxxd，则：( )( )( )h xff xcf dc(1)先讨论关于d的方程( )=cf d即33ddc根的情况：2, 2cQ2( )333(1)(1)fdddd( )f d在区间, 1上单调递增，在区间1,1单调递减，在区间1,单调递增。( )(1)2f df极小值()( 1)2f df极大值描绘出函数的草图，并据草图可得：方程( )=cf d根的情况如下表所示：C 的取值范围根的个数

12、根或根的范围2c2 个根2d或1d22c3 个根1d、2d、3d2c2 个根1d或2d精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - - (2)下面考虑方程( )f xd即33xxd根的情况：据上述表格及图形( )f xd和( )=cf d的根的情况如下表c的范围( )f dc根的个数根d的范围( )=df x根的个数2c2 个根1d、2d11d3 个根5 个根22d2 个根22c3 个根1d、2d、3d122d3 个根9 个根222d3 个根32

13、2d3 个根2c2 个根1d、2d11d3 个根5 个根12d2 个根综上所述：当=2c时，函数( )yh x有 5 个零点；当2c 时，函数( )yh x有 9 个零点。【例 3】解： (1) 2( )3963(1)(2)fxxxxx, 因为(,)x,( )fxm, 即239(6)0 xxm恒成立 , 所以8112(6)0m, 得34m，即m的最大值为34(2) 因为 当1x时, ( )0fx;当12x时, ( )0fx;当2x时 , ( )0fx; 所以当1x时,( )f x取极大值5(1)2fa; 当2x时,( )f x取极小值(2)2fa; 故 当(2)0f或(1)0f时 , 方 程(

14、 )0f x仅 有 一 个 实 根 . 解 得2a或52a. 【例 4】 方法一：当0n，可得( )()xxh xemxem，因为1x，所以1xee，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 当1me时，( )0 xh xem，函数( )h x在( 1,)上单调递增，而(0)1h，所以只需1( 1)0hme，解得1me，从而11mee当1me时，由( )0 xh xem，解得ln( 1,)xm，当( 1,ln)xm时，( )0h x，(

15、)h x单调递减；当(ln,)xm时，( )0h x，( )h x单调递增所以函数( )h x在( 1,)上有最小值为(ln)lnhmmmm，令ln0mmm，解得me，所以1mee综上所述，1, )mee方法二：当0n，xemx当0 x时，显然不成立；当1x且0 x时，xemx，令xeyx，则221xxxexe xeyxx，当10 x时，0y，函数xeyx单调递减，01x时，0y，函数xeyx单调递减，当1x时，0y，函数xeyx单调递增，又11xey，1xye，由题意知1, )mee【例 5】axgxe)(0 在), 1(上恒成立，则aex，故：a1e)0(11)(xxaxaxxf（）若 0

16、a1e，令)(xf0 得增区间为（ 0，1a） ；令)(xf0 得减区间为（1a，）当 x0 时， f（x）；当x时， f（x）；当 x1a时，f（1a） lna10，当且仅当a1e时取等号故：当a1e时，f（x）有 1 个零点；当0a1e时， f（x）有 2 个零点（）若 a0，则 f（x） lnx，易得 f（x）有 1 个零点精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - - （）若 a0，则01)(axxf在)0( ，上恒成立，即：axxxf

17、ln)(在)0( ，上是单调增函数，当 x0 时， f（x）；当x时， f（x）此时， f（x）有 1 个零点综上所述：当a1e或 a0 时， f（x）有 1 个零点；当0a1e时， f（x）有 2 个零点练习 1、 【答案】（1）( )f x有极小值 0，没有极大值【解析】函数( )f x的定义域为(0,)，（1）当ea时，( )eelnexf xx，e( )exfxx，而e( )exfxx在(0,)上单调递增，又(1)0f，当01x时，( )(1)0fxf，则( )f x在(0,1)上单调递减；当1x时 ，( )(1)0fxf， 则( )f x在(1,)上 单 调 递增 ， 所 以( )f

18、 x有 极 小 值(1)0f，没有极大值2、 【解析】由f （x） mxm21x，得 f （1） 1，所以曲线 yf（x）在点 P（1，1）处的切线l 的方程为y x 2由题意得，关于x 的方程 f（x） x2 有且只有一个解，即关于 x 的方程12m（x1）2x1lnx0有且只有一个解令 g（x）12m（x1）2x1lnx（x0）则 g （x） m（x1） 11xmx2(m1)x1x(x1)(mx1)x（x 0）当 0m1时，由 g （x）0 得 0 x1 或 x1m，由 g （x） 0 得 1x1m，所以函数g（x）在（ 0，1）为增函数，在（1，1m）上为减函数，在（1m，）上为增函数又

19、 g（1）0，且当 x时， g（x），此时曲线yg（x）与 x 轴有两个交点故 0m1 不合题意当 m1 时， g （x） 0，g（x）在（ 0，）上为增函数，且g（ 1） 0，故 m 1 符精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 合题意当 m1 时，由 g （x） 0 得 0 x1m或 x1，由 g （x） 0 得1mx1，所以函数 g（x）在（ 0，1m） 为增函数，在（1m，1）上为减函数，在（1，）上为增函数又 g（1）0，且当

20、 x0 时，g（x），此时曲线yg（ x）与 x轴有两个交点故 m1 不合题意综上，实数m 的值为 m13、 【答案】解 : 当1a时,11xfxxe令111xg xfxkxk xe, 则直线l:1ykx与曲线yfx没有公共点 , 等价于方程0g x在R上没有实数解 . 假设1k,此时010g,1111101kgke, 又函数g x的图象连续不断,由零点存在定理,可知0g x在R上至少有一解,与“ 方程0g x在R上没有实数解 ” 矛盾 ,故1k. 又1k时,10 xg xe,知方程0g x在R上没有实数解. 所以k的最大值为1. 解法二 : ()()同解法一 . ()当1a时,11xfxxe

21、. 直线l:1ykx与曲线yfx没有公共点 , 等价于关于x的方程111xkxxe在R上没有实数解,即关于x的方程 : 11xkxe(*) 在R上没有实数解 . 当1k时,方程 (*) 可化为10 xe,在R上没有实数解. 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 当1k时,方程 (*) 化为11xxek. 令xg xxe,则有1xgxx e. 令0gx,得1x, 当x变化时 ,gx的变化情况如下表: x, 111,gx0g x1eZ当

22、1x时,min1g xe,同时当x趋于时,g x趋于, 从而g x的取值范围为1,e. 所以当11,1ke时,方程 (*) 无实数解 , 解得k的取值范围是1,1e. 综上 ,得k的最大值为1. 5、 【答案】（ 1）,； （2）见解析；【解析】（1）依题2221110 xxxfxxexexe，fx在,上是单调增函数；（2）1a，010fa且22110af aaeaaa，fx在0,a上有零点，又由（ 1）知fx在,上是单调增函数，fx在,上仅有一个零点；【考点定位】导数与函数单调性、零点、不等式，导数的几何意义等知识【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性、零点、不等式恒成立，导数的几何意义等

23、基精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - - 础知识，属于中高档题，解答此题关键在于第（1）问要准确求出fx的导数，第（2）问首先要说明0,a内有零点再结合函数在,单调性就易证其结论，第（3）问由导数的几何意义易得221mmeae对比要证明的结论后要能认清1mem的放缩作用并利用导数证明1mem成立，则易证321mae精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - - -