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1、第三章平均数、标准差与变异系数本章重点介绍平均数(mean)、标准差(standard deviation)与变异系数(variation coefficient)三个常用统计量，前者用于反映资料的集中性，即观测值以某一数值为中心而 分布的性质；后两者用于反映资料的离散性，即观测值离中分散变异的性质。第一节平均数平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位 置。在畜牧业、水产业生产实践和科学讨论中，平均数被广泛用来描述或比较各种技术措施 的效果、畜禽某些数量性状的指标等等。平均数主要包括有算术平均数(arithmetic mean)、 中位数(median)众数(
2、mode)、几何平均数(geometric mean)及调和平均数(harmonic mean),现分别介绍如下。一、算术平均数算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商，简称平均数或均数, 记为工。算术平均数可依据样本大小及分组状况而采纳直接法或加权法计算。(一)直接法 主要用于样本含量W30以下、未经分组资料平均数的计算。nVxn设某一资料包含个观测值：XH X2、则样本平均数1可通过下式计算：(3-1)nn其中，a为总和符号；2玉表示从第一个观测值即累加到第个观测值工。当2天 i=i=在意义上已明确时，可简写为(3.1)式即可改写为：n【例3.1】某种公牛站测得10头成年公
3、牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490 (依)，求其平均体重。由于 24500+520+535+560+585+600+480+510+505+490=5285,二10代入(3-1)式得：-5 5285x =4-=528.5(kg) n10即10头种公牛平均体重为528.5依。(二)加权法 对于样本含量230以上且已分组的资料，可以在次数分布表的基础 上采纳加权法计算平均数，计算公式为：年平均增长率。(G=0.U06或11.06%)。9、某保种牛场，由于各方面缘由使得保种牛群世代规模发生波动，连续5个世代的规模分别为：120、 130、14
4、0、120、110头。试计算平均世代规模。(3=123.17头)10、调查甲、乙两地某品种成年母水牛的体高(。力)如下表，试比较两地成年母水牛体高的变异程度。甲地137133130128127119136132乙地128130129130131132129130QS 甲=5.75an, C.V产4.42%；S乙=1.25oti, C.V乙=0.96%)力+上+人力于(3-2)/=1式中：Xj第i组的组中值；力一第i组的次数；k分组数第i组的次数方是权衡第，组组中值为在资料中所占比重大小的数量，因此方称为是为 的“权”，加权法也由此而得名。【例3. 2 将100头长白母猪的仔猪一月窝重(单位：依
5、)资料整理成次数分布表如 下，求其加权数平均数。表3-1 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表组别组中值(%)次数(/)101534520256150303526910404530135050552413206065852070753225合计1004520米用(32)式得:=45.2(匕)即这100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为45.2依。计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时，假如样本含量不等，也应采纳加权 法计算。【例3. 3】 某牛群有黑白花奶牛1500头，其平均体重为750依，而另一牛群有黑白 花奶牛1200头，平均体重为725依，假如将这两个牛群混合在一起，其混合后平均体重
6、为 多少？此例两个牛群所包含的牛的头数不等，要计算两个牛群混合后的平均体重，应以两个牛 群牛的头数为权，求两个牛群平均体重的加权平均数，即= 738.89(Zg), X.A 750 x 1500 + 725 x 1200x v,2700即两个牛群混合后平均体重为738.89 kg。(三)平均数的基本性质1、样本各观测值与平均数之差的和为零，即离均差之和等于零。Z （%5） = 0 或简写成Z（x 元）=。i=l2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小，即离均差平方和为最小。Z 5-元)2 E(犷。)2/=1 /=1(常数ax )或简写为：元）2 Z（X 。尸以上两共性质可用代数方法予以证明，
7、这里从略。对于总体而言，通常用U表示总体平均数，有限总体的平均数为:(3-3)式中，N表示总体所包含的个体数。当一个统计量的数学期望等于所估量的总体参数时.，则称此统计量为该总体参数的无偏 估量量。统计学中常用样本平均数（工）作为总体平均数（以）的估量量，并已证明样本平 均数工是总体平均数u的无偏估量量。二、中位数将资料内全部观测值从小到大依次排列，位于中间的那个观测值，称为中位数，记为 M/o当观测值的个数是偶数时，则以中间两个观测值的平均数作为中位数。中位数简称中 数。当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数。中位数的计算方 法因资料是否分组而有所不同。（一）未分组资料
8、中位数的计算方法 对于未分组资料，先将各观测值由小到大 依次排列。1、当观测值个数为奇数时，（+1）/2位置的观测值，即勺+1以为中位数；Md=%（+1）/22、当观测值个数为偶数时，/2和（/2+1）位置的两个观测值之和的1/2为中 位数,即：(3-4)% 2 + 工(/2+1)【例3. 4 观看得9只西农莎能奶山羊的妊娠天数为144、145、147、149、150、151、 153、156、157,求其中位数。此例=9,为奇数,则：M/=X（+d/2= %（9+1）/2 =工5 =15。（天）即西农莎能奶山羊妊娠天数的中位数为150天。【例3. 5某犬场发生犬瘟热，观看得10只仔犬发觉症状
9、到死亡分别为7、8、8、9、11、12、12、13、14、14 天，求其中位数。此例 =10,为偶数,则：口件出一用心(天)即10只仔犬从发觉症状到死亡天数的中位数为11.5天。(二)已分组资料中位数的计算方法 若资料已分组，编制成次数分布表，则可 采用次数分布表来计算中位数，其计算公式为：(35)“ r I 产 、储 r+R-c)/ +HX2=歹-21 + (江nn所以(3-11)式可改写为:Y 2 (2)2乙 X 一n-1(3-12)相应的总体参数叫总体标准差，记为。对于有限总体而言，。的计算公式为:。二江 a-4/%(3-13)在统计学中，常用样本标准差S估量总体标准差。O二、标准差的计
10、算方法(一)直接法 对于未分组或小样本资料，可直接采用(3-11)或(3-12)式来计 算标准差。【例3. 9】 计算10只辽宁绒山羊产绒量：450, 450, 500, 500, 500, 550, 550, 550, 600, 600, 650 (g)的标准差。此例 =10,经计算得： 245400, S%2=2955000,代入(312)式得：区/一()2/2955000 -54002/10 二: QQQ(、S = A -= J= 65.828 (g)V n-1V 10-1即10只辽宁绒山羊产绒量的标准差为65. 828go(二)加权法 对于已制成次数分布表的大样本资料，可采用次数分布表
11、，采纳加权 法计算标准差。计算公式为：木产等产 式中，/为各组次数；x为各组的组中值；zf=n为总次数。【例3.10 采用某纯系蛋鸡200枚蛋重资料的次数分布表(见表3-4)计算标准差。将表3-4中的2/、工执、斗丫代入(314)式得：昌工执2-0）2/于_ )575507.11-10705.12 /200= 3.5524 (g)Ef-T200-1即某纯系蛋鸡200枚蛋重的标准差为3.5524g。表3-4某纯系蛋鸡200枚蛋重资料次数分布及标准差计算表组别组中值（X）次数（/）执fa244.1545.03135.06075.045.8546.76280.213085.3447.5548.416
12、774.437480.9649.2550.1221102.255220.2250.9551.8301554.080497.2052.6553.5442354.0125939.0054.3555.2281545.085317.1256.0556.9301707.097128.3057.7558.612703.241207.5259.4560.35301.518180.4561.1562.04248.015376.00合计2户 2002二 10705. 1二优二575507. 11三、标准差的特性（一）标准差的大小，受资料中每个观测值的影响，如观测值间变异大，求得的标准差 也大，反之则小。（二）在
13、计算标准差时，在各观测值加上或减去一个常数，其数值不变。（三）当每个观测值乘以或除以一个常数m则所得的标准差是原来标准差的。倍或14/ 倍。（四）在资料听从正态分布的条件下，资料中约有68.26%的观测值在平均数左右一倍 标准差（元土S）范围内；约有95.43%的观测值在平均数左右两倍标准差（元2S）范围内； 约有99.73%的观测值在平均数左右三倍标准差（元3S）范围内。也就是说全距近似地等 于6倍标准差，可用（全距/6）来粗略估量标准差。第三节变异系数变异系数是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。当进行两个或多个资料变异 程度的比较时，假如度量单位与平均数相同，可以直接采用标准差来比
14、较。假如单位和（或） 平均数不同时，比较其变异程度就不能采纳标准差，而需采纳标准差与平均数的比值（相对 值）来比较。标准差与平均数的比值称为变异系数，记为。变异系数可以消退单位和（或）平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。变异系数的计算公式为：qC.y=-xlOO%（315）X【例3. 11】 已知某良种猪场长白成年母猪平均体重为190依，标准差为10.5kg,而大 约克成年母猪平均体重为196依，标准差为8.5依，试问两个品种的成年母猪，那一个体重 变异程度大。此例观测值虽然都是体重，单位相同，但它们的平均数不相同，只能用变异系数来比较 其变异程度的大小。由于，长白成年母猪体重的变异
15、系数：C-V=xl00% = 5.53%190大约克成年母猪体重的变异系数：。=至*100% = 4.34%196所以，长白成年母猪体重的变异程度大于大约克成年母猪。留意，变异系数的大小，同时受平均数和标准差两个统计量的影响，因而在采用变异系 数表示资料的变异程度时，最好将平均数和标准差也列出。习题1、生物统计中常用的平均数有几种？各在什么状况下应用？2、何谓算术平均数？算术平均数有哪些基本性质？3、何谓标准差？标准差有哪些特性？4、何谓变异系数？为什么变异系数要与平均数、标准差协作使用？5、10头母猪第一胎的产仔数分别为：9、8、7、10、12、10、11、14、8、9头。试计算这10头母猪
16、 第一胎产仔数的平均数、标准差和变异系数。（1=9.8头，S=2.098头，C- V=21.40%）o6、随机测量了某品种120头6月龄母猪的体长，经整理得到如下次数分布表。试采用加权法计算其平 均数、标准差与变异系数。组别组中值（X）次数（/）808428892109610029104108281121162012012415128132131361403（1 = 111.07cm, S=12.95cm, C V=11.66%）07、某年某猪场发生猪瘟病，测得10头猪的埋伏期分别为2、2、3、3、4、4、4、5、9、12（天）。试 求埋伏期的中位数。（4天）8、某良种羊群19952000年六个年度分别为240、320、360、400、420、450只，试求该良种羊群的