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1、晨鸟教育 9 功能关系、机械能守恒定律及其应用 考点分析 1此知识点每年必考，试题往往与其他知识点相结合，难度较大。2注意要点：(1)只涉及动能的变化用动能定理分析。(2)只涉及重力势能的变化，用重力做功与重力势能变化的关系分析。(3)只涉及机械能的变化，用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析。例 1(2020全国 I 卷20)一物块在高 3.0 m、长 5.0 m 的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其 重力势能和动能随下滑距离 s 的变化如图中直线、所示，重力加速度取 10 m/s2。则（）A.物块下滑过程中机械能不守恒 B.物块与斜面间的动摩擦因数为 0.5 C.物块下滑
2、时加速度的大小为 6.0 m/s2 D.当物块下滑 2.0 m 时机械能损失了 12 J【答案】AB【解析】下滑 5 m 的过程中，重力势能减少 30 J，动能增加 10 J，减小的重力势能并不等与增 加的动能，所以机械能不守恒，A 正确；斜面高 3 m、长 5 m，则斜面倾角为 37。令斜面 底端为零势面，则物块在斜面顶端时的重力势能 mgh 30 J，可得质量 m 1 kg，下滑 5 m 过 程中，由功能原理，机械能的减少量等于克服摩擦力做的功 mg cos s20 J，求得 0.5，B 正确；由牛顿第二定律 mg sin mg cos ma，求得 a2 m/s2，C 错误；物块下滑 2.
3、0 m 时，重力势能减少 12 J，动能增加 4 J，所以机械能损失了 8 J，D 选项错误。例 2(2019全国 II 卷18)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能 E 总等于动能 Ek 与重力势能 Ep 之和。取地面为重力势能零点，该物体的 E 总和 Ep 随它离开地面的高度 h 的变化如图所示。重力加速度取 10 m/s2。由图中数据可得()Earlybird晨鸟教育 A物体的质量为 2 kg Bh0 时，物体的速率为 20 m/s Ch2 m 时，物体的动能 Ek40 J D从地面至 h4 m，物体的动能减少 100 J【考题解读】本题考查动能、重力势能、机械能的概念和动能定理、功能关系
4、的应用，以及 利用数形结合处理物理问题的能力，体现了能量观念和科学推理的核心素养，同时还体现了 图像展示物理关系的形式美。【答案】AD【解析】Eph 图像知其斜率为 G，故 G20 N，解得 m 2 kg，A 正 确；h0 时，Ep0，Ek 1 E 机Ep100 J 0100 J，故 mv2100 J，解得 v10 m/s，B 错误；h2 m 时，Ep40 2 J，EkE 机Ep85 J 40 J 45 J，C 错误；h0 时，EkE 机Ep100 J 0100 J，h4 m 时，Ek E 机Ep80 J 80 J 0，故 EkEk 100 J，D 正确。提分训练 1如图所示，过山车从斜轨上的
5、最高点 A 由静止滑下，经最低点 B 运动到圆形轨道最高点 C 的过程中，忽略空气阻力和摩擦力，仅有动能和重力势能互相转化（取 B 处的重力势能为 零），则过山车()A在 A 处的机械能等于在 C 处的动能 B在 A 处的重力势能大于在 C 处的动能 C在 B 处的机械能小于在 C 处的机械能 D在 B 处的机械能等于在 C 处的重力势能【答案】B【解析】由题意可知，过山车在运动过程中机械能守恒，A 处动能为 0，C 处动能不为零，在 Earlybird能的变化用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析例全国卷一物块在高长的斜面顶端从静止恒物块与斜面间的动摩擦因数为物块下滑时加
6、速度的大小为当物块下滑时机械能损失了答案解析下滑的过程中重力势势面则物块在斜面顶端时的重力势能可得质量下滑过程中由功能原理机械能的减量等于克服摩擦力做的功求得正确由晨鸟教育 A 处的机械能大于在 C 处的动能，A 错误；因为 A 处的动能为 0，所以 A 处的机械能等于 A 处的重力势能，且 C 处动能和势能均不为 0，在 A 处的重力势能大于在 C 处的动能，B 正确；因为过山车在运动过程中机械能守恒，在 B 处的机械能等于在 C 处的机械能，C 错误；在 B 处的机械能等于在 C 处的机械能，且 C 处动能和势能均不为 0，所以在 B 处的机械能大于在 C 处的重力势能，D 错误。2如图所
7、示，竖直面内，两段半径均为 R 的光滑半圆形细杆平滑拼接组成“S”形轨道，一个 质量为 m 的小环套在轨道上，小环从轨道最高点由静止开始下滑，下滑过程中始终受到一个 水平恒力 F 的作用，小环能下滑到最低点，重力加速度大小为 g，则小环从最高点下滑到最低 点的过程中()A小环机械能守恒 B外力 F 一直做正功 C小环在最低点的速度大小为 2 2gR D在最低点小环对轨道的压力大小为 mg 【答案】C【解析】小环下滑过程中受重力、轨道沿半径方向的作用力和水平外力 F，重力一直做正功，外力 F 时而做正功时而做负功，轨道的作用力一直不做功，故小环机械能不守恒，选项 A、B 错误；小环从最高点下滑到
8、最低点的过程中，在沿水平恒力 F 方向上的位移为 0，则由动能定 1 理可得整个过程中重力做的功等于动能变化量，mg 4R mv2，解得 v2 2gR，选项 C 正确；2 v2 小环在最低点，由牛顿第二定律得 FNmg m ，得 FN9mg，由牛顿第三定律可知 FN R FN9mg，选项 D 错误。3如图所示，倾角为 30的粗糙斜面与倾角为 60的足够长的光滑斜面对接在一起，两斜面上 分别放有质量均为 m 的物块甲和乙，两物块通过一跨过定滑轮的细线连在一起。在平行于斜 面的拉力 F 的作用下两物块均做匀速运动（细线保持拉直状态)，从图示位置开始计时，在甲 物块与滑轮相碰前的一段时间内，下面的图
9、象中，x 表示每个物块所通过的路程，E 表示两物 块组成的系统的机械能，Wf 表示甲物块克服摩擦力所做的功，Ep 表示两物块组成的系统的重 Earlybird能的变化用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析例全国卷一物块在高长的斜面顶端从静止恒物块与斜面间的动摩擦因数为物块下滑时加速度的大小为当物块下滑时机械能损失了答案解析下滑的过程中重力势势面则物块在斜面顶端时的重力势能可得质量下滑过程中由功能原理机械能的减量等于克服摩擦力做的功求得正确由晨鸟教育 力势能，WF 表示拉力 F 对乙物块所做的功，则图象中所反映的关系可能正确的是()【答案】C h h 甲 乙【解析】相同时间内
10、两物块的位移大小相等，但斜面倾角不同，sin 30 sin 60 得：h 甲h 乙，即任意段时间内，乙增加的重力势能大于甲减少的重力势能，系统的重力势能是增加的，而系统动能不变，则系统的机械能也是增加的，故 A、B 错误；甲物块克服摩擦力所做的功 Wf mgs cos30，svt，故 Wft 图线为过原点的倾斜直线，同理 WFt 图线亦为过原点的直线，故 C 正确，D 错误。4(多选)如图所示，质量 m 1 kg 的物体从高为 h0.2 m 的光滑轨道上 P 点由静止开始下滑，滑到水平传送带上的 A 点，物体和传送带之间的动摩擦因数为 0.1，传送带 AB 之间的距离 为 l5.5 m，传送带
11、一直以 v3 m/s 的速度沿顺时针方向匀速转动，则()A物体由 A 运动到 B 的时间是 1.5 s B物体由 A 运动到 B 的过程中，摩擦力对物体的冲量大小为 1 Ns C物体由 A 运动到 B 的过程中，系统产生 0.5 J 的热量 D带动传送带转动的电动机在物体由 A 运动到 B 的过程中，多做了 3 J 功【答案】BCD 1【解析】物体下滑到 A 点的速度为 v0，由机械能守恒定律有 mv mgh，代入数据得 v02 0 2 2 vv0 vv0 m/s，物体在摩擦力作用下先做匀加速运动，后做匀速运动，有 t1 1 s，s1 t1 g 2 ls1 2.5 m，t2 1 s，tt1t2
12、2 s，选项 A 错误；物体由 A 运动到 B 的过程中，摩擦力对 v 物体的冲量大小为 Imgt11 Ns，选项 B 正 确；在 t1 时间内，传送带做匀速运动 s 带vt1 3 m，Qmg smg(s 带s1)，代入数据得 Q0.5 J，选项 C 正确；物体从 A 运动到 B 的过 1 1 程中，物体动能增量 Ek mv2 mv ，电动机多做的功为 W QEk3 J，选项 D 正确。2 0 2 2 5(多选)用细绳拴一个质量为 m 的小球，小球将一固定在墙上的水平轻质弹簧压缩了 x(小球 能的变化用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析例全国卷一物块在高长的斜面顶端从静止
13、恒物块与斜面间的动摩擦因数为物块下滑时加速度的大小为当物块下滑时机械能损失了答案解析下滑的过程中重力势势面则物块在斜面顶端时的重力势能可得质量下滑过程中由功能原理机械能的减量等于克服摩擦力做的功求得正确由Earlybird能的变化用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析例全国卷一物块在高长的斜面顶端从静止恒物块与斜面间的动摩擦因数为物块下滑时加速度的大小为当物块下滑时机械能损失了答案解析下滑的过程中重力势势面则物块在斜面顶端时的重力势能可得质量下滑过程中由功能原理机械能的减量等于克服摩擦力做的功求得正确由晨鸟教育 与弹簧不拴连)，如图所示。将细绳剪断后()kx m A小球立即
14、获得 的加速度 B小球落地的速度大于 2gh C小球落地的时间等于 2h g D小球在细绳剪断瞬间起开始做平抛运动【答案】BC F=(mg)(kx)2 2【解析】初态小球平衡，剪断绳后，小球合外力与绳中拉力等大反向，合(mg)(kx)2 2 a=m 所以加速度，A 错误；设初态弹簧的弹性势能为 Ep，根据机械能守恒得 1 E mgh mv2 P 2，速度大于 2gh，B 正确；小球被水平弹出后，只受重力做平抛运动，竖直 1 2h 方向 h gt2，运动时间 t，C 正确；小球在细绳剪断瞬间，仍受弹簧弹力，所以不是平 2 g 抛运动，D 错误。6(多选)用轻杆通过铰链相连的小球 A、B、C、D、
15、E 处于竖直平面上，各段轻杆等长，其中 小球 A、B 的质量均为 2m，小球 C、D、E 的质量均为 m。现将 A、B 两小球置于距地面高 h 处，由静止释放，假设所有球只在同一竖直平面内运动，不计一切摩擦，则在下落过程中()A小球 A、B、C、D、E 组成的系统机械能和动量均守恒 B小球 B 的机械能一直减小 C小球 B 落地时的速度大小为 2gh D当小球 A 的机械能最小时，地面对小球 C 的支持力大小为 mg【答案】CD【解析】小球 A、B、C、D、E 组成的系统机械能守恒但动量不守恒，故 A 错误；由于 D 球 能的变化用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析例全国
16、卷一物块在高长的斜面顶端从静止恒物块与斜面间的动摩擦因数为物块下滑时加速度的大小为当物块下滑时机械能损失了答案解析下滑的过程中重力势势面则物块在斜面顶端时的重力势能可得质量下滑过程中由功能原理机械能的减量等于克服摩擦力做的功求得正确由受力平衡，所以 D 球在整个过程中不会动，所以轻杆 DB 对 B 不做功，而轻杆 BE 对 B 先做 Earlybird能的变化用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析例全国卷一物块在高长的斜面顶端从静止恒物块与斜面间的动摩擦因数为物块下滑时加速度的大小为当物块下滑时机械能损失了答案解析下滑的过程中重力势势面则物块在斜面顶端时的重力势能可得质量下
17、滑过程中由功能原理机械能的减量等于克服摩擦力做的功求得正确由晨鸟教育 负功后做正功，所以小球 B 的机械能先减小后增加，故 B 错误；当 B 落地时小球 E 的速度等 1 于零，根据功能关系 mgh mv2 可知小球 B 的速度为 2gh，故 C 正确；当小球 A 的机械能最 2 小时，轻杆 AC 没有力，小球 C 竖直方向上的力平衡，所以支持力等于重力，故 D 正确。7如图所示为一个儿童电动小汽车的轨道传送接收装置，L1 m 的水平直轨道 AB 与半径均 为 0.4 m 的竖直光滑螺旋圆轨道(O、O 为圆心，C 为最高点)相切于 B，B 为第 2 个圆与水平轨 道的切点，O D 与 O B
18、的夹角为 60，接收装置为高度可调节的平台，EF 为平台上一条直线，OEF 在同一竖直平面内，装置切面图可抽象为如图所示模型。质量为 0.6 kg 的电动小汽车以 额定功率 P6 W 从起点 A 启动沿轨道运动，刚好能通过 C 点，之后沿圆弧从 B 运动至 D 点 后抛出，沿水平方向落到平台 E 点，小汽车与水平直轨道 AB 的动摩擦因数 0.2，其余轨道 均光滑。(空气阻力不计，g 取 10 m/s2，小汽车运动过程中可视为质点)(1)求电动机的工作时间；(2)要保证小汽车沿水平方向到达平台 E 点，求平台调节到的高度 H 和 EB 的水平位移 X。m【解析】(1)小汽车恰好能通过最高点 C
19、，有：mg v 2 C R 1 从 A 到 C 过程，由动能定理得：Pt mgL 2mgR mvC20 2 联立解得 t1.2 s 1 1(2)从 C 到 D 过程，由机械能守恒定律得：mg(R R sin 30)mvC2 mvD2 2 2 解得 vD4 m/s vDxvDsin 302 m/s vDyvDcos 302 3m/s 将从 D 到 E 的运动看成逆向平抛运动，有：vDygt 1 h gt2 2 xvDxt H hR(1 cos 60)X xR sin 60 能的变化用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析例全国卷一物块在高长的斜面顶端从静止恒物块与斜面间的动摩擦
20、因数为物块下滑时加速度的大小为当物块下滑时机械能损失了答案解析下滑的过程中重力势势面则物块在斜面顶端时的重力势能可得质量下滑过程中由功能原理机械能的减量等于克服摩擦力做的功求得正确由Earlybird能的变化用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析例全国卷一物块在高长的斜面顶端从静止恒物块与斜面间的动摩擦因数为物块下滑时加速度的大小为当物块下滑时机械能损失了答案解析下滑的过程中重力势势面则物块在斜面顶端时的重力势能可得质量下滑过程中由功能原理机械能的减量等于克服摩擦力做的功求得正确由晨鸟教育 解得：H 0.8 m，X 0.6 3m。8如图所示，竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道
21、 AB 与水平直轨道 BD 相切于 B 点，轨道 D 端固定一竖直挡板。圆弧轨道的圆心为 O、半径为 R，轨道 BC 段光滑且长度大于 2R，CD 段粗糙且长度为 R。质量均为 m 的 P、Q 两个小球用轻杆连接，从图示位置由静止释放，Q 球 3 与档板碰撞后反向弹回，每次碰撞后瞬间 P、Q 两球的总动能均为碰撞前瞬间的。Q 球第一 4 2 次反弹后，P 球沿轨道 AB 上升的最大高度为 R，重力加速度为 g。求：5(1)P 球第一次运动至 B 点时速度大小 v0 及此过程中轻杆对 Q 球所做的功 W；(2)Q 球与轨道 CD 间的动摩擦因数；(3)Q 球最终静止时与挡板间的距离 x。【解析】
22、(1)P 球第一次运动至 B 点过程中，对 P、Q 两球有：1 mgR 2mv02 2 所以：v0 gR P 球第一次运动至 B 点过程中，轻杆对 Q 球所做的功 1 1 W mv02 mgR。2 2(2)Q 球第一次运动至 D 点过程中，对 P、Q 球有：mgR mgR Ek Q 球与挡板碰撞后反向弹回，P 球沿轨道 AB 上升的最大高度过程中，有：2 3 mgR mgR Ek 5 4 联立可得 0.2。(3)Q 球第二次运动至 D 点过程中，对 P、Q 球有：1 2 5 mgR mgR mgR 5 3 1 mgx mgR 4 5 第二次碰后对 P、Q 球有：能的变化用除重力和弹簧的弹力之外
23、的其他力做功与机械能变化的关系分析例全国卷一物块在高长的斜面顶端从静止恒物块与斜面间的动摩擦因数为物块下滑时加速度的大小为当物块下滑时机械能损失了答案解析下滑的过程中重力势势面则物块在斜面顶端时的重力势能可得质量下滑过程中由功能原理机械能的减量等于克服摩擦力做的功求得正确由 3 解得：x R。4 Earlybird能的变化用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析例全国卷一物块在高长的斜面顶端从静止恒物块与斜面间的动摩擦因数为物块下滑时加速度的大小为当物块下滑时机械能损失了答案解析下滑的过程中重力势势面则物块在斜面顶端时的重力势能可得质量下滑过程中由功能原理机械能的减量等于克服
24、摩擦力做的功求得正确由晨鸟教育 9如图所示轻弹簧一端固定在水平面上的竖直挡板上，处于原长时另一端位于水平面上 B 点 处，B 点左侧光滑，右侧粗糙。水平面的右侧 C 点处有一足够长的斜面与水平面平滑连接，斜面倾角为 37，斜面上有一半径为 R 1 m 的光滑半圆轨道与斜面切于 D 点，半圆轨道的最 高点为 E，G 为半圆轨道的另一端点，LBC2.5 m，A、B、C、D、E、G 均在同一竖直面内。使质量 m 0.5 kg 的小物块 P 挤压弹簧右端至 A 点，然后由静止释放 P，P 到达 B 点时立即受 到斜向右上方，与水平方向的夹角为 37，大小为 F5 N 的恒力，一直保持 F 对物块 P
25、的作 用，结果 P 通过半圆轨道的最高点 E 时的速度为 vE 10m/s。已知 P 与水平面斜面间的动摩 擦因数均为 0.5，g 取 10 m/s2，sin 370.6，求：(1)P 运动到 E 点时对轨道的压力大小；(2)弹簧的最大弹性势能；(3)若其他条件不变，增大 B、C 间的距离使 P 过 G 点后恰好能垂直落在斜面上，求 P 在斜面 上的落点距 D 点的距离。【解析】(1)P 在半圆轨道的最高点 E，设轨道对 P 的压力为 FN，由牛顿运动定律得：v 2 mg F sin 37 F m E N R 解得：FN3 N 由牛顿第三定律得，P 运动到 E 点时对轨道的压力 FN 3 N。
26、(2)P 从 D 点到 E 点，由动能定理得：1 1 mgR(1 cos37)FR sin 37 mv2 mv2 E D 2 2 解得：34 m/s v D P 从 C 点到 D 点，由牛顿运动定律得：Fmg sin 37mg cos 37ma1 解得 a10，说明 P 从 C 点到 D 点匀速运动，故 34 m/s v v C D 由能的转化和守恒得：1 E FL cos37 (mg F sin 37)L mv 2 pm BC BC C 2 解得：Epm1 J。能的变化用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析例全国卷一物块在高长的斜面顶端从静止恒物块与斜面间的动摩擦因数为物
27、块下滑时加速度的大小为当物块下滑时机械能损失了答案解析下滑的过程中重力势势面则物块在斜面顶端时的重力势能可得质量下滑过程中由功能原理机械能的减量等于克服摩擦力做的功求得正确由(2)P 在 G 点脱离圆轨道，做曲线运动，把该运动分解为平行于斜面的匀减速直线运动和垂直 Earlybird能的变化用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析例全国卷一物块在高长的斜面顶端从静止恒物块与斜面间的动摩擦因数为物块下滑时加速度的大小为当物块下滑时机械能损失了答案解析下滑的过程中重力势势面则物块在斜面顶端时的重力势能可得质量下滑过程中由功能原理机械能的减量等于克服摩擦力做的功求得正确由晨鸟教育
28、于斜面的初速度为零的匀加速直线运动，有：Fmg sin 37ma3，mg cos 37ma4 解得：a34 m/s2，a48 m/s2 P 垂直落在斜面上，运动时间满足：1 2R a t 2 4 2 平行于斜面方向上：0vGa3t 联立解得：vG2 2m/s v 0 x t 1 G 2 平行于斜面方向上：m 即 P 在斜面上的落地距 D 的距离 x1 m。Earlybird 能的变化用除重力和弹簧的弹力之外的其他力做功与机械能变化的关系分析例全国卷一物块在高长的斜面顶端从静止恒物块与斜面间的动摩擦因数为物块下滑时加速度的大小为当物块下滑时机械能损失了答案解析下滑的过程中重力势势面则物块在斜面顶端时的重力势能可得质量下滑过程中由功能原理机械能的减量等于克服摩擦力做的功求得正确由