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1、教育资源 教育资源 二年级奥数知识点：整数的分拆 例 1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏，见下图所示.他们每人打了两发子弹.小兵共打中 6 环，小军共打中 5 环.又知没有哪两发子弹打到同一环带内，并且弹无虚发.你知道他俩打中的都是哪几环吗?解：已知小兵两发子弹打中 6 环，要求每次打中的环数，可将 6 分拆 6=1+5=2+4;同理，要求小军每次打中的环数，可将5 分拆 5=1+4=2+3.由题意：没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发，只可能是：小兵打中的是 1 环和 5 环，小军打中的是 2 环和 3 环.例2 某个外星人来到地球上，随身带有本星球上的硬币1分、2 分、4 分、8 分各一
2、枚，如果他想买 7 分钱的一件商品，他应如何付款?买 9 分、10 分、13 分、14 分和 15 分的商品呢?他又将如何付款?解：这道题目的实质是要求把 7、9、10、13、14、15 各数按 1、2、4、8 进行分拆.7=1+2+4 9=1+8 10=2+8 13=1+4+8 14=2+4+8 教育资源 教育资源 15=1+2+4+8 外星人可按以上方式付款.例 3 有人以为 8 是个吉利数字，他们得到的东西的数量都能要够用 8 表示才好.现有 200 块糖要分发给一些人，请你帮助想一个吉利的分糖方案.解：可以这样想：因为 200 的个位数是 0，又知只有 5 个 8相加才能使和的个位数字
3、为 0，这就是说，可以把 200 分成5 个数，每个数的个位数字都应是 8.这样由 85=40 及 200-40=160，可知再由两个 8 作十位数字可得 802=160 即可.最后得到下式：88+88+8+8+8=200.例 4 试将100 以内的完全平方数分拆成从 1开始的一串奇数之和.解：1=11=12=1(特例)4=22=22=1+3 9=33=32=1+3+5 16=44=42=1+3+5+7 25=55=52=1+3+5+7+9 36=66=62=1+3+5+7+9+11 49=77=72=1+3+5+7+9+11+13 64=88=82=1+3+5+7+9+11+13+15 教育
4、资源 教育资源 81=99=92=1+3+5+7+9+11+13+15+17 100=1010=102=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19.观察上述各式，可得出如下猜想：一个完全平方数可以写成从 1 开始的若干连续奇数之和，这个平方数就等于奇数个数的自乘积(平方).检验：把 1111=121，和 1212=144，两个完全平方数分拆，看其是否符合上述猜想.121=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21 144=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23 结论:上述猜想对 121 和 144 两个完全平方数是正确的.例 5 从 19 九个数中选取，
5、将 11 写成两个不同的自然数之和，有多少种不同的写法?解：将 19 的九个自然数从小到大排成一列：1，2，3，4，5，6，7，8，9.分析 先看最小的 1 和最大的 9 相加之和为 10 不符合要求.但用次大的 2 和最大的 9 相加，和为 11 符合要求，得 11=2+9.逐个做下去，可得 11=3+8，11=4+7，11=5+6.教育资源 教育资源 可见共有 4 种不同的写法.例 6 将 12 分拆成三个不同的自然数相加之和，共有多少种不同的分拆方式，请把它们一一列出.解：可以做如下考虑：若将 12 分拆成三个不同的自然数之和，三个数中最小的数应为 1，其次是 2，那么第三个数就应是 9
6、 得：12=1+2+9.下面进行变化，如从 9 中取 1 加到 2 上，又得 12=1+3+8.继续按类似方法变化，可得下列各式：12=1+4+7=2+3+7，12=1+5+6=2+4+6.12=3+4+5.共有 7 种不同的分拆方式.例 7 将 21 分拆成四个不同的自然数相加之和，但四个自然数只能从 19 中选取，问共有多少种不同的分拆方式，请你一一列出.解：也可以先从最大的数 9 考虑选取，其次选 8，算一算教育资源 教育资源 21-(9+8)=4，所以接着只能选 3 和 1.这样就可以得出第一个分拆式：21=9+8+3+1，以这个分拆式为基础按顺序进行调整，就可以得出所有的不同分拆方式：21=7+6+5+3以 7 开头的分拆方式有 1 种 共有 11 种不同的分拆方式.例 8 从 112 这十二个自然数中选取，把 26 分拆成四个不同的自然数之和.26=8+7+6+5以 8 开头的分拆方式共 1 种不同的分拆方式总数为：10+10+8+4+1=33种.总结：由例 4 明显看出，欲求出所有的不同的分拆方式，必须使分拆过程按一定的顺序进行.