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1、 2018 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理工类）第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1若集合 2 A x x，2,0,1,2 B x，则A B I（A）0 1，（B）-1 0 1，（C）-2 0 1，（D）-1 0 1 2，2.在复平面内，复数i1 i 的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 3执行如图所示的程序框图，输出的 s 值为（）A12 B56 C76 D712 4“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计
2、算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2 若第一个单音的频率为 f，则第八个单音的频率为（）A 3 2 f B 3 22 f C 12 52 f D12 72 f 5某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）A 1 B 2 C 3 D 4 6.设 a b,均为单位向量，则“3 3 a b a b”是“a b”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 7.在平面直角坐标系中，记d为点 P
3、 cos,sin 到直线2 0 x my 的距离.当,m 变化时，d的最大值为（A）1（B）2（C）3（D）4 8.设集合,|1,4,2 A x y x y ax y x ay，则 A 对任意实数 a，2,1 A B 对任意实数 a，2,1 A C 当且仅当 0 a 时，2,1 A D 当且仅当32a 时，2,1 A 二.填空（9）设 na是等差数列，且13 a，2 536 a a，则 na的通项公式为。（10）在极坐标系中，直线cos sin(0)a a 与圆2cos 相切，则a。（11）设函数 cos6f x x 0。若 4f x f 对任意的实数x都成立，则的最小值为。（12）若,x y
4、 满足1 2 x y x，则2 y x 的最小值是。（13）能说明“若 0 f x f 对任意的 0,2 x都成立，则 f x在 0,2上是增函数”为假命题的一个函数是。（14）已知椭圆 2 22 2:1 0 x yM a ba b，双曲线2 22 2:1x yNm n。若双曲线 N 的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为；双曲线 N 的离心率为。三解答题（15）（本小题 13 分）在 ABC中，a 7，8 b，1cos7B。（）求 A；（）求 AC 边上的高。（16）（本小题 14 分）如图，在三棱柱1 1 1ABC A B C
5、 中，1CC 平面 ABC,D,E,F,G 分别为1AA,AC,1 1A C,1BB 的中点，5 AB BC,12 AC AA.（I）求证：AC 平面 BEF;（II）求二面角1B CD C 的余弦值；（III）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交.（16）（本小题 12 分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值 假设所有电影是否获得好评相互独立
6、（1）从电影公司收集的电影中随机选取 1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1部，估计恰有 1部获得好评的概率；（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k”表示第 k 类电影得到人 们 喜 欢，“0k”表 示 第 k 类 电 影 没 有 得 到 人 们 喜 欢（1,2,3,4,5,6 k）.写 出 方 差5 61 2 3 4,D D D D D D 的大小关系（18）（本小题 13 分）设函数 24 1 4 3 exf x ax a x a，（1）若曲线 y f x 在点 1,1 f 处的切线方程与 x 轴平行
7、，求 a；（2）若 f x 在 2 x 处取得极小值，求 a 的取值范围（19）（本小题 14 分）已知抛物线2:2 C y px 经过点 1,2 P 过点 0,1 Q 的直线 l 与抛物线 C 有两个 不同的交点 A，B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N（1）求直线 l 的斜率的取值范围；（2）设 O为原点，QM QO，QN QO，求证：1 1 为定值 20.（本小题 14 分）设 n 为 正 整 数，集 合 1 2|,.,0,1,1,2,.,n kA t t t t k n.对 于 集 合 A 中 的 任 意 元 素 1 2,.,nx x x 和 1 2,.,n
8、y y y，记 1 1 1 1 2 2 2 21,.2n n n nM x y x y x y x y x y x y I 当 3 n 时，若 1,1,0,0,1,1，求,M 和,M 的值；II 当 4 n 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素,，当,相同时，,M 是奇数；当,不同时，,M 是偶数.求集合 B 中元素个数的最大值；III 给定不小于 2 的 n，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素,，,0 M.写出一个集合 B，使其元素个数最多，并说明理由.答案：一.选择题 1.【答案】A 2.【答案】D 1 1 i 1 i 1 1i1 i(1
9、 i)(1 i)2 2 2z，则1 i2 2z，故11 i 的共轭复数在第四象限，故选 D 3.【答案】B【解析】根据程序框图可知，开始 1 k，1 s，执行 11 11 11 1 2s，2 k，此时 3 k 不成立，循环，21 1 512 1 2 6s，3 k，此时 3 k 成立，结束，输出56s 故选 B 4.【答案】D【解析】根据题意可得，此十三个单音形成一个以 f 为首项，12 2 为公比的等比数列，故第八个单音的频率为 8 112 7 12 2 2 f f 故选 D 5.【答案】C【解析】由三视图可知，此四棱锥的直观图如图所示，在正方体中，PAD,PCD,PAB 均为直角三角形，3
10、PB,5 BC,2 2 PC，故 PBC 不是直角三角形 故选 C 6.【答案】C【解析】充分性：|3|3|a b a b，2 2 2 2|6 9|9|6|a a b b a a b b，又|1 a b，可得 0 a b，故 a b.必要性：a b，故 0 a b，所以2 2 2 2|6 9|9|6|a a b b a a b b，所以|3|3|a b a b 7.【答案】C【解析】：P cos,sin，所以P点的轨迹是圆。直线2 0 x my 恒过 0,2点。转化为圆心到直线的距离加上半径取到最大值，所以答案为 3.8.【答案】：D 【解析】：若 2,1 A，则2 1 032 1 422 2
11、a aa。则当32a 时，2,1 A；当32a 时，2,1 A 选 D 二.填空题 9答案：6 3na n n N 解析：由题知，设等差数列公差为d，所以：12 15 134aa a da a d，即11 13+4=36aa d a d，解得13=6ad，所以 1=1 6 3na a n d n n N。10 答案：1 2 解析：cos sin a 直线方程转化为x y a 即0 x y a 2cos 22 cos 圆的方程转化为2 22 x y x 即2 2(1)1 x y、直线与圆相切 112a 解得1 2 a 0 a 1 2 a 11.答案：23 解析：由题知：max14f x f，即c
12、os 14 6，所以 24 6k k Z，解得:2=83k k Z，0，所以0 k 时，min23。12答案：3 解析：将不等式转换成线性规划，即 121x yy xx 目标函数2 z y x 如右图z在A(1,2)处取最小值 min3 z 13.答案：23 f x x x，答案不唯一 解析：函数需要满足在 0,2上的最小值为 0 f，并且在 0,2上不单调。选取开口向下，对称轴在 0,2上的二次函数均可，其余正确答案也正确。14.【答案】：3 1，2【解析】：设正六边形边长为 t；根据椭圆的定义 2 3 1 a t，2 2 c t，3 1cea 椭圆 双曲线的渐近线方程为 3 y x，3ba
13、，所以=2cea双曲线。三.解答题 15.【解析】（）ABC中，1cos7B，所以 B 为钝角，24 3sin 1 cos7B B；由正弦定理：sin sina bA B，所以sinB 3sin2aAb，所以 2,3A k k Z；或者 22,3A k k Z；又 ABC中，B 为钝角，所以 A 为锐角，所以3A。（）ABC中，1 3 3 3sin sin(=sin+=sin cos3 2 2 14C A B B B）（）B+，三角形 ABC 的面积1sin 6 32ABCS ab C，设 AC 边上的高为 h，1 18 6 32 2ABCS bh h，所以3 32h，即 AC 边上的高为3
14、32。16.【解析】（I）证明：AB BC，且 E 是 AC 的中点，AC BE,在三棱柱1 1 1ABC A B C 中，E,F 分别是 AC,1 1A C 的中点，1EF CC 1CC 平面 ABC，EF 平面 ABC,AC 平面 ABC，EF AC,EF,BE 平面 BEF,E F B E E AC 平面 BEF.（II）由（I）知，EF AC，AC BE，EF EB,以 E 为原点，EA,EB,EF 分别为 x 轴，y 轴，z轴 建立如图所示空间直角坐标系，则有，0,2,0 B,1,0,0 C,1,0,1 D,11,0,2 C 1,2,0 BC，2,0,1 CD 设平面 BCD 的法向
15、量,z n x y，00BC nCD n,即2 02 0 x yx z，2,1,4 n，.易知平面1CDC 法向量 0,1,0 m 1 21cos,2121 1m nm nm n，由图可知，二面角1B CD C 的平面角为钝角，二面角1B CD C 的余弦值2121.（III）方法一：0,0,2 F,0,2,1 G,0,2,1 FG 平面 BCD 的法向量 2,1,4 n，设直线 FG 与平面 BCD 的夹角为，2 42sin cos,05 21 5 21FG nFG nFG n，0 直线 FG 与平面 BCD 相交.方法二：假设直线 FG 与平面 BCD 平行，设 CD 与 EF 的交点为
16、M,连结 BM，FG 平面1BB FE,且平面1BB FE 平面 BCD BM,FG BM,BG FM,四边形 BMFG 为平行四边形，FM BG,易知 FM BG，假设不成立，直线 FG 与平面 BCD 相交.17.【解析】（1）由表格可知电影的总部数 140 50 300 200 800 510 2000 获得好评的第四类电影 200 0.25 50 设从收集的电影中选 1部，是获得好评的第四类电影为事件 A,则50 1()2000 40P A（2）由表格可得获得好评的第五类电影 800 0.2 160 第五类电影总数为 800 未获得好评的第五类电影 800 160 640 第四类电影总
17、数为 200 未获得好评的第四类定影 200 50 150 设从第四类电影和第五类电影中各随机选取 1部，估计恰有 1部获得好评为事件 B 则1 1 1 150 640 150 1601 1200 80017()100C C C CP BC C（3）51 4 2 3 6D D D D D D 18.【解析】（1）函数定义域为 x R，2()2 4 1 e 4 1 4 3 ex xf x ax a ax a x a 2e 2 1 2xax a x e 1 2xax x，若函数在 1,1 f 处切线与 x 轴平行，则 1 e 1 0 f a，即 1 a（2）由（1）可知 22 1 2 e 2 1
18、ex xf x ax a x x ax，当 0 a 时，令 0 f x，2 x，x,2 2 2,f x 0 f x Z 极大值 不满足题意；当 0 a 时，令 0 f x，2 x 或1xa，当 0 a 时，即12a，x 1,a 1a 1,2a 2 2,f x 0 f x 极小值 Z 极大值 不满足题意；当 0 a 时，1）当12a，即12a 时，0 f x，函数 f x 无极值点；2）当12a，即12a 时，x 1,a 1a 1,2a 2 2,f x 0 f x Z 极大值 极小值 Z 满足题意；3）当12a，即102a 时，x,2 2 12,a 1a 1,a f x 0 f x Z 极大值
19、极小值 Z 不满足题意 综上所述，若 f x 在 2 x 处取得极小值，12a 19.【解析】（1）由已知可得 4 2 p，所以抛物线 C 的方程为24 y x 令1 1(,)A x y，2 2(,)B x y，直线 l 显然不能与 x 轴垂直，令其方程为 1 y kx，带入24 y x 整理得214yy k，即 24 4 0 ky y 所以由已知可得016 16 0kk，解得 1 k 且 0 k 所以直线 l 的斜率 k 的取值范围为,0 0,1（2）由（1）知1 24y yk，1 24y yk 而点1 1(,)A x y，2 2(,)B x y 均在抛物线上，所以2114yx，2224yx
20、 因为直线 PA 与直线 PB 与 y 轴相交，则直线 PA 与直线 PB 的斜率均存在，即12 y，22 y 因为 1 1 12 21 1 1 12 2 4(2)41 4 214PAy y yky x y y，所以直线 PA 的方程为142(1)2y xy，令 0 x，可得 11 12 422 2Myyy y，即 112(0,)2yMy 同理可得 212(0,)2yNy 而由 QM QO 可得，11212yy，所以 112 12yy 同理由 QN QO 可得，22212yy，所以 222 12yy 所以 1 2 1 2 2 11 2 1 22 2(2)(2)(2)(2)1 12 2(2)(2
21、)y y y y y yy y y y 1 21 2 1 28 88 88 224 4 44 2()4 2 4y yk ky y y yk k k 20.【解析】解：（）(1,1,0),(0,1,1)1(,)(1 1|1 1|)(1 1|1 1|)(0 0|0 0|)212 2 0 22M 1(,)(1 0|1 0|)(1 1|1 1|)(0 1|0 1|)210 2 0 12M（）,0,1 i ix y Q 0,0|2,=1i i i ii i i ii ix y x yx y x yx y 或 4 n，因为(,)M 为奇数，则 有 1 项或 3 项为 1，其余为 0，所以理论上元素个数最多
22、有1 34 48 C C 个。因为(,)M 为偶数(,)不同，则两者同为 1 的项数为 0 或者 2（若为 4，则 与 相同）。综上，最大个数为 4，(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)B 或者(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)B。易知以上两种情况都可以满足题意，且一种情况集合中的元素与另一种情况集合中的元素结合，不满足题意，故最大个数为 4.（）由（）可知，任两不同的元素 与 满足(,)0 M，则 与 无同一位置同为 1.元素个数最大为 1 n,(0,0,.,0),(1,0,.,0),(0,1,.,0),.,(0,0,.,1)B