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1、11.3 11.3 变量间的相关关系变量间的相关关系要点梳理要点梳理1.1.两个变量的线性相关两个变量的线性相关 （1 1）正相关）正相关 在散点图中，点散布在从在散点图中，点散布在从 到到 的区的区 域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称 为正相关为正相关.（2 2）负相关）负相关 在散点图中，点散布在从在散点图中，点散布在从 到到 的区的区 域，两个变量的这种相关关系称为负相关域，两个变量的这种相关关系称为负相关.左下角左下角右上角右上角左上角左上角右下角右下角基础知识基础知识 自主学习自主学习 （3 3）线性相关关系、回归直线）线性相关关系、
2、回归直线 如果散点图中点的分布从整体上看大致在如果散点图中点的分布从整体上看大致在 ，就就称称这这两两个个变变量量之之间间具具有有线线性性相相关关关关系，这条直线叫做回归直线系，这条直线叫做回归直线.2.2.回归方程回归方程 （1 1）最小二乘法）最小二乘法 求回归直线使得样本数据的点到它的求回归直线使得样本数据的点到它的 的方法叫做最小二乘法的方法叫做最小二乘法.一条直线一条直线附近附近距离的平方和距离的平方和最小最小（2 2）回归方程）回归方程方程方程y y=是两个具有线性相关关系的变量的是两个具有线性相关关系的变量的一组数据（一组数据（x x1 1,y y1 1）,(,(x x2 2,y
3、 y2 2),),(,(x xn n,y yn n)的回归方的回归方程，其中程，其中 ,是待定参数是待定参数.=.基础自测基础自测1.1.下列关系中，是相关关系的为下列关系中，是相关关系的为（）学生的学习态度与学习成绩之间的关系；学生的学习态度与学习成绩之间的关系；教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系.A.B.C.D.A.B.C.D.A2.2.设设有有一一个个回回归归方方程程为为 =3-5=3
4、-5x x,变变量量x x增增加加一一个个单单位时位时（）A.A.y y平均增加平均增加3 3个单位个单位B.B.y y平均减少平均减少5 5个单位个单位 C.C.y y平均增加平均增加5 5个单位个单位D.D.y y平均减少平均减少3 3个单位个单位 B3.3.在在一一次次实实验验中中，测测得得（x x,y y）的的四四组组值值为为（1 1，2 2），（2 2，3 3），（3 3，4 4），（4 4，5 5）,则则y y与与x x之之间间的的回回归归直直线线方方程程为为（）A.=A.=x x+1 B.=+1 B.=x x+2+2 C.=2 C.=2x x+1 D.=+1 D.=x x-1-1
5、 A4.4.有关线性回归的方法，不正确的是有关线性回归的方法，不正确的是（）A.A.相关关系的两个变量是非确定关系相关关系的两个变量是非确定关系 B.B.散点图能直观地反映数据的相关程度散点图能直观地反映数据的相关程度 C.C.回回归归直直线线最最能能代代表表线线性性相相关关的的两两个个变变量量之之间间的关系的关系 D.D.散散点点图图中中的的点点越越集集中中，两两个个变变量量的的相相关关性性越越强强 D5.5.已知回归直线的斜率的估计值是已知回归直线的斜率的估计值是1.231.23，样，样本点的中心为（本点的中心为（4 4，5 5），则回归直线的回），则回归直线的回归方程是（归方程是（）A.
6、=1.23A.=1.23x x+4+4B.=1.23B.=1.23x x+5+5 C.=1.23 C.=1.23x x+0.08 +0.08 D.=0.08D.=0.08x x+1.23+1.23C题型一题型一 利用散点图判断两个变量的相关性利用散点图判断两个变量的相关性【例例1 1】山山东东鲁鲁洁洁棉棉业业公公司司的的科科研研人人员员在在7 7块块并并排排、形形状状大大小小相相同同的的试试验验田田上上对对某某棉棉花花新新品品种种进进行行施施化化肥肥量量x x对对产产量量y y影影响响的的试试验验，得得到到如如下下表表所所示示的的一一组数据（单位：组数据（单位：kg).kg).（1 1）画出散
7、点图；）画出散点图；（2 2）判断是否具有相关关系）判断是否具有相关关系.施化肥施化肥量量x x 15 15 202025253030353540404545棉花产棉花产量量y y 330330 345345365365405405445445450450455455题型分类题型分类 深度剖析深度剖析思维启迪思维启迪 （1 1）用）用x x轴表示化肥施用量，轴表示化肥施用量，y y轴表示棉轴表示棉花产量，逐一画点花产量，逐一画点.（2 2）根据散点图，分析两个变量是否存在相关关系）根据散点图，分析两个变量是否存在相关关系.解解 （1 1）散点图如图所示）散点图如图所示知知能能迁迁移移1 1 科
8、科研研人人员员为为了了全全面面掌掌握握棉棉花花新新品品种种的的生生产产情情况况，查查看看了了气气象象局局对对该该地地区区年年降降雨雨量量与与年年平平均均气气温温的的统统计计数数据据（单单位位分分别别是是mm,)mm,)，并并作作了了统计统计.年平年平均气均气温温 12.5112.5112.8412.8412.8412.8413.6913.6913.3313.3312.7412.7413.0513.05年降年降雨量雨量 748748542542507507813813574574701701432432（1 1）试画出散点图；）试画出散点图；（2 2）判断两个变量是否具有相关关系）判断两个变量是
9、否具有相关关系.解解 （1 1）作出散点图如图所示，）作出散点图如图所示，(2)(2)由散点图可知，各点并不在一条直线附近，由散点图可知，各点并不在一条直线附近，所以两个变量是非线性相关关系所以两个变量是非线性相关关系.题型二题型二 求回归直线方程求回归直线方程【例例2 2】（1212分分）随随着着我我国国经经济济的的快快速速发发展展，城城乡乡居居民民的的生生活活水水平平不不断断提提高高，为为研研究究某某市市家家庭庭平平均均收收入入与与月月平平均均生生活活支支出出的的关关系系，该该市市统统计计部部门门随随机机调查了调查了1010个家庭，得数据如下：个家庭，得数据如下：家庭家庭编号编号 1 12
10、 23 34 45 56 67 78 89 91010 x xi i（收入）（收入）千元千元 0.80.81.11.11.31.31.51.51.51.51.81.82.02.02.22.22.42.42.82.8y yi i（支出）（支出）千元千元 0.70.71.01.01.21.21.01.01.31.31.51.51.31.31.71.72.02.02.52.5（1 1）判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关？）判断家庭平均收入与月平均生活支出是否相关？（2 2）若二者线性相关，求回归直线方程）若二者线性相关，求回归直线方程.思维启迪思维启迪 利用散点图观察收入利用散点图观察收入x
11、x和支出和支出y y是否线性是否线性相关，若呈线性相关关系，可利用公式来求回归系相关，若呈线性相关关系，可利用公式来求回归系数，然后获得回归直线方程数，然后获得回归直线方程.解解 （1 1）作出散点图：）作出散点图：4 4分分观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所观察发现各个数据对应的点都在一条直线附近，所以二者呈线性相关关系以二者呈线性相关关系.6 6分分（2 2）(0.8+1.1+1.3+1.5+1.5+1.8+2.0+2.2+2.4(0.8+1.1+1.3+1.5+1.5+1.8+2.0+2.2+2.4+2.8)=1.74,+2.8)=1.74,(0.7+1.0+1.2+1.0+1
12、.3+1.5+1.3+1.7+2.0+2.5)(0.7+1.0+1.2+1.0+1.3+1.5+1.3+1.7+2.0+2.5)=1.42=1.42，8 8分分 =1.42-1.74=1.42-1.740.813 60.004 30.813 60.004 3，1111分分回归方程回归方程 =0.813 6=0.813 6x x+0.004 3.12+0.004 3.12分分题型三题型三 利用回归直线方程对总体进行估计利用回归直线方程对总体进行估计【例例3 3】某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：月份月份 产量产量(千件千件)单位成本（元）单位成本（元
13、）1 12 273732 23 372723 34 471714 43 373735 54 469696 65 56868（1 1）求出线性回归方程；）求出线性回归方程；（2 2）指出产量每增加）指出产量每增加1 0001 000件时，单位成本平均变件时，单位成本平均变动多少？动多少？（3 3）假定产量为）假定产量为6 0006 000件时，单位成本为多少元？件时，单位成本为多少元？解解 （1 1）n n=6=6，=71+1.82=71+1.823.5=77.37.3.5=77.37.回归方程为回归方程为 =77.37-1.82=77.37-1.82x x.（2 2）因为单位成本平均变动）因为
14、单位成本平均变动 =-1.82=-1.820,0,且产量且产量x x的计量单位是千件的计量单位是千件,所以根据回归系数所以根据回归系数b b的意义有的意义有:产量每增加一个单位即产量每增加一个单位即1 0001 000件时件时,单位成本平均减单位成本平均减少少1.821.82元元.(3)(3)当产量为当产量为6 0006 000件时件时,即即x x=6,=6,代入回归方程，代入回归方程，得得 =77.37-1.82=77.37-1.826=66.456=66.45（元）（元）当产量为当产量为6 0006 000件时，单位成本为件时，单位成本为66.4566.45元元.利用线性回归方程可以进行预
15、测，线性利用线性回归方程可以进行预测，线性回归方程将部分观测值所反映的规律进行延伸，是回归方程将部分观测值所反映的规律进行延伸，是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制,依据自变量的取值估计和预报因变量值的基础和依依据自变量的取值估计和预报因变量值的基础和依据，有广泛的应用据，有广泛的应用.探究提高探究提高知能迁移知能迁移3 3 某产品的广告支出某产品的广告支出x x（单位：万元（单位：万元)与销与销 售收入售收入y y（单位：万元）之间有下表所对应的数据：（单位：万元）之间有下表所对应的数据：广告支出广告支出x x(单位：万元单位：万元)1
16、12 23 34 4销售收入销售收入y y(单位：万元单位：万元)1212282842425656（1 1）画出表中数据的散点图；）画出表中数据的散点图；（2 2）求出）求出y y对对x x的回归直线方程；的回归直线方程；（3 3）若广告费为）若广告费为9 9万元，则销售收入约为多少万元？万元，则销售收入约为多少万元？解解 （1 1）作出的散点图如图所示）作出的散点图如图所示（2 2）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附）观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下表：近，列出下表：序号序号 x xy yx x2 2xyxy1 11 112121 112122 22 228284 456
17、563 33 342429 91261264 44 45656161622422410101381383030418418故故y y对对x x的回归直线方程为的回归直线方程为（3 3）当）当x x=9=9时，时，故当广告费为故当广告费为9 9万元时，销售收入约为万元时，销售收入约为129.4129.4万元万元.2.2.已知变量已知变量x x,y y呈线性相关关系，回归方程为呈线性相关关系，回归方程为 =0.5+=0.5+2 2x x,则变量则变量x x,y y是是（）A.A.线性正相关关系线性正相关关系 B.B.由回归方程无法判断其正负相关由回归方程无法判断其正负相关 C.C.线性负相关关系线
18、性负相关关系 D.D.不存在线性相关关系不存在线性相关关系 解析解析 随着变量随着变量x x增大，变量增大，变量y y有增大的趋势，则有增大的趋势，则x x、y y称为正相关，则称为正相关，则A A是正确的是正确的.A3.3.下下表表是是某某厂厂1 1 4 4月月份份用用水水量量（单单位位：百百吨吨）的的一一组组数据：数据：月份月份x x 1 12 23 34 4用水量用水量y y 4.54.54 43 32.52.5由散点图可知，用水量由散点图可知，用水量y y与月份与月份x x之间有较好的线性之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是相关关系，其线性回归直线方程是则则 等于等于(）A.
19、10.5A.10.5B.5.15B.5.15C.5.2C.5.2D.5.25D.5.25解析解析 =2.5=2.5，=3.5=3.5，回归直线方程过定点回归直线方程过定点3.5=-0.73.5=-0.72.5+.=5.25.2.5+.=5.25.D5.5.对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程 中，回归系数中，回归系数（）A.A.可以小于可以小于0 0 B.B.大于大于0 0 C.C.能等于能等于0 0 D.D.只能小于只能小于0 0 解析解析 因为因为 =0=0时，时，r r=0=0，这时不具有线性相关关，这时不具有线性相关关 系，但系，但
20、能大于能大于0 0也能小于也能小于0.0.A6.6.下下表表是是x x与与y y之之间间的的一一组组数数据据，则则y y关关于于x x的的回回归归方方程程 必过必过 （）A.A.点（点（2 2，2 2）B.B.点（点（1.51.5，2 2）C.C.点（点（1 1，2 2）D.D.点（点（1.51.5，4 4）Dx x0 01 12 23 3y y1 13 35 57 7二、填空题二、填空题7.7.人的身高与手的扎长存在相关关系，且满足人的身高与手的扎长存在相关关系，且满足 =0.303=0.303x x-31.264(-31.264(x x为为身身高高，y y为为扎扎长长，单单位位:cm):c
21、m)，则当扎长为则当扎长为24.8 cm24.8 cm时，身高为时，身高为 cm.cm.解析解析 将将y y=24.8=24.8代入，得代入，得x x=185.03(cm).=185.03(cm).185.03185.038.8.已已知知三三点点（3 3，1010），（7 7，2020），（1111，2424）的的横横坐坐标标x x与与纵纵坐坐标标y y具具有有线线性性关关系系，则则其其线线性性回回归归方方程是程是 .解析解析 线性回归方程过点（线性回归方程过点（,）,18=,18=回归方程为回归方程为y y=9.9.某某单单位位为为了了了了解解用用电电量量y y度度与与气气温温x x之之间间的的关关系系，随随机机统统计计了了某某4 4天天的的用用电电量量与与当当天天气气温温，并并制制作作了了对照表：对照表：由由表表中中数数据据得得线线性性回回归归方方程程 中中 =-2,=-2,预预测测当气温为当气温为-4-4时，用电量的度数约为时，用电量的度数约为 .气温（气温（）18 18 13 13 1010-1-1用电量（度）用电量（度）24 24 34 34 38 38 64 64 6868