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1、 初二分式方程的应用专题及分式方程复习讲义教师版 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 教 学 内 容 T 同步：分式方程应用题分类讲解 一、【行程中的应用性问题】【例 1】甲、乙两个车站相距 96 千米，快车和慢车同时从甲站开出，1 小时后快车在慢车前 12 千米，快车比慢车早 40 分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？分析：所行距离 速度 时间 快车 96 千米 x 千米/小时 慢车 96 千米（x-12）千米/小时 等量关系：慢车用时-快车用时=（小时）【例 2】甲、乙两地相距 828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速
2、度是普通快车平均速度的 1.5 倍直达快车比普通快车晚出发 2h，比普通快车早 4h 到达乙地，求两车的平均速度 解：设普通快车车的平均速度为xkmh，则直达快车的平均速度为 1.5xkmh，依题意，得 xx6828=x5.1828，解得46x，经检验，【例 3】A、B 两地相距 87 千米，甲骑自行车从 A 地出发向 B 地驶去，经过 30 分钟后，乙骑自行车由 B 地出发，用每小时比甲快 4 千米的速度向 A 地驶来，两人在距离 B 地 45 千米 C 处相遇，求甲乙的速度。分析：等量关系：甲用时间=乙用时间+（小时）【例 4】一队学生去校外参观他们出发 30 所行距离 速度 时间 甲（8
3、7-45）千米 x 千米/小时 乙 45 千米（x+4）千米/小时 96x9612x406030608745x454x精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍若骑车的速度是队伍行进速度的 2 倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是 15 千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？解：设步行速度为 x 千米时，骑车速度为 2x 千米时，依题意，得：【例 5】农机厂职工到距工厂 15 千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40 分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，
4、已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求两车的速度 解：设自行车的速度为 x 千米/小时，那么汽车的速度为 3x 千米/小时，依题意，得：【例 6】甲乙两人同时从一个地点相背而行，1 小时后分别到达各自的终点 A 与B；若从原地出发，但是互换彼此的目的地，则甲将在乙到达 A 之后 35 分钟到达 B，求甲与乙的速度之比。分析：等量关系：甲走 OB 的时间-乙走 OA 的时间=35 分钟 解：设 OA=X,OB=Y,则甲的速度为 X,乙的速度为 Y,依提议得6035-yxxy 二、【工程类应用性问题】【例1】甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2 天后，由乙队单独做 1 天就完成了全部工程。已知乙队
5、单独做所需天数是甲队单独做所需天数的 倍，问甲乙单独做各需多少天？分析：等量关系：甲队单独做的工作量+乙队单独做的工作量=1 1231312xx【例 2】甲、乙两个学生分别向计算机输入 1500 个汉字，乙的速度是甲的 3 倍，因此比甲少用 20分钟完成任务，他们平均每分钟输入汉字多少个？分析：单独做所需时间 一天的工作量 实际做时间 工作量 甲 x 天 2 天 乙 （2+1）天 11232x天1x132x精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 输入汉字数 每分钟输入个数 所需时间 甲 1500 个 x 个/分 乙 1500 个 3x 个/分 等量关系：甲用时间
6、=乙用时间+20（分钟）2031500-1500 xx【例 3】某农场原计划在若干天内收割小麦 960 公顷，但实际每天多收割 40 公顷，结果提前 4 天完成任务，试求原计划一天的工作量及原计划的天数。分析 1：工作总量 一天的工作量 所需天数 原计划情况 960 公顷 x 公顷 实际情况 960 公顷（x+40）公顷 等量关系：原计划天数=实际天数+4（天）44960-960 xx 分析 2：工作总量 所需天数 一天的工作量 原计划情况 960 公顷 实际情况 960 公顷 4960 x 等量关系：原计划每天工作量=实际每天工作量-40（公顷）40960-4-960 xx【例 4】某工程由
7、甲、乙两队合做 6 天完成，厂家需付甲、乙两队共 8700 元，乙、丙两队合做 10天完成，厂家需付乙、丙两队共 9500 元，甲、丙两队合做 5 天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共 5500 元 求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？1500 x15003x960 x96040 xx天(4)x 天960 x精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 若工期要求不超过 15 天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由 解：设甲队单独做需x天完成，乙队单独做需y天完成，丙队单独做需z天完成，依题意可得：116()11110()1112
8、5()3xyyzxz，经检验，x=10，y=15，z=30 是原方程组的解 设甲队做一天厂家需付a元，乙队做一天厂家需付b元，丙队做一天厂家需付c元，根据题意，得 6()870010()95005()5500abbcca ，800650300abc，由可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队 此工程由甲队单独完成需花钱108000a 元；此工程由乙队单独完成需花钱159750b 元 所以，由甲队单独完成此工程花钱最少【例 5】某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期
9、是多少天？解：工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为 x 天，那么乙单独完成工程所需的天数就是(x3)天.设工程总量为 1，甲的工作效率就是，乙的工作效率是，依题意，得 ，解得 即规定日期是 6 天 【例 6】今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640 名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2 倍，结果甲比乙少用 2 小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？解：设教师乙每分钟能输入 x 名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入 2x 名学生的成绩，依题意，得：，解得 x11 【例 7】甲乙两人
10、做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做 6 个，甲做 90 个所用的时间与乙做 60个所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？分析：甲每小时做 x 个零件，做 90 个零件所用的时间 90 x 小时。乙每小时做(x-6)个零件，做 60 个零件所用的时间是606x 小时。等量关系：甲所用时间=乙所用时间 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 三、【营销类应用性问题】【例 1】某校办工厂将总价值为 2000 元的甲种原料与总价值为 4800 元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少 3 元，比乙种原料每千克多 1 元，问混合后的单价每千克是多少元？解：设
11、混合后的单价为每千克 x元，则甲种原料的单价为每千克(3)x元，混合后的总价值为(2000 4800)元，混合后的重量为x48002000 斤，甲种原料的重量为32000 x，乙种原料的重量为14800 x，依题意，得：32000 x14800 x=x48002000，解得17x，经检验，17x 是原方程的根，所以17x 【例 2】A、B 两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同其中，采购员 A 每次购买 1000 千克，采购员 B 每次用去 800 元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？解：两次购买的饲料单价分别为每 1 千克
12、m 元和 n 元(m0,n0,m n)，依题意，得：采购员 A 两次购买饲料的平均单价为(元千克)，采购员 B 两次购买饲料的平均单价为(元千克)而0【例 3】某商场销售某种商品，一月份销售了若干件，共获得利润30000元;二月份把这种商品的单价降低了 0.4 元，但是销售量比一月份增加了 5000 件，从而获得利润比一月份多 2000 元，调价前每件商品的利润为多少元？解：设调价前每件商品的利润为 x 元，二月份商品单价为（x-0.4）元，二月份获得利润 32000 元，一月份销售量为x30000件，二月份销售量为4.0-32000 x件，依题意得：总价值 价格 数量 甲 2000 元 乙
13、4800 元 混合 X 元 路程 速度 时间 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 500030000-0.4-x32000 x 四、【轮船顺逆水应用问题】【例 1】轮船顺流、逆流各走 48 千米，共需 5 小时，如果水流速度是 4 千米/小时，求轮船在静水中的速度。等量关系：顺流用时+逆流用时=5（小时）54-48448xx【例 2】轮船在顺水中航行 30 千米的时间与在逆水中航行 20 千米所用的时间相等，已知水流速度为 2 千米时，求船在静水中的速度。解：设船在静水中速度为x千米时，则顺水航行速度为(2)x千米时，逆水航行速度为(2)x千米时，依题意，得
14、 230 x=220 x，解得10 x 五、【其他应用性问题】【例 1】要在 15%的盐水 40 千克中加入多少盐才能使盐水的浓度变为 20%分析：设加入盐x千克浓度问题的基本关系是：溶液溶质=浓度 溶液 溶质 浓度 加盐前 40 40 15%15%加盐后 40 x 40 15%x 20%解：设应加入盐x千克，依题意，得xx40%1540=10020解得2 5x 经检验，2 5x 是所列方程的根，即加入盐 2.5 千克【例 2】甲容器中有 15%的盐水 30 升，乙容器中有 18%的盐水 20 升，如果向两个容器各加入等量的水，使它们的浓度相等，那么加入的水是多少升？解：设加入的水位 x 升，
15、依题意得：xx2020%183015%30 顺流 48 千米(x+4)千米/小时 逆流 48 千米(x-4)千米/小时 484x484x精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 分式方程-复习专题训练 一、选择题 1方程3x21x1的解为()Ax45 Bx12 Cx2 D无解 2以下是方程1x1x2x1 去分母后的结果，其中正确的是()A21x1 B21x1 C21x2x D21x2x 3已知方程xx53ax5有增根，则 a的值为()A5 B5 C6 D4 4解方程84x222x的结果是()Ax2 Bx2 Cx4 D无解 5货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千
16、米所用的时间相同，已知小车每小时比货车多行驶 20 千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为 x 千米/小时，依题意列方程正确的是()A.25x35x20 B.25x2035x C.25x35x20 D.25x2035x 6某服装厂准备加工 400 套运动装，在加工完 160 套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了 20%，结果共用了 18 天完成任务，问计划每天加工服装多少套在这个问题中，设计划每天加工 x 套，则根据题意可得方程为()A.160 x400120%x18 B.160 x400160120%x18 C.160 x40020%x18 D.400 x40016020%x1
17、8 7(2011 中考预测题)用换元法解方程 x22x7x22x8，若设 x22xy，则原方程化为关于 y 的整式方程是()Ay28y70 B y28y70 Cy28y70 D y28y70 8解分式方程2xx1m1x2xx1x时产生增根，则m 的值是()A1 或2 B1 或 2 C1 或 2 D1 或2 9.分式方程xx3x1x1的解为()Ax1 Bx1 Cx3 Dx3 10.若解分式方程mx1x11 时产生增根，则 m 的值是()精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 A0 B1 C1 D 1 11方程x2x4xx6的解是()Ax1 Bx2 Cx3 Dx4
18、二、填空题 12方程2x11x20 的解为_ 13若分式2x1与 1 互为相反数，则 x 的值是_ 14.当 x_时，分式x3x1的值等于 2.15某市为治理污水，需要铺设一段全长为 300 m 的污水排放管道铺设 120 m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加 20%，结果共用 30 天完成这一任务，求原计划每天铺设管理的长度如果设原计划每天铺设 x m 管道，那么根据题意，可得方程_ 16甲计划用若干天完成某项工作，在甲独立工作两天后，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前两天完成任务设甲计划完成此项工作的天数是 x 天，则 x 的值是_ 17已
19、知 x1x3，则代数式 x21x2的值为_ 18在 5 月汛期，重庆某沿江村庄因洪水而沦为孤岛当时洪水流速为10千米/时，张师傅奉命用冲锋舟去救援，他发现沿洪水以最大速度顺流航行2 千米所用的时间，与以最大速度逆流航行1.2千米所用的时间相等，请你计算出该冲锋舟在静水中的最大航速为 _ 19关于 x 的方程2xax11 的解是正数，则a的取值范围是 三、解答题 20解方程(1)2x3x3；(2)x3x2132x；(3)1xx3x2；(4)x12x2x1x20.(5)xx112x1x；(6)xx12x2x10.精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 21 某镇道路
20、改造工程，由甲、乙两工程队合作 20 天可完成甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用 30 天完成此项工程(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？(2)若甲工程队独做 a天后，再由甲、乙两工程队合作_天(用含 a的代数式表示)可完成此项工程；(3)如果甲工程队施工每天需付施工费 1 万元，乙工程队施工每天需付施工费 2.5 万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过 64 万元？22 去年入秋以来，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续 8 个多月无有效降水为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠 3 600 米，为了水渠能尽快投入
21、使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8 倍，结果提前 20 天完成修水渠任务，问原计划每天修水渠多少米？23去冬今春，我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾，解放军某部接到了限期打 30 口水井的作业任务，部队官兵到达灾区后，目睹灾情心急如焚，他们增派机械车辆，争分夺秒，每天比原计划多打 3口井，结果提前 5 天完成任务，求原计划每天打多少口井？附：参考答案 一选择题 1.【解析】3x21x1，3(x1)x2,3x3x2，2x1，x12，经检验 x12是原方程的根【答案】B 2.【解析】等号两边同乘以 2x，去分母后为 21x2x.【答案】C 3【解析】原式去分母后得 x3(x5)a，把增根 x
22、5 代入得 a5.【答案】B 4【解析】84x222x，82(2x)，842x，x2 当 x2 时，4x20，x2 是原方程的增根，原方程无解【答案】D 5.【解析】由题意知小车的速度为(x20)千米/时，根据货车行驶 25 千米与小车行驶 35 千米所用的时间相同，得25x35x20.精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除【答案】C 6.【解析】采用新技术后的工作效率为(120%)x，前 160 套所用时间为160 x，后来的(400160)套，所用时间为400160120%x，可列方程为160 x400160120%x18.【答案】B 7【解析】由题意可得，
23、y7y8，则 y28y70.【答案】D 8【解析】方程两边同乘以 x(x1)得 2x2(m1)(x1)2.方程有增根，x0或1.当 x0 时，2 02(m1)(01)2，m2.当 x1 时，2(1)2(m1)(11)2，m1，故 m1 或2.【答案】D 9【解析】题方程两边同时乘以(x3)(x1)，约去分母得 x(x1)(x3)(x1)，解得 x3.经检验：x3 是原方程的根 分式方程的解为 x3.【答案】D 10 题使分母为零的未知数的值即为增根，增根一定是分式方程转化为整式方程后的这个整式方程的根 mx1x11 有增根，x10，x1，mx1x1.当 x1 时，解得 m1.【答案】C 11.
24、【答案】C 二、填空题 12【解析】2x11x20,2(x2)(x1)0，解得 x5，经检验 x5是原方程的根【答案】x5 13【解析】2x110,2(x1)0，x1，经检验 x1 是原方程的根【答案】1 14【解析】x3x12，x32(x1)，x32x2，x5，经检验 x5是原方程的根【答案】5 15【解析】题目中的等量关系为：原计划铺设 120 m 用的天数后来 180 m 新工效所用的天数30.【答案】120 x300120120%x30 16【解析】由题意得x2xx4x1，解得 x6.【答案】6 17【解析】x21x2(x1x)22322927.【答案】7 精品好资料-如有侵权请联系网
25、站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 18【解析】解：设该冲锋舟在静水中的最大航速为 x 千米/时，则2x101.2x10，解得 x40，经检验，x40 是原方程的根，即该冲锋舟在静水中的最大航速为 40 千米/时【答案】40 千米/时 19【答案】a1.三、解答题(共 40 分)20.解：(1)2x3x3，方程两边同乘以 x(x3)，得 2(x3)3x，整理得 2x63x，x6，经检验 x6 是原方程的解，原方程的解是 x6.(2)x3x2132x，方程两边同乘以(x2)，得(x3)(x2)3，去括号，得 x3x23，合并同类项，得 2x53,2x2，x1，经检验 x1 是原方程的解，
26、原方程的解为 x1.(3)1xx3x2，方程两边同乘以 x(3x2)得 3x2x2，即 x23x20，(x2)(x1)0，x12，x21，经检验 x12，x21 都是原方程的解，原方程的解为 x12，x21.(4)解法一：去分母，得(x1)2x(x1)2x20，化简，得 2x2x10，解得 x11，x212.经检验 x11，x212是原方程的解 原方程的解为x11，x212.解法二：令x1xt，原方程可化为：t2t20，解得 t12，t21.当 t2 时，x1x2，解得 x1，当 t1 时，x1x1，解得 x12.经检验，x1，x12是原方程的解 原方程的解为 x11，x212.(5)方程两边
27、同时乘以x(x1)，约去分母，得 x2x(x1)(2x1)(x1)解得 x12.经检验，x12是原方程的根 所以，原方程的解为 x12.(6)方程两边同时乘以 x(x1)，约去分母，得 x2(2x2)(x1)x(x1)0 解得 x12或 x2.经检验，x12或 x2 都是原方程的根 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 所以原方程的解为 x12或 x2.21.【解析】列分式方程解决实际问题，要特别注意解的合理性，需检验求出的未知数的值是否是原方程的根以及是否符合题意 解(1)设乙单独做 x 天完成此项工程，则甲单独做(x30)天完成此项工程，由题意，得 20(
28、1x1x30)1.整理，得 x210 x6000.解得 x130，x220.经检验，x130，x220 都是分式方程的解，但 x220不符合题意，舍去 当 x30 时，x3060.答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要 60 天、30 天(2)合作(20a3)天(3)由题意，得 1 a(12.5)(20a3)64.解得 a36.即甲工程队至少单独施工 36 天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过 64 万元 22 解：设原计划每天修水渠 x 米，根据题意得：3 600 x3 6001.8x20，解得 x80.经检验，x80 是原分式方程的解 23 解：设原计划每天打 x 口井，由题意可列方程30 x30 x35，去分母，得 30(x3)30 x5x(x3)整理，得 x23x180.解得 x13，x26(不合题意，舍去)经检验，x13 是方程的根