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1、考点三十五：图形的相似 聚焦考点温习理解 1、比和比例的有关概念：（1）表示两个比相等的式子叫作比例式，简称比例.（2）第四比例项：若acbd或 a:b=c:d，那么 d 叫作 a、b、c 的第四比例项.（3）比例中项：若abbc或 a:b=b:c，b 叫作 a，c 的比例中项.（4）黄金分割：把一条线段（AB）分割成两条线段，使其中较长线段（AC）是原线段 AB与较短线段（BC）的比例线段，就叫作把这条 线段黄金分割.即 AC2=AB BC，AC=510.6182ABAB；一条线段的黄金分割点有两个.2.比例的基本性质及定理（1）acadbcbd （2）acabcdbdbd （3）(bdn0
2、)acmacmabdnbdnb 3.平行线分线段成比例定理(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例；(3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边；(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 4.相似三角形.相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形 相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比 5相似三角形的判定(1)平行于三角形一边的直线和其他
3、两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；(4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似；(6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似 6相似三角形性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 7相似多边形的性质(1)相似多边形对应角相等，对应边成比例(2)相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方 8位似图形(1)概念：如果两
4、个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形这个点叫做位似中心(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 名师点睛典例分类 考点典例一、比例的基本性质、黄金分割【例 1】已知513ba，则abab的值是（）A23 B32 C94 D49【答案】D【解析】试题分析：先设出 b=5k，得出 a=13k，再把 a，b 的值代入即可求出答案 试题解析：令 a，b 分别等于 13k 和 5k，13541359abkkabkk；故选 D 考点：比例的性质【点睛】此题考查了比例的性质此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形 是原线段与较短线段的
5、比例线段就叫作把这条线段黄金分割即一条线段的黄金分割点有两个比例的基本性质及定理平线所得的对应线段成比例如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三三边对应成比例相似三角形相似三角形的定义对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比相似三角形的【举一反三】若 4y-3x=0，则xyy 【答案】73.考点：比例的性质 考点典例二、三角形相似的性质及判定 【例2】（2015.山东威海，第23题）（1）如图1，已知ACB=DCE=90，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，CAE=45，求AD的长（2）如图2，已知ACB=DCE=90，ABC=CED=CAE
6、=30，AC=3，AE=8，求AD的长 【答案】AD=9；AD=【解析】是原线段与较短线段的比例线段就叫作把这条线段黄金分割即一条线段的黄金分割点有两个比例的基本性质及定理平线所得的对应线段成比例如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三三边对应成比例相似三角形相似三角形的定义对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比相似三角形的（2）如图2，连接BE，在RtACB中，ABC=CED=30，tan30=，ACB=DCE=90，BCE=ACD，ACDBCE，=，BAC=60，CAE=30，BAE=90，又AB=6，AE=8，BE=10，AD=考点：相
7、似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质、勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力【举一反三】如图，在正方形 ABCD 中，点 M是 BC边上的任一点，连接 AM并将线段 AM绕 M顺时针旋转90得到线段 MN，在 CD边上取点 P使 CP=BM，连接 NP，BP（1）求证：四边形 BMNP 是平行四边形；（2）线段 MN与 CD交于点 Q，连接 AQ，若MCQAMQ，则 BM与 MC存在怎样的数量关系？请说明理由 是原线段与较短线段的比例线段就叫作把这条线段黄金分割即一条线段的黄金分割点有两个比例的基
8、本性质及定理平线所得的对应线段成比例如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三三边对应成比例相似三角形相似三角形的定义对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比相似三角形的【答案】(1)证明见解析；（2）BM=MC【解析】试题分析：（1）根据正方形的性质可得 AB=BC，ABC=B，然后利用“边角边”证明ABM和BCP全等，根据全等三角形对应边相等可得 AM=BP，BAM=CBP，再求出 AM BP，从而得到 MN BP，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）根据同角的余角相等求出BAM=CMQ，然后求出ABM 和MCQ 相
9、似，根据相似三角形对应边成比例可得ABAMMCMQ，再求出AMQ ABM，根据相似三角形对应边成比例可得ABAMBMMQ，从而得到ABABMCBM，即可得解 试题解析：（1）证明：在正方形 ABCD 中，AB=BC，ABC=B，在ABM 和BCP中，ABBCABCCCPBM，ABM BCP（SAS），AM=BP，BAM=CBP，BAM+AMB=90，CBP+AMB=90，AM BP，AM并将线段 AM绕 M顺时针旋转 90得到线段 MN，AM MN，且 AM=MN，MN BP，四边形 BMNP 是平行四边形；是原线段与较短线段的比例线段就叫作把这条线段黄金分割即一条线段的黄金分割点有两个比例的
10、基本性质及定理平线所得的对应线段成比例如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三三边对应成比例相似三角形相似三角形的定义对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比相似三角形的 考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；正方形的性质 考点典例三、相似三角形综合问题【例 3】如图，已知 AB是O的直径，BC是O的弦，弦 ED AB于点 F，交 BC于点 G，过点 C的直线与 ED的延长线交于点 P，PCPG.(1)求证：PC是O的切线；(2)当点 C在劣弧 AD上运动时，其他条件不变，若 BG2 BFBO.求证：点G是 BC的中点（3）在满
11、足（2）的条件下，AB=10，ED=46，求 BG的长 是原线段与较短线段的比例线段就叫作把这条线段黄金分割即一条线段的黄金分割点有两个比例的基本性质及定理平线所得的对应线段成比例如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三三边对应成比例相似三角形相似三角形的定义对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比相似三角形的【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2 5.试题解析：（1）证明：连 OC，如图，ED AB，FBG+FGB=90，又PC=PG，1=2，而2=FGB，4=FBG，1+4=90，即 OC PC，PC是O的切线；（2）证明：连
12、 OG，如图，BG2=BF BO，即 BG：BO=BF：BG，而FBG=GBO，BGO BFG，是原线段与较短线段的比例线段就叫作把这条线段黄金分割即一条线段的黄金分割点有两个比例的基本性质及定理平线所得的对应线段成比例如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三三边对应成比例相似三角形相似三角形的定义对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比相似三角形的OGB=BFG=90，即 OG BG，BG=CG，即点 G是 BC的中点；（3）解：连 OE，如图，ED AB，FE=FD，而 AB=10，ED=46，EF=26，OE=5，在 RtOEF中，OF=
13、22225(2 6)1OEEF，BF=5-1=4，BG2=BF BO，BG2=BF BO=4 5，BG=25 考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质【点睛】本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用【举一反三】课本中有一道作业题：有一块三角形余料 ABC，它的边 BC 120 mm，高 AD 80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC上，其余两个顶点分别在 AB，AC上问加工成的正方形零件的边长是多少毫米？小颖解得此题的答案为 48 mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题(1)如果原题中要加工的零件是一个矩
14、形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？请你计算(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长 是原线段与较短线段的比例线段就叫作把这条线段黄金分割即一条线段的黄金分割点有两个比例的基本性质及定理平线所得的对应线段成比例如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三三边对应成比例相似三角形相似三角形的定义对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比相似三角形的 【答案】这个矩形零件的两条边长分别为2
15、407mm，4807mm；S 的最大值为 2400mm2，此时PN=60mm，PQ=40mm 【解析】试题分析：（1）设 PN=2y（mm），则 PQ=y（mm），然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出即可；（2）设 PN=x，用 PQ表示出 AE的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式并用 x 表示出 PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值问题解答 （2）设 PN=x（mm），矩形 PQMN 的面积为 S（mm2），由条件可得APN ABC，PNAEBCAD，即8012080 xPQ，解得 PQ=80-23x S=PN PQ=x（80-23x
16、）=-23x2+80 x=-23（x-60）2+2400，S 的最大值为 2400mm2，此时 PN=60mm，PQ=80-2360=40（mm）考点：相似三角形的应用；二次函数的最值 是原线段与较短线段的比例线段就叫作把这条线段黄金分割即一条线段的黄金分割点有两个比例的基本性质及定理平线所得的对应线段成比例如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三三边对应成比例相似三角形相似三角形的定义对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比相似三角形的考点典例四、相似多边形与位似图形【例 4】如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出A
17、1B1C1和A2B2C2；（1）把ABC先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位，得到A1B1C1；（2）以图中的 O为位似中心，将A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到A2B2C2 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.【解析】试题分析：（1）把 A、B、C三点先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位得到 A1，B1，C1，顺次连接得到的各点即可；（2）延长 OA1到 A2，使 0A2=20A1，同法得到其余各点，顺次连接即可 试题解析：考点：作图-位似变换；作图-平移变换【点睛】本题考查了平移、位似的作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键【举一反
18、三】（2015辽宁营口）如图，ABE和CDE是以点 E为位似中心的位似图形，已知点 A（3，4），点 C（2，2），点 D（3，1），则点 D的对应点 B的坐标是().是原线段与较短线段的比例线段就叫作把这条线段黄金分割即一条线段的黄金分割点有两个比例的基本性质及定理平线所得的对应线段成比例如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三三边对应成比例相似三角形相似三角形的定义对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比相似三角形的 A（4，2）B（4，1）C（5，2）D（5，1）【答案】C.考点：1.位似性质；2.平行线分线段成比例定理.课时作业能力提升
19、 一、选择题 1.（2015 成都）如图，在ABC中，DE/BC，AD=6，BD=3，AE=4，则EC的长为（）A1 B 2 C 3 D 4 【答案】B【解析】试题分析：根据平行线段的比例关系，ADAEDBEC，即643EC，2EC，故选 B 考点：平行线分线段成比例 2.(2015 黑龙江哈尔滨）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E在 BA的延长线上，点是原线段与较短线段的比例线段就叫作把这条线段黄金分割即一条线段的黄金分割点有两个比例的基本性质及定理平线所得的对应线段成比例如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三三边对应成比例相似三角形相似三
20、角形的定义对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比相似三角形的F在 BC的延长线上，连接 EF，分别交 AD、CD于点 G，H，则下列结论错误的是（）（A）EAEGBEEF （B）EGAGGHGD （C）ABBCAECF （D）FHCFEHAD 【答案】C【解析】试题分析：根据平行四边形的性质可得AEG BEF，DGH AGE，CHFAGE，从而可以得出 A、B、D三个选项是正确的，只有 C选项是错误的.考点：三角形相似的应用.3.(2015 湖北武汉，6 题，3 分）如图，在直角坐标系中，有两点 A(6，3)、B(6，0)以原点 O为位似中心，相似比为31，在第一象限内把线段 AB
21、缩小后得到线段 CD，则点 C的坐标为（）A(2，1)B(2，0)C(3，3)D(3，1)【答案】A 考点：位似图形的性质.4.（2015.山东淄博，第8题，4分）如图，在四边形ABCD中，DCAB，CBAB，AB=AD，CD=AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则AEF与多边形BCDFE的面积之比为（）是原线段与较短线段的比例线段就叫作把这条线段黄金分割即一条线段的黄金分割点有两个比例的基本性质及定理平线所得的对应线段成比例如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三三边对应成比例相似三角形相似三角形的定义对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似
22、比相似三角形的 A B C D 【答案】C.考点：相似三角形的判定与性质；三角形的面积；三角形中位线定理 5.(2014 泰安)在ABC和A1B1C1中，下列四个命题：若 AB A1B1，AC A1C1，AA1，则ABC A1B1C1；若 AB A1B1，AC A1C1，BB1，则ABC A1B1C1；若AA1，CC1，则ABC A1B1C1；若 AC：A1C1CB：C1B1，CC1，则ABC A1B1C1.其中真命题的个数为()A4 B3 C2 D1【答案】B【解析】试题分析：分别利用相似三角形的判定和全等三角形的判定定理进行判断即可得到正确的选项 是原线段与较短线段的比例线段就叫作把这条线
23、段黄金分割即一条线段的黄金分割点有两个比例的基本性质及定理平线所得的对应线段成比例如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三三边对应成比例相似三角形相似三角形的定义对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比相似三角形的考点：命题与定理；全等三角形的判定；相似三角形的判定 6.（2015宜宾）如图，OAB与OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，OCD=90，CO=CD若B（1，0），则点C的坐标为（）A（1，2）B（1，1）C（2，2）D（2，1）【答案】B【解析】试题分析：OAB=OCD=90，AO=AB，CO=CD，等腰RtOAB与
24、等腰RtOCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），BO=1，则AO=AB=22，A（12，12），等腰RtOAB与等腰RtOCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点C的坐标为：（1，1）故选B 考点：1位似变换；2坐标与图形性质 7.（2015湖南株洲）如图，已知 AB、CD、EF都与 BD垂直，垂足分别是 B、D、F，且 AB1，CD 3，那么 EF的长是()A、13 B、23 C、34 D、45 是原线段与较短线段的比例线段就叫作把这条线段黄金分割即一条线段的黄金分割点有两个比例的基本性质及定理平线所得的对应线段成比例如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么
25、这条直线平行于三三边对应成比例相似三角形相似三角形的定义对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比相似三角形的第7题图FEBDAC【答案】C 考点：相似三角形的性质.二、填空题 1.（2015.河南省，第 10 题，3 分）如图，ABC中，点 D、E分别在边 AB，BC上，DE/AC，若 DB=4，DA=2，BE=3，则 EC=.【答案】23.【解析】试题分析：DE/AC,DB:AD=BE:CE,4:2=3:EC,EC=23.考点：平行线分线段成比例定理.2.（2015.重庆市 A 卷，第 15 题，4 分）已知ABC DEF,ABC与DEF的相似比为4:1，则ABC与DEF对应边上的
26、高之比为 .【答案】4：1.【解析】试题分析：相似三角形对应边上的高、对应角的平分线、对应边上的中线之比，都等于相似比.所以ABC与DEF对应边上的高之比等于它们的相似比 4：1.故答案为：4：1.考点：相似三角形的性质.E C D B A 第 10 题 是原线段与较短线段的比例线段就叫作把这条线段黄金分割即一条线段的黄金分割点有两个比例的基本性质及定理平线所得的对应线段成比例如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三三边对应成比例相似三角形相似三角形的定义对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比相似三角形的3.（2015.重庆市 B卷，第 14
27、 题，4 分）已知ABC DEF，若ABC与DEF的相似比为2:3，则ABC与DEF对应边上的中线的比为_.【答案】2:3【解析】试题分析：根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比可得：ABC与DEF对应边上的中线的比为 2:3.考点：相似三角形的应用.4.(2015.天津市，第 16 题，3 分)如图，在ABC中，DEBC，分别交AB，AC于点D，E.若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长 为 .ECDAB【答案】185.考点:相似三角形的判定与性质.5.（2015自贡）将一副三角板按图叠放，则AOB与DOC的面积之比等于 【答案】1：3【解析】是原线段与较短线段的比例线段就叫作把这条
28、线段黄金分割即一条线段的黄金分割点有两个比例的基本性质及定理平线所得的对应线段成比例如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三三边对应成比例相似三角形相似三角形的定义对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比相似三角形的试题分析：设BC=x，ABC=DCB=90，AB=BC，D=30，在RtDBC中，CD=BCcotD=3x，ABD+DCB=180，AB=BC=x，ABCD，AOBCOD，221()()33AOBCODSABxSCDxAOB与DOC的面积之比为1：3故答案为：1：3 考点：1相似三角形的判定与性质；2压轴题 6.（2015凉山州）在
29、 ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则SMOD：SCOB=【答案】19或49 考点：1相似三角形的判定与性质；2平行四边形的性质 7.（2015辽宁沈阳）如图，ABC与DEF位似，位似中心为点O，且ABC的面积等于DEF面积的49，则AB：DE=【答案】2：3【解析】是原线段与较短线段的比例线段就叫作把这条线段黄金分割即一条线段的黄金分割点有两个比例的基本性质及定理平线所得的对应线段成比例如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三三边对应成比例相似三角形相似三角形的定义对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比相似三
30、角形的试题分析：ABC与DEF位似，位似中心为点O，ABCDEF，ABC的面积：DEF面积=2()ABDE=49，AB：DE=2：3，故答案为：2：3 考点：位似变换 三、解答题 1.如图，在ABC中，点 D，E分别在边 AB，AC上，若 DE BC，DE=2，BC=3，求AEAC的值 【答案】23.考点：相似三角形的判定与性质 2.（2015.山东滨州第 23 题，10 分）（本小题满分 10 分）如图，已知B、C、E三点在同一条直线上，ABC与DCE都是等边三角形.其中线段 BD交 AC于点 G，线段 AE交 CD于点 F.求证：（1）ACE BCD；（2）AGAFGCFE.是原线段与较短
31、线段的比例线段就叫作把这条线段黄金分割即一条线段的黄金分割点有两个比例的基本性质及定理平线所得的对应线段成比例如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三三边对应成比例相似三角形相似三角形的定义对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比相似三角形的【答案】试题解析：证明：（1）ABC与DCE都是等边三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=DCE=60，ACB+ACD=DCE+ACD，即ACE=BCD，ACEBCD（SAS）.（2）ABC与DCE都是等边三角形，AB=AC，CD=ED，ABC=DCE=60 BDCDAACE，AB DC，ABG=GDC，
32、BAG=GCD，ABG CDG，DAGABGCC.同理，AFACFEED.AGAFGCFE.考点：三角形全等，三角形相似的判定与性质 是原线段与较短线段的比例线段就叫作把这条线段黄金分割即一条线段的黄金分割点有两个比例的基本性质及定理平线所得的对应线段成比例如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三三边对应成比例相似三角形相似三角形的定义对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比相似三角形的3（2015.山东泰安，第27题）（10分）如图，在ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且APD=B（1）求证：ACCD=CPBP；（2）若
33、AB=10，BC=12，当PDAB时，求BP的长 【答案】（1）证明见试题解析；（2）253【解析】试题分析：（1）先证APD=B=C，从而有ABPPCD，即可得到BPABCDCP，即ABCD=CPBP，由AB=AC即可得到ACCD=CPBP；（2）由PDAB得到APD=BAP，进而得到BAP=C，从而有BAPBCA，根据相似三角形的性质即可求出BP的长 考点：1相似三角形的判定与性质；2综合题 是原线段与较短线段的比例线段就叫作把这条线段黄金分割即一条线段的黄金分割点有两个比例的基本性质及定理平线所得的对应线段成比例如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线所得的对应线段成比例那么这条直线平行于三三边对应成比例相似三角形相似三角形的定义对应角相等对应边成比例的三角形叫做相似三角形相似比相似三角形的