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1、绝密启用前 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共 12 小题，每小题
2、5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合=|1 A x x，|2 B x x，则 A B=A(-1，+)B(-，2)C(-1，2)D 2设 z=i(2+i)，则z=A 1+2i B-1+2i C 1-2i D-1-2i 3已知向量 a=(2，3)，b=(3，2)，则|a-b|=A 2 B 2 C 5 2 D 50 4生物实验室有 5 只兔子，其中只有 3 只测量过某项指标，若从这 5 只兔子中随机取出 3 只，则恰有 2 只测量过该指标的概率为 A 23 B35 C25 D 15 5在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测 甲：我的成绩比
3、乙高 乙：丙的成绩比我和甲的都高 丙：我的成绩比乙高 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A 甲、乙、丙 B乙、甲、丙 C丙、乙、甲 D 甲、丙、乙 6设 f(x)为奇函数，且当 x0 时，f(x)=e 1x，则当 x0)两个相邻的极值点，则=A 2 B32 C 1 D 12 9若抛物线 y2=2px（p0）的焦点是椭圆2 213x yp p 的一个焦点，则 p=A 2 B 3 C 4 D 8 10曲线 y=2sin x+cos x 在点(，-1)处的切线方程为 A 1 0 x y B2 2 1 0 x y C2 2 1 0 x y D 1 0 x
4、 y 11已知 a（0，2），2sin2=cos2+1，则 sin=A 15 B55 C33 D 2 55 12设 F 为双曲线 C：2 22 21x ya b（a0，b0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF为直径的圆与圆 x2+y2=a2交于 P、Q两点若|PQ|=|OF|，则 C的离心率为 A 2 B 3 C 2 D 5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。填涂非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写字体工整笔迹清楚请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作 描黑保持卡面清洁不要折叠不要弄破弄皱不准使用涂液修正带刮纸刀一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出 指标
5、若从这只兔子中随机取出只则恰有只测量过该指标的概率为在一带一路知识测验后甲乙丙三人对成绩进行预测甲13若变量 x，y 满足约束条件2 3 6 03 02 0 x yx yy，则 z=3xy 的最大值是 _.14我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 _.15 ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c已知 bsin A+acos B=0，则 B=_.16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状
6、多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1 则该半正多面体共有 _个面，其棱长为 _（本题第一空 2 分，第二空 3 分）三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）如图，长方体 ABCD A1B1C1D1的
7、底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1上，BE EC1（1）证明：BE 平面 EB1C1；（2）若 AE=A1E，AB=3，求四棱锥1 1E BB C C 的体积 18（12 分）填涂非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写字体工整笔迹清楚请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作 描黑保持卡面清洁不要折叠不要弄破弄皱不准使用涂液修正带刮纸刀一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出 指标若从这只兔子中随机取出只则恰有只测量过该指标的概率为在一带一路知识测验后甲乙丙三人对成绩进行预测甲已知 na是各项均为正数的等比数列，1 3 22,2 16 a a a.（1）求 na的通项公式；（2
8、）设2logn nb a，求数列 nb的前 n 项和 19（12 分）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表 y的分组 0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80)企业数 2 24 53 14 7（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到 0.01）附：74 8.602.20（12 分）已知1 2,F F是椭圆
9、2 22 2:1(0)x yC a ba b 的两个焦点，P 为 C上一点，O为坐标原点（1）若2POF 为等边三角形，求 C 的离心率；（2）如果存在点 P，使得1 2PF PF，且1 2F PF 的面积等于 16，求 b 的值和 a 的取值范围 21（12 分）已知函数()(1)ln 1 f x x x x 证明：（1）()f x存在唯一的极值点；（2）()=0 f x有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分 22 选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在极坐标系中，O为极点，点0 0 0(,
10、)(0)M 在曲线:4sin C 上，直线 l 过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为 P.（1）当0=3时，求0及 l 的极坐标方程；（2）当 M在 C上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程.23 选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知()|2|().f x x a x x x a（1）当1 a 时，求不等式()0 f x 的解集；（2）若(,1)x 时，()0 f x，求a的取值范围.填涂非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写字体工整笔迹清楚请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作 描黑保持卡面清洁不要折叠不要弄破弄皱不准使用涂液修正带刮纸刀一选择题本题共小题每小
11、题分共分在每小题给出 指标若从这只兔子中随机取出只则恰有只测量过该指标的概率为在一带一路知识测验后甲乙丙三人对成绩进行预测甲 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学参考答案 1 C 2 D 3 A 4 B 5 A 6 D 7 B 8 A 9 D 10 C 11 B 12 A 13 9 14 0.98 1534 16 26；2 1 17解：（1）由已知得 B1C1平面 ABB1A1，BE平面 ABB1A1，故1 1B C BE 又1BE EC，所以 BE 平面1 1EB C（2）由（1）知 BEB1=90.由题设知 Rt ABE Rt A1B1E，所以1 145 AEB A EB，故
12、 AE=AB=3，12 6 AA AE.作1EF BB，垂足为 F，则 EF 平面1 1BB C C，且3 EF AB 所以，四棱锥1 1E BB C C 的体积13 6 3 183V 填涂非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写字体工整笔迹清楚请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作 描黑保持卡面清洁不要折叠不要弄破弄皱不准使用涂液修正带刮纸刀一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出 指标若从这只兔子中随机取出只则恰有只测量过该指标的概率为在一带一路知识测验后甲乙丙三人对成绩进行预测甲 18解：（1）设 na的公比为 q，由题设得 22 4 16 q q，即22 8 0 q q 解得2
13、q（舍去）或 q=4 因此 na的通项公式为1 2 12 4 2n nna（2）由（1）得2(2 1)log 2 2 1nb n n，因此数列 nb的前 n项和为21 3 2 1 n n 19解：（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的 100个企业中产值增长率不低于 40%的企业频率为14 70.21100 产值负增长的企业频率为20.02100 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例为 21%，产值负增长的企业比例为 2%（2）1(0.10 2 0.10 24 0.30 53 0.50 14 0.70 7)0.30100y，52211100i iis n
14、 y y 2 2 2 2 21(0.40)2(0.20)24 0 53 0.20 14 0.40 7100=0.0296，0.0296 0.02 74 0.17 s，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为 30%，17%20 解：（1）连结1PF，由2P O F 为等边三角形可知在1 2F PF 中，1 290 F PF，2PF c，13 PF c，于是1 22(3 1)a PF PF c，故C的离心率是3 1cea.（2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y存在 当且仅当1|2 162y c，1y yx c x c，2 22 21x ya b，填涂非选择题必须使用毫米黑色
15、字迹的签字笔书写字体工整笔迹清楚请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作 描黑保持卡面清洁不要折叠不要弄破弄皱不准使用涂液修正带刮纸刀一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出 指标若从这只兔子中随机取出只则恰有只测量过该指标的概率为在一带一路知识测验后甲乙丙三人对成绩进行预测甲即|16 c y，2 2 2x y c，2 22 21x ya b，由及2 2 2a b c 得422byc，又由知22216yc，故4 b 由得 22 2 22ax c bc，所以2 2c b，从而2 2 2 22 32,a b c b 故4 2 a.当4 b，4 2 a 时，存在满足条件的点 P 所以4 b，a的
16、取值范围为4 2,)21解：（1）()f x的定义域为（0，+）.1 1()ln 1 lnxf x x xx x.因为ln y x 单调递增，1yx单调递减，所以()f x 单调递增，又(1)1 0 f，1 ln 4 1(2)ln 2 02 2f，故存在唯一0(1,2)x，使得 00 f x.又当0 x x 时，()0 f x，()f x单调递减；当0 x x 时，()0 f x，()f x单调递增.因此，()f x存在唯一的极值点.（2）由（1）知 0(1)2 f x f，又 2 2e e 3 0 f，所以()0 f x 在 0,x 内存在唯一根x.由01 x 得011 x.又1 1 1 1
17、()1 ln 1 0ff，故1是()0 f x 在 00,x的唯一根.综上，()0 f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数 22解：（1）因为 0 0,M 在 C 上，当03时，04sin 2 33.由已知得|cos 23OP OA.设(,)Q 为 l 上除 P的任意一点.在Rt OPQ 中，cos|23OP，经检验，点(2,)3P在曲线cos 23 上 填涂非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写字体工整笔迹清楚请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作 描黑保持卡面清洁不要折叠不要弄破弄皱不准使用涂液修正带刮纸刀一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出 指标若从这只兔子中随机取出只
18、则恰有只测量过该指标的概率为在一带一路知识测验后甲乙丙三人对成绩进行预测甲所以，l 的极坐标方程为cos 23（2）设(,)P，在Rt OAP 中，|cos 4cos,OP OA 即 4cos 因为 P在线段 OM 上，且AP OM，故的取值范围是,4 2.所以，P点轨迹的极坐标方程为4cos,4 2.23解：（1）当 a=1 时，()=|1|+|2|(1)f x x x x x.当1 x 时，2()2(1)0 f x x；当1 x 时，()0 f x.所以，不等式()0 f x 的解集为(,1).（2）因为()=0 f a，所以1 a.当1 a，(,1)x 时，()=()+(2)()=2()(1)0 f x a x x x x a a x x.所以，a的取值范围是1,)填涂非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写字体工整笔迹清楚请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作 描黑保持卡面清洁不要折叠不要弄破弄皱不准使用涂液修正带刮纸刀一选择题本题共小题每小题分共分在每小题给出 指标若从这只兔子中随机取出只则恰有只测量过该指标的概率为在一带一路知识测验后甲乙丙三人对成绩进行预测甲