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1、华师大版八年级数学下函数及其图像知识点归纳 一变量与函数 1 函数的定义：一般的，在某个变化过程中有两个变量 x 和 y，对于 x 的每一个数值 y 都有唯一的值与之对应，我们说 x 叫做自变量，y 叫做因变量，y 叫做 x 的函数。2自变量的取值范围：（1）能够使函数有意义的自变量的取值全体。（2）确定函数自变量的取值范围要注意以下两点：一是使自变量所在的代数式有意义；二是使函数在实际问题中有实际意义。（3）不同函数关系式自变量取值范围的确定：函数关系式为整式时自变量的取值范围是全体实数。函数关系式为分式时自变量的取值范围是使分母不为零的全体实数。函数关系式为二次根式时自变量的取值范围是使被
2、开方数大于或等于零的全体实数。3 函数值：当自变量取某一数值时对应的函数值。这里有三种类型的问题：（1）当已知自变量的值求函数值就是求代数式的值。（2）当已知函数值求自变量的值就是解方程。（3）当给定函数值的一个取值范围，欲求自变量的取值范围时实质上就是解不等式或不等式组。二平面直角坐标系：1各象限内点的坐标的特征：（1）点 p（x,y）在第一象限 x 0,y 0.（2）点 p（x,y）在第二象限 x 0,y 0.（3）点 p（x,y）在第三象限 x 0,y 0（4）点 p（x,y）在第四象限 x 0,y 0.2 坐标轴上的点的坐标的特征：（1）点 p（x,y）在 x轴上 x 为任意实数，y=
3、0（2）点 p（x,y）在 y轴上 x=0,y 为任意实数 3 关于 x轴，y轴，原点对称的点的坐标的特征：（1）点 p（x,y）关于 x轴对称的点的坐标为（x,-y）.（2）点 p（x,y）关于 y轴对称的点的坐标为（-x,y）.（3）点 p（x,y）关于原点对称的点的坐标为（-x,-y）4 两条坐标轴夹角平分在线的点的坐标的特征：（1）点 p（x,y）在第一、三象限夹角平分在线x=y.（2）点 p（x,y）在第二，四象限夹角平分在线x+y=0 5与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征：（1）位于平行于 x 轴的直线上的所有点的纵坐标相同。（2）位于平行于 y 轴的直线上的所有点的横坐标相同。
4、6点到坐标轴及原点的距离：（1）点 p（x,y）到轴的距离为 y.（2）点 p（x,y）到 y 轴的距离为 x.（3）点 p（x,y）到原点的距离为2 2y x（4）同在 x 轴上的两点 A（x1,0）与 B（x2,0）之间的距离为 AB=|x1-x2|（5）同在 y 轴上的两点 C（0,y1）与 D（0,y2）之间的距离为 CD=|y1-y2|三函数的图像 函数图像上的点与其解析式的关系 1函数图像上任意一点 p x,y 中的 x、y 满足函数关系式，满足函数关系式的一对对应值 x,y 都在函数的图像上。2判断点 p x,y 是否在函数图像上的方法，将这个点的坐标 x,y 代入函数关系式，如
5、果满足函数关系式，那么这个点就在函数的图像上，如果不满足函数关系式，那么，这个点就不在函数的图像上。四一次函数（一）一次函数的定义 1定义:含有自变量的式子为一次整式，即形如式子 y kx+b(其中 k 和 b 为常数，k 0)叫做一次函数。正比例函数：在一次函数 y=kx+b 中如果 b=0 即变为 y=kx(其中 k 0)，这样的函数叫做正比例函数。2注意：（1）由一次函数和正比例函数的定义可知;函数是一次函数解析式为 y kx+b 的形式。函数是正比例函数解析式为 y=kx 的形式。（2）一次函数解析式 y=kx+b 的结构特征：k 0 x 的次数是 1 常数 b 为任意实数（3）正比例
6、函数解析式 y=kx 的结构特征 k 0 x 的次数是 1 常数 b=0 3说明：在 y=kx+b 中若 k=0 则 y=b b 为常数这样的函数叫做常数函数，它不是一次函数。4正比例函数与一次函数的关系：正比例函数是一次函数的特例，一次函数包含正比例函数。一次函数 y=kx+b，当 b=0 时为正比例函数 一次函数 y=kx+b，当 b 0 时一般的一次函数（二）一次函数的图像 1一次函数图像的形状：一次函数 y=kx+b 的图像是一条直线，通常称为直线 y=kx+b 正比例函数 y=kx 的图像也是一条直线，称为直线 y=kx 2一次函数图像的主要特点:一次函数 y=kx+b 的图像经过点
7、 0，b的直线，正比例函数 y=kx+b 的图像是经过原点 0，0的直线 注意：点 0，b是直线 y=kx+b 与 y 轴的交点。当 b 0 时，此时交点在 y 轴的正半轴上，当 b 0 时，此时交点在 y 轴的负半轴上，当 b=0 时，此时交点在原点，这时的一次函数就是正比例函数。3一次函数图像的画法：根据两点能画一条直线并且只能画一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图像时，只要先描出两点，在连成直线即可。那么，先描出哪两点比较好呢？选两点应以计算和描点简单为原则，一般来说，当 b 0 时，一般的一次函数 y=kx+b 的图像，应选取它与两个坐标轴的交点 0，b与-kb,0；当 b
8、=0 时，画正比例函数 y=kx 的图像，通常取 0，0与 1，k两点，个别情况下可以做些变通，例如画函数 y=32x 的图像，可以取 0，0与 1，32两点，也可以取 0，0与 3，2两点。4直线 y=kx+b 与坐标轴的交点（1）令 x=0,则 y=b 所以直线 y=kx+b 与 y 轴的交点坐标为 0，b（2）令 y=0,则 kx+b=0 所以 x=-kb 所以直线 y=kx+b 与 x 轴的交点坐标为-kb,0 注意：此时直线 y=kx+b 与 x 轴，y 轴围成的三角形面积S=21-kb b 5两直线在直角坐标系内的位置关系:（1）两直线的解析式中当 k 相同时，其位置关系是平行，其
9、中一条直线可以看作是另一条平移得到的，平移规律是“左减右加，上加下减”（2）两直线的解析式中当 b 相同时，其位置关系是相交，交点坐标为 0，b.（三）一次函数的性质 1正比例函数的性质（1）当 k 0 时，图像经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大，直线 y=kx 从左到右上升。（2）当 k 0 时，图像经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小，直线 y=kx 从左到右下降。2一次函数 y=kx+b 的性质（1）当 k 0 时，直线 y=kx+b 从左到右上升，此时 y 随 x 的增大而增大。（2）当 k 0 时，直线 y=kx+b 从左到右下降，此时 y 随 x 的增大而减小。（3）
10、当 b 0 时，直线 y=kx+b 与 y 轴正半轴相交。（4）当 b 0 时，直线 y=kx+b 与 y 轴负半轴相交。3直线 y=kx+b 的位置与 k、b 的符号之间的关系 直线 y=kx+b 的位置是由 k 与 b 的符号决定的，其中 k 决定直线从左到右呈上升趋势还是下降趋势，b 决定直线与 y 轴交点的位置是在 y 轴的正半轴，还是负半轴，还是原点。k 和 b 综合起来决定直线 y=kx+b 在直角坐标系中的位置共有六种情况：当 k 0，b 0 时，直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限；当 k 0，b 0 时，直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限；当 k 0，b 0 时，直
11、线经过第一、二、四象限，不经过第三象限；当 k 0，b 0 时，直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限；当 k 0，b=0 时，直线经过第一、三象限；当 k 0，b=0 时，直线经过第二、四象限。（四）正比例函数与一次函数解析式的确定 1确定一个正比例函数就是要确定正比例函数解析式 y=kx k 0中的常数 k;确定一个一次函数需要确定一次函数解析式一般形式 y=kx+b k 0中的常数 k 和 b,解这类问题的一般方法是待定系数法。2待定系数法：先设出待求函数关系式其中含有未知的系数，再根据已知条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。其中的未知系数也称待
12、定系数，如正比例函数 y=kx 中的 k，一次函数 y=kx+b 中的 k 和 b都是待确定的系数。3用待定系数法求函数解析式的一般步骤：（1）设出含有待定系数的解析式；（2）把已知条件自变量与函数的对应值代入解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；（3）解方程或方程组，求出待定系数；（4）将求得的待定系数的值代回所设的解析式。注意：通常正比例函数解析式设 y=kx，只有一个待定系数 k，一般只需一对 x 与 y 的对应值即可；一次函数解析式设 y=kx+b，其中有两个待定系数 k 和 b，因而需要两对 x 与 y 的对应值，才能求出 k 和 b 的值。五反比例函数（一）反比例函数定义 1一般
13、的，函数 y=xk k 是常数，k 0叫做反比例函数，反比例函数的解析式也可以写成 y=kx-1的形式，其中 k 叫做比例系数。2反比例函数解析式的主要特征：（1）等号左边是函数 y,右边是一个分式，分子是不为零的常数 k,分母中含有自变量 x,且 x 的指数是 1，若写成 y=kx-1的形式，则 x 的指数是-1。（2）比例系数“k 0”是反比例函数定义的重要组成部分。（3）自变量 x 的取值范围是 x 0 的一切实数。（二）反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点成中心对称。由于反比例函数中自变量 x 0，函数 y
14、 0，所以它的图像与 x 轴和 y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。（三）反比例函数的性质 1当 k 0 时，图像在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内 y 随 x 的增大而减小。2当 k 0 时，图像在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内 y 随 x 的增大而增大。（四）反比例函数解析式的确定 确定解析式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数 y=xk中只有一个待定系数，因此只需要一对 x 与 y的对应值或图像上一个点的坐标，即可求出 k 的值，从而确定其解析式。（五）“反比例关系”与“反比例函数”的
15、区别与联系 反比例关系是小学学过的概念：如果 xy=k k 是常数 k 0，那么 x 与 y 这两个量成反比例关系，这里 x与 y 既可以代表单独的一个字母也可以代表多项式或单项式，例如 y+3 与 x 成反比例则有 y+3=xk,y 与 x成反比例，则 y=2xk,成反比例关系不一定是反比例函数，但是反比例函数 y=xk中的两个变量必定成反比例关系。（六）反比例函数 y=xk k 0中的比例系数 k 的几何意义 1如图，过双曲线上一点作 x 轴、y 轴的垂线 PM、PN,所得矩形 PMON 面积为|k|。2连结 PO,则S POM=21S矩形=21|k|。六 函数的应用 1利用图像比较两个函
16、数值的大小 在同一直角坐标系中的两个函数图像，如果其中一个函数的图像在另一个函数图像的上方，则该函数值就比另一个函数值大，若在下方，则该函数值就比另一个函数值小，而其交点的横坐标就是分界点。2两个一次函数图像的交点与二元一次方程组的关系 如果两个一次函数的图像相交，则交点坐标必定同时满足两个函数解析式，故交点坐标是有两个函数解析式组成的二元一次方程组的解。3一次函数与方程、不等式的关系（1）一次函数 y=kx+b 的图像与 x 轴的交点的纵坐标等于 0，反映在函数解析式就是函数值等于 0，则其横坐标也就是自变量的值为方程 kx+b=0 的解。（2）一次函数 y=kx+b 在 x 轴上方的图像，任意一点的纵坐标都大于 0，反映在函数解析式就是函数值 y 0，则对应的横坐标，也就是自变量的值即为不等式 kx+b 0 的解集。（3）一次函数 y=kx+b 在 x 轴下方的图像，任意一点的纵坐标都小于 0，反映在函数解析式就是函数值 y 0，则对应的横坐标，也就是自变量的值即为不等式 kx+b 0 的解集。