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1、用心 爱心 专心 1 2011 年全国各地中考数学试卷分类汇编 规律探索型问题 一 选择题 1.（2011 浙江省，10，3 分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图 A2比图 A1多出 2 个“树枝”，图 A3比图 A2多出 4 个“树枝”，图 A4比图 A3多出8 个“树枝”，照此规律，图 A6比图 A2多出“树枝”（）A.28 B.56 C.60 D.124【答案】C 3.（2011 广东肇庆，15，3 分）如图 5 所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于 0 的整数）个图形需要黑色棋子的个数是【答案】)2(n n
2、4.（2011 内蒙古乌兰察布，18，4 分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆.（用含 n 的代数式表示）【答案】(1)4 n n 或24 n n 5.（2011 湖南益阳，16，8 分）观察下列算式：1 3-22=3-4=-1 2 4-32=8-9=-1 3 5-42=15-16=-1（1）请你按以上规律写出第 4 个算式；第 1 个图形 第 2 个图形 第 3 个图形 第 4 个图形 第 18 题图 用心 爱心 专心 2（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由【答案】解：24 6 5 24
3、 25 1；答案不唯一.如 22 1 1 n n n；22 1 n n n 2 22 2 1 n n n n 2 22 2 1 n n n n 1.6（2011 广东汕头，20，9 分）如下数表是由从 1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第 8 行的最后一个数是，它是自然数 的平方，第 8 行共有 个数；（2）用含 n 的代数式表示：第 n 行的第一个数是，最后一个数是，第 n行共有 个数；（3）求第 n 行各数之和【解】（1）64，8，15；（2）2(1)1 n，2n，2 1 n；（3）第 2 行各数之和等于 3 3；第 3 行各数之和等于 5 7；第 4 行各数之
4、和等于 7 7-13；类似的，第 n 行各数之和等于2(2 1)(1)n n n=3 22 3 3 1 n n n.二 填空题 1.（2011 四川绵阳 18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_个图形共有 120 个。【答案】15 2.（2011 广东东莞，10，4 分）如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形 AFBDCE，它的面积为 1，取 ABC 和 DEF 各边中点，连接成正六角星形 A1F1B1D1C1E1，如用心 爱心 专心 3 图(2)中阴影部分；取 A1B1C1和1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形 A2F2B2D2C2E 2F 2，
5、如图(3)中阴影部分；如此下去，则正六角星形 AnFnBnDnCnE nF n的面积为.【答案】14n 3.（2011 湖南常德，8，3 分）先找规律，再填数：1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11,1 2 2 3 4 2 12 5 6 3 30 7 8 4 56.1 1 1+_.2011 2012 2011 2012 则【答案】11006 4.（2011 广东湛江 20,4 分）已知：2 3 2 33 5 5 63 2 6,5 4 3 60,5 4 3 2 120,6 5 4 3 360 A A A A,L,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算27A（直接写出计算结果）
6、，并比较59A 310A（填“”或“”或“=”）【答案】三 解答题 1.（2011 山东济宁，18，6 分）观察下面的变形规律：2 11 112；3 211231；4 313141；解答下面的问题：（1）若 n 为正整数，请你猜想)1(1 n n；（2）证明你猜想的结论；（3）求和：2 113 214 312010 20091.用心 爱心 专心 4【答案】（1）1 11 n n 1 分（2）证明：n111 n)1(1n nn)1(n nn1(1)n nn n)1(1 n n.3 分（3）原式 112123131412009120101 1 200912010 2010.5 分 2.（2011
7、湖南邵阳，23，8 分）数学课堂上，徐老师出示了一道试题：如图（十）所示，在正三角形 ABC 中，M是 BC边（不含端点 B，C）上任意一点，P 是 BC延长线上一点，N是 ACP的平分线上一点，若 AMN=60，求证：AM=MN。（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。证明：在 AB上截取 EA=MC，连结 EM，得 AEM。1=180-AMB-AMN，2=180-AMB-B，AMN=B=60，1=2.又 CN、平分 ACP，4=12 ACP=60。MCN=3+4=120。又 BA=BC，EA=MC，BA-EA=BC-MC，即 BE=BM。BEM 为等边三角形，
8、6=60。5=10-6=120。由得 MCN=5.在 AEM 和 MCN 中，_,_,_,AEM MCN（ASA）。AM=MN.(2)若将试题中的“正三角形 ABC”改为“正方形 A1B1C1D1”(如图)，N1是 D1C1P1的平分线上一点，则当 A1M1N1=90时，结论 A1M1=M1N1是否还成立？（直接给出答案，不需要证明）（3）若将题中的“正三角形 ABC”改为“正多边形 AnBnCnDnXn”，请你猜想：当 AnMnNn=_时，结论 AnMn=MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）【答案】解：（1）5=MCN，AE=MC，2=1；用心 爱心 专心 5（2）结论成立；（3）
9、02180nn。3.（2011 四川成都，23,4 分）设12 21 1=11 2S,22 21 1=12 3S,32 21 1=13 4S,2 21 1=1(1)nSn n 设1 2.nS S S S，则 S=_(用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数)【答案】122nn n 2 21 11(1)nSn n=21 1 11 2(1)(1)n n n n=21 11 2(1)(1)n n n n=211(1)n n S=1(1)1 2+1(1)2 3+1(1)3 4+1(1)(1)n n 122nn n.接下去利用拆项法1 1 1(1)1 n n n n 即可求和 4.（2011 四川内江
10、，加试 5，12 分）同学们，我们曾经研究过 n n 的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为 12+22+32+n2但 n 为 100 时，应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来探究并解决这个问题首先，通过探究我们已经知道 0 1+12+2 3+(n 1)n=13n(n+1)(n 1)时，我们可以这样做：(1)观察并猜想：12+22=(1+0)1+(1+1)2=1+0 1+2+1 2=(1+2)+(0 1+1 2)12+22+32=(1+0)1+(1+1)2+(1+2)3=1+0 1+2+1 2+3+2 3=(1+2+3)+(0 1+1 2+2 3)12+22+32+42=(
11、1+0)1+(1+1)2+(1+2)3+=1+0 1+2+1 2+3+2 3+=(1+2+3+4)+()(2)归纳结论：12+22+32+n2=(1+0)1+(1+1)2+(1+2)3+1+(n 1)n=1+0 1+2+1 2+3+2 3+n+(n 一 1)n=()+用心 爱心 专心 6=+=16(3)实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当 n 为 100 时，正方形网格中正方形的总个数是【答案】（1+3）4 4+3 4 0 1+1 2+2 3+3 4 1+2+3+n 0 1+1 2+2 3+(n-1)n 1(1)2n n 13n(n+1)(n 1)n(n+1)(2n+1)5.（2011
12、 广东东莞，20，9 分）如下数表是由从 1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第 8 行的最后一个数是，它是自然数 的平方，第 8 行共有 个数；（2）用含 n 的代数式表示：第 n 行的第一个数是，最后一个数是，第 n行共有 个数；（3）求第 n 行各数之和【解】（1）64，8，15；（2）2(1)1 n，2n，2 1 n；（3）第 2 行各数之和等于 3 3；第 3 行各数之和等于 5 7；第 4 行各数之和等于 7 7-13；类似的，第 n 行各数之和等于2(2 1)(1)n n n=3 22 3 3 1 n n n.6.（2011 四川凉山州，19，6 分）我
13、国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是 1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了 na b（n 为正整数）的展开式（按 a 的次数由大到小的顺序 排 列）的 系 数 规 律。例 如，在 三 角 形 中 第 三 行 的 三 个 数 1，2，1，恰 好 对 应 22 22 a b a ab b 展开式中的系数;第四行的四个数 1，3，3，1，恰好对应着 33 2 2 23 3 a b a a b ab b 展开式中的系数等等。用心 爱心 专心 7（1）根据上面的规律，写出 5a b 的展开式。（2）利用上面的规律计算：5 4
14、 3 22 5 2 10 2 10 2 5 2 1【答案】解：55 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5 a b a a b a b a b ab b 原式=2 3 4 55 4 3 22 5 2 1 10 2 1 10 2 1 5 2 1 1=5(2 1)=1 注：不用以上规律计算不给分.7.（2011 四川凉山州，20，7 分）如图，E F、是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE AF，请你猜想：线段BE与线段DF有怎样的关系？并对你的猜想加以证明。【答案】猜想：BE DF。证明：四边形 ABCD 是平行四边形 CB AD，CBAD BCE DAF 在BCE 和DAF CB
15、ADBCE DAFCE AF BCE DAF BE DF，BEC DFA BEDF 即 BE DF。B C D E F A 20 题图 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1（a+b）1（a+b）2（a+b）3 用心 爱心 专心 8 2012 年全国各地中考数学试卷分类汇编 规律探索型问题 12（2012 山东省滨州，12，3 分）求 1+2+22+23+22012的值，可令 S=1+2+22+23+22012，则 2S=2+22+23+24+22013，因此 2S S=22013 1仿照以上推理，计算出 1+5+52+53+52012的值为（）A 52012 1 B 52013 1 C D【
16、解析】设 S=1+5+52+53+52012，则 5S=5+52+53+54+52013，因此，5S S=52013 1，S=【答案】选 C【点评】本题考查同底数幂的乘法，以及类比推理的能力两式同时乘以底数，再相减可得的值（2012 广东肇庆，15，3）观察下列一组数：32，54，76，98，1110，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第 k 个数是【解析】通过观察不难发现，各分数的分子与分母均相差 1，分子为连续偶数，分母为连续奇数【答案】1 22 kk【点评】本题是一道规律探索题目，考查了用代数式表示一般规律，难度较小 18.(2012 年四川省巴中市,18,3)观察下列面一列数：1，
17、-2，3，-4，5，-6，根据你发现的规律，第 2012 个数是 _【解析】观察知:下列面一列数中,它们的绝对值是连续正整数,第 2012 个数的绝对值是2012,值偶数项是负数,故填-2012.【答案】-2012【点评】本题是找规律的问题,确定符号是本题的难点.20.（2012 贵州省毕节市，20，5 分）在下图中，每个图案均由边长为 1 的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第 10 个图案中共有 个小正方形。用心 爱心 专心 9 解析：观察图案不难发现，图案中的正方形按照从上到下成奇数列排布，写出第 n 个图案的正方形的个数，然后利用求和公式写出表达式，再把 n=10 代入进行计算即
18、可得解 答案：解：第 1 个图案中共有 1 个小正方形，第 2 个图案中共有 1+3=4 个小正方形，第 3个 图 案 中 共 有 1+3+5=9 个 小 正 方 形，第 n 个 图 案 中 共 有 1+3+5+（2n-1）=2)1 2 1(n n=n2个小正方形，所以，第 10 个图案中共有 102=100 个小正方形故答案为：100 点评：本题是对图形变化规律的考查，根据图案从上到下的正方形的个数成奇数列排布，得到第 n 个图案的正方形的个数的表达式是解题的关键 18(2012 贵州六盘水，18，4 分)图 7 是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角形”.它的发现比西方要早五百年左
19、右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角形”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了()na b（n为非负整数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数.例如2 2 2()2 a b a ab b 展开式中的系数 1、2、1 恰好对应图中第三行的数字；再入，3 3 2 2 3()3 3 a b a a b ab b 展开式中的系数 1、3、3、1 恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写出4()a b 的展开式.4()a b.分析：该题属规律型，通过观察可发现第五行的系数是：1、4、6、4、1，再根据例子中字母的排列规律即得到答案 解答：解：由题意，4 4 3
20、2 2 3 4()4 6 4 a b a a b a b ab b，故填4 3 2 2 3 44 6 4 a a b a b ab b 用心 爱心 专心 10 点评：本题考查了数字的变化规律，从整体观察还要考虑字母及字母指数的变化规律，从而得到答案 17.（2012 山东莱芜，17，4 分）将正方形 ABCD 的各边按如图所示延长，从射线 AB开始，分别在各射线上标记点3 2 1,A A A.,按此规律，则点 A2012在射线 上.【解析】根据表格中点的排列规律，可以得到点的坐标是每 16 个点排列的位置一循环，2012=16 125+12，所以点 A2012所在的射线和点12A所在的直线一样
21、。因为点12A所在的射线是射线 AB，所以点点 A2012在射线 AB上.【答案】AB【点评】本题是一个规律探索题，可以列出点的排列规律从中得到规律，在变化的点中找到其排列直线的不变的规律，此类问题的排列通常是具有周期性，按照周期循环，本题难度适中.16、（2012，黔东南州，16）如图，第（1）个图有 2 个相同的小正方形，第（1）个图有 2个相同的小正方形，第（2）个图有 6 个相同的小正方形，第（3）个图有 12 个相同的小正方形，第（4）个图有 20 个相同的小正方形，按此规律，那么第（n）个图有 个相同的小正方形。射线名称 点 点 点 点 点 点 点 点 点 A1 A3 A10 A1
22、2 A17 A19 A26 A28 CD A2 A4 A9 A11 A18 A20 A25 A27 BC A5 A7 A14 A16 A21 A23 A30 A32 DA A6 A8 A13 A15 A22 A24 A29 A31 用心 爱心 专心 11（1）（2）（3）（4）解析：因为 1 4 4 5 4 20,1 3 3 4 3 12,1 2 2 3 2 6,1 1 1 2 1 2，故第（n）个图有n n 2个小正方形.答案：n n 2或 n（n+1）点评：本题是探索规律题，解题的关键是从已知图形中找规律，难度中等.15（2012，湖北孝感，15，3 分）2008 年北京成功举办了一届举世
23、瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：年份 1896 1900 1904 2012 届数 1 2 3 n 表中 n 等于 _【解析】有表格可知，每四年举办一次奥运会，由此可得(2012-1896)4+1=30【答案】30【点评】考查了规律型：数字的变化，此题属于规律性题目，解答此题的关键是根据题目中的已知条件找出规律，按照此规律再进行计算即可 16.（2012湖北省恩施市，题号 16 分值 4）观察下表：根据表中数的排列规律，B+D=_.【解析】B 所在行的规律是每个数字等于前两个数字的和，所以 A=3，B=8；D所在行的规律是关于数字 20 左右对称，即
24、D=15，所以 B+D=23.【答案】23【点评】本题主要考查了学生观察和归纳能力，会从所给的数据和表格中寻求规律进行解题 找规律的问题，首先要从最基本的几个数字或图形中先求出数值，并进一步观察具体的变化情况，从中找出一般规律 此类问题“横看成岭侧成峰”，随着观察角度的不同可有不同的规律寻求途径，但最总结果应“殊途同归”。（2012 河北省 17,3 分）17、某数学活动小组的 20 位同学站成一列做报数游戏，规则是：用心 爱心 专心 12 从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加 1，第 1 位同学报 111，第 2位同学报 121，这样得到的 20 个数的积为 _.【解析】化简
25、各位同学的报数，可得第 1 一位同学报 2，第 2 位同学报23，第 3 位同学报34，第 20 个同学报2021，根据观察得到的规律，便可求出它们的乘机。【答案】21【点评】本题是一道找规律的题型，在教学中，要让学生了解解题的过程，知道来龙去脉，才能增加自己的能力。难度中等。20.（2012 珠海，20，9 分）观察下列等式：12 231=132 21，13 341=143 31，23 352=253 32，34 473=374 43，62 286=682 26，以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”.（1）
26、根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：52 25；396 693.（2）设这类等式左边两位数的十位数字为 a，个位数字为 b，且 2 b a 9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含 a、b），并证明.【解析】观察上面的等式,发现“数字对称等式”基本特征,猜想并证明表示“数字对称等式”一般规律的式子.【答案】（1）275,572;63,36;（2）(10a+b)100b+10(a+b)+a 100a+10(a+b)+b(10b+a)证明:左边(10a+b)100b+10(a+b)+a 11(10a+b)(10b+a)右边 100a+10(a+b)+b(10b+a)11(
27、10a+b)(10b+a)左边右边,原等式成立.【点评】本是规律探索题.考查学生阅读理解,观察发现,推理证明的学习能力.14（2012 云南省，14，3 分）观察下列图形的排列规律（其中 分别表示三角形、正方形、五角星）.若第一个图形是三角形，则第 18 个图形是（填图形名称）【解析】主要的是要看清只有三个基本的图形来组成一个规律，三个一组，而且五角星都在最后，前边两个相邻组之间它两的位置互换，三个一组，恰好 18 个是 6 组，第 18 个刚用心 爱心 专心 13 好是第 6 组最后一个，五角星。【答案】五角星【点评】主要考查考生的观察能力和细心程度，要素简单，但要很快找出规律，也要细心揣摩
28、。此题不难。16（2012 山西，16，3 分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第 n 个图案中阴影小三角形的个数是【解析】解：由图可知：第一个图案有阴影小三角形 2 个第二图案有阴影小三角形 2+4=6个第三个图案有阴影小三角形 2+8=12 个，那么第 n 个就有阴影小三角形 2+4（n 1）=4n 2 个，故答案为：4n 2（或 2+4（n 1）【答案】4n 2（或 2+4（n 1）【点评】本题主要考查了图形有规律的变化，再由图形的规律变化挖掘出规律，解决此种类型的关键是分别数清每一个图形中的三角形个数，再由此猜想发现规律，从而写出最终结果.难度中等
29、17（2012 山东东营，17，4 分）在平面直角坐标系xOy中，点1A，2A，3A，和1B，2B，3B，分别在直线y kx b 和x轴上 OA1B1，B1A2B2，B2A3B3，都是等腰直角三角形，如果 A1（1，1），A2（23,27），那么点nA的纵坐标是 _ _【解析】把 A1（1，1），A2（23,27）分别代入y kx b，可求得 k=15,b=45,所以1 45 5y x，与 x 轴交点代坐标为（-4，0），设 A3的纵坐标为 m,则1 4 14 2 3 m m，解得 m=29 3()4 2,同理可得 A4的纵坐标为33()2，nA的纵坐标是123n。【答案】123n【点评】抓住
30、坐标间的变化规律是解题的关键，解此类规律探索题一般可采用从特殊一般的归纳法。21(2012 广东汕头，21，7 分)观察下列等式：第 1 个等式：a1=（1）；y x y=kx+b O B 3 B 2 B 1 A 3 A 2 A 1（第 17 题图）用心 爱心 专心 14 第 2 个等式：a2=（）；第 3 个等式：a3=（）；第 4 个等式：a4=（）；请解答下列问题：（1）按以上规律列出第 5 个等式：a5=；（2）用含有 n 的代数式表示第 n 个等式：an=（n 为正整数）；（3）求 a1+a2+a3+a4+a100的值 分析：（1）（2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子
31、不变，为 1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为 序号的 2 倍减 1 和序号的 2 倍加 1（3）运用变化规律计算 解答：解：根据观察知答案分别为：（1）；（2）；（3）a1+a2+a3+a4+a100的=（1）+（）+（）+（）+=（1+）=（1）=点评：此题考查寻找数字的规律及运用规律计算寻找规律大致可分为 2 个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系 专项二 规律探索型问题（2011 山东省潍坊市，题号 17，分值 3）17、右图中每一个小方格的面积为 1，则可根据面积计算得到如下算式：1 2 7 5 3 1 n=.是正整数 表示，用 n n 用心 爱心 专心
32、15 考点：数学归纳法，规律探索题 解答：当2 n时：22 4 1 2 2 1 3 1 当3 n时：23 9 1 3 2 3 1 5 3 1 当4 n时：24 16 1 4 2 5 3 1 7 5 3 1 猜想：1 2 7 5 3 1 n=2n 点评：在求解规律探索问题时，常常通过特殊到一般，通过特殊值时的结论，总结一般的结论。16（湖南株洲市 3,16）一组数据为：2 3 4,2,4,8,x x x x L观察其规律，推断第 n 个数据应为.【解析】从一组数据第一个数据的系数是正数，第二个数据的系数是负数，字母的次数从 1，2，3 依次排列，所以1 1(1)2n n nx【答案】1 1(1)
33、2n n nx【点评】根据题目的条件列出算式，找出算式中的规律得出乘积。用心 爱心 专心 16 10.（2012 浙江丽水 3 分，10 题）小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图 1 中棋子围成三角形，其颗数 3，6，9，12，成为三角形数，类似地，图 2 中的 4，8，12，16，称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A.2010 B.2012 C.2014 D.2016【解析】：图 1 中棋子颗数都是 3 的倍数，图2 中棋子颗数都是 4 的倍数，要使棋子颗数既是 3的倍数又是 4 的倍数，也即棋子颗数是 12 的倍数，通过计算可知，只有 2016=168 4 能被 4 整
34、除.【答案】：D【点评】：本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析.找出既是三角形数又是正方形数的数是 12 的倍数是解题的突破口.9(2012 重庆，9，4 分)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第个图形一共有 2 个五角星，第个图形一共有 8 个五角星，第个图形一共有 18 个五角星，则第个图形中五角星的个数为()解析：仔细观察图形的特点，它们都是轴对称图形，每一排的个数都是偶数，分别是 2，4，6，6,4,2,故第六个图形五角星个数可列式为：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72.答案：D 点评：观察图形，寻找规律，是解决此类问题的关键，
35、本题也可观察每一列的特点，求出答案。14.（2012 山东省荷泽市，14，3）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33，和 43分别可以按如图所示的方式“分裂”成 2 个、3 个和 4 个连续奇数的和，即 23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;若 63也按照此规律来进行“分裂”，则 63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是 _.【解析】根据题意，得 53=21+23+25+27+29，63=31+33+35+37+39+41，所填 41.【答案】41【点评】根据题目所提供的规律，继续出探索出符合题意的一些特征，最终得出符合条件的数据.用心 爱心
36、 专心 17 16.（2012 广州市，16，3 分）如图 5，在标有刻度的直线 L 上，从点 A 开始，以 AB=1为直径画半圆，记为第 1 个半圆；以 AB=1为直径画半圆，记为第 1 个半圆；以 BC=2为直径画半圆，记为第 2 个半圆；以 CD=4为直径画半圆，记为第 3 个半圆；以 DE=8为直径画半圆，记为第 4 个半圆；，按此规律，继续画半圆，则第 4 个半圆的面积是第 3 个半圆面积的 倍，第 n 个半圆的面积为。（结果保留）【解析】根据规律找出每个半圆的半径，第 n 个半圆的直径为 2n 1。【答案】第 4 个半圆的面积:第 3 个半圆面积=12（12 8）2：12（12 8
37、）2=4.第 n 个半圆的面积为12（12 2n 1）2=22n 5。【点评】本题主要根据每个半圆的直径与第 n 个半圆的关系求出直径的规律。专项二 规律探索型问题 8.（2012 江苏盐城，8，3 分）已知整数 a1,，a2，a3，a4，满足下列条件：a1=0，a2=-11 a,a3=-22 a,a4=-33 a,依次类推，则 a2012的值为 A-1005 B-1006 C-1007 D-2012【解析】本题考查了有理数的计算规律.掌握探索规律的方法是关键.先由已知条件分别计算出 a1,，a2，a3，a4的值，再寻找规律【答 案】由 于 a1=0，a2=-11 a=-1，a3=-22 a=
38、-1，a4=-33 a=-2，a5=-2,a6=-3,a7=-3,a8=-4,a9=-4,a10=-5,a11=-5,a12=-6,所以 a2012=-20122=-1006,故选B【点评】题考查探索、归纳和猜想的能力探索应从简单到复杂、从特殊到一般、从具体到抽象进行归纳与猜想 10.（2012 浙江省绍兴，10，3 分）如图，直角三角形纸片 AB C 中，A B=3，A C=4 D为斜边 BC中点，第 1 次将纸片折叠，使点 A与点 D重合，折痕与 AD 交于点 P1；设 P1D的中点为 D1，第 2 次将纸片折叠，使点 A与点 D1重合，折痕与 AD 交于 P2；设 P2D1的中点为 D2
39、，第 3 次将纸片折叠，使点 A 与点 D2重合，折痕与 AD交于点 P3；设 Pn-1Dn-2的中点为 Dn-1，第 n 次将纸片折叠，使点 A与点 Dn-1重合，折痕与 AD 交于点 Pn（n 2），则 AP6的长为（）用心 爱心 专心 18 第 10 题图 A.12523 5 B.952 53 C.14623 5 D.1172 53【解析】解析：在 Rt ABC 中，AC=4，AB=3，所以 BC=5，又 D是 BC的中点，所以 AD=52，因为点 A、D是一组对称点，所以 AP1=5212，因为是 D1是 D P1的中点，所以 A D1=521232，即 AP2=52123212，同理
40、 AP3=5212（3212）2，APn=5212（3212）n-1，所以 AP6=5212（3212）5=5125 32，故应选 A【答案】A【点评】找规律的问题，首先要从最基本的几个图形中先求出数值，并进一步观察具体的变化情况，从中找出一般规律 10.（2012 浙江丽水 3 分，10 题）小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图 1 中棋子围成三角形，其颗数 3，6，9，12，成为三角形数，类似地，图 2 中的 4，8，12，16，称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A.2010 B.2012 C.2014 D.2016【解析】：图 1 中棋子颗数都是 3 的倍数，图2 中
41、棋子颗数都是 4 的倍数，要使棋子颗数既是 3的倍数又是 4 的倍数，也即棋子颗数是 12 的倍数，通过计算可知，只有 2016=168 4 能被 4 整除.【答案】：D【点评】：本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析.找出既是三角形数又是正方形数的数是 12 的倍数是解题的突破口.14（2012 江苏泰州市，14,3 分）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：x，3x2，5x3，9x5，【解析】看系数是 1,3,5,7，第四项应是 7，看指数第第四项是 x4第四项是 7x4【答案】7x4【点评】本题主要考查规律探索，做此类问题关键在细心观察、认真分析，如果次数较少可按规律
42、一次写下去 10（2012 贵州铜仁，10，4 分如图，第个图形中一共有 1 个平行四边形，第个图形中一共有 5 个平行四边形，第个图形中一共有 11 个平行四边形，则第个图形中平行四边形的个数是（）用心 爱心 专心 19 A.54 B.110 C.19 D.109【解析】仔细观察图形可得，图形中 1=1 1+0，图形中 5=2 2+1，图形中 11=3 3+2，依次类推，第个图形中平行四边形的个数是 10 10+9=109【解答】D.【点评】本题考查了图形的变化规律，较难.探索规律的问题是近几年数学中考的一个“热门”题型.解决这类问题的基本思路是：通过观察、分析若干特殊情形，归纳总结出一般性
43、结论，然后验证其结论的正确性.15（2012 湖北随州，15,4 分）平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线。若平面内的不同的 n 个点最多可确定 15 条直线，则 n 的值为 _。6 解析：设有 n 个点时，(1)152n n，解得 n=6 或 n=-5（舍去）答案：6 点评：本题是个规律性题目，关键知道当不在同一平面上的 n 个点时，可确定(1)2n n 条直线，再代入 15 可求出解 16(2012 山东德州中考,16,4,)如图，在一单位为 1 的方格纸上，1 2 3A A A，3 4 5A A A，5 6 7A A A，都是斜边在 x 轴上、斜边长分别为 2，4，6
44、，的等腰直角三角形若1 2 3A A A的顶点坐标分别为1A(2，0)，2A(1，-1)，3A(0，0)，则依图中所示规律，2012A的坐标为 16【解析】画出图像可找到规律，下标为 4n(n 为非负整数)的 A点横坐标为 2，纵坐标为 2n,则2012A的坐标为（2，1006）【答案】（2，1006）【点评】这类问题要善于总结，正确分析出题中所隐含的规律 24（2012 四川内江，24，6 分）设 ai 0（i 1，2，2012），且满足11aa22aa20122012aa 1968，则直线 y aix i（i 1，2，2012）的图象经过第一、二、四象限的概率A8A7A6A4A2A1A5A
45、3x y O 10 题图 用心 爱心 专心 20 为.【解析】因为11aa可能等于 1，也可能等于 1，类似的22aa，20122012aa都具有这种现象，而11aa22aa20122012aa 1968，从11aa到20122012aa又有 2012 个比值，2012 1968 44，所以11aa，22aa，20122012aa中一定有 22 个 1 和 22 个 1 之间相加产生 22 个 0，那么11aa，22aa，20122012aa这些比值中会有 22 个 1，所以 ai（i 1，2，2012）中会有 22 个负数，则直线 y aix i（i 1，2，2012）的图象经过第一、二、四
46、象限的概率为222012111006【答案】111006【点评】直线 y aix i（i 1，2，2012）经过第一、二、四象限要求 ai 0，i 0，只要判断出 ai（i 1，2，2012）中有多少个负数，然后利用简易概率求法公式：P（A）mn，求解即可另外，解答此题需要良好的逻辑推理能力，对学生的思维能力要求较高，启示平时学习中要注意将数学思考变成习惯 9(2012 重庆，9，4 分)下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第个图形一共有 2 个五角星，第个图形一共有 8 个五角星，第个图形一共有 18 个五角星，则第个图形中五角星的个数为()解析：仔细观察图形的特点，它们都是
47、轴对称图形，每一排的个数都是偶数，分别是 2，4，6，6,4,2,故第六个图形五角星个数可列式为：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72.答案：D 点评：观察图形，寻找规律，是解决此类问题的关键，本题也可观察每一列的特点，求出答案。23（2012 四川内江，23，6 分）如图 12，已知 A1，A2，A3，An，是 x 轴上的点，且 OA1 A1A2 A2A3 An-1An 1，分别过点 A1，A2，A3，An，作 x 轴的垂线交反比例函数 y1x(x 0)的图象于点 B1，B2，B3，Bn，过点 B2作 B2P1 A1B1于点 P1，过点 B3作 B3P2 A2B2于点 P2
48、，记B1P1B2的面积为 S1，B2P2B3的面积为 S2，BnPnBn+1用心 爱心 专心 21 的面积为 Sn，则 S1 S2 S3 Sn.【解析】由 OA1 A1A2 A2A3 An-1An 1，可得 P1B2 P2B3 P3B4 PnBn+1 1，以及 B1（1，1），B2（2，12），B3（3，13），Bn（n，1n），Bn+1（n 1，11 n），所以S1 S2 S3 Sn12B1P1P1B212B2P2P2B312BnPnPnBn+112(B1P1 B2P2 BnPn)12(1 1212131n11 n)12(1 11 n)2(1)nn【答案】2(1)nn【点评】各地中考经常将反
49、比例函数与三角形、矩形的面积结合在一起考查，本题属于这类问题中的较难问题 解答时需注意：1.耐心、认真阅读题意，抓住各三角形的水平直角边都等于 1 这一特征，从而将面积和转化为竖直直角边和的一半；2.能用解析思想表达出B1，B2，B3，Bn的坐标，进而表达出所有直角三角形竖直直角边的长；3.具有一定的数式规律探究能力 14.（2012 山东省荷泽市，14，3）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23，33，和 43分别可以按如图所示的方式“分裂”成 2 个、3 个和 4 个连续奇数的和，即 23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;若 63也按照此规律来
50、进行“分裂”，则 63“分裂”出的奇数中，最大的那个奇数是 _.【解析】根据题意，得 53=21+23+25+27+29，63=31+33+35+37+39+41，所填 41.【答案】41【点评】根据题目所提供的规律，继续出探索出符合题意的一些特征，最终得出符合条件的数据.16.（2012 广州市，16，3 分）如图 5，在标有刻度的直线 L 上，从点 A 开始，以 AB=1为直径画半圆，记为第 1 个半圆；以 AB=1为直径画半圆，记为第 1 个半圆；以 BC=2为直径画半圆，记为第 2 个半圆；以 CD=4为直径画半圆，记为第 3 个半圆；以 DE=8为直径画半圆，y x O A1 A2