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1、 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两 个 原 理 解 决 一 些 简 单 的 实 际 问题.知识聚焦 不简单罗列 1分类加法计数原理 完成一件事有 n 类不同的方案，在第一类方案中有 m1种不同的方法，在第二类方案中有 m2种不同的方法，在第 n 类方案中有 mn种不同的方法，则完成这件事情，共有 N _种不同的方法 2分步乘法计数原理 完成一件事情需要 n 个不同的步骤，完成第一步有 m1种不同的方法，完成第二步有 m2种不同的方法，完成第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事情共有 N_种不同的方法 3两个
2、计数原理的区别 分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数 它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成 正本清源 不单纯记忆 链接教材 1 教材改编 现有高一年级的学生 3 名，高二年级的学生 5 名，从中任选 1 人参加接待外宾的活动，有 _种不同的选法 2 教材改编 5 位同学站成一排准备照相的时候，有 2 位老师碰巧路过，同学们强烈要求与老师合影留念，如果 5 位同学顺序一定，那么 2 位老师与同学们站成一排照相的站法总数为
3、 _ 3 教材改编 如图 9551 所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有 _种 图 9551 易错问题 4分类加法计数原理：每一种方法都能完成这件事情；类与类之间是独立的 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有 _种 5分步乘法计数原理：所有步骤完成才算完成；步与步之间是相关联的 将甲、乙、丙等 6 人分配到高中三个年级，每个年级 2 人，要求甲必须在高一年级，乙和丙均不能在高三年级，则不同的安排种数为 _ 通性通法 6分类计数原理：分类时标准要明确 如果把个位数是 1，且恰有三个数字相同的四位数叫作“好数
4、”，那么在由 1，2，3，4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有 _ 7分步计数原理：步骤互相独立，互不干扰；步与步确保连续，逐步完成 某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母 B，C，D 中选择，其他四个号码可以从 0 9 这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字 3，5，6，8，9 中选择，其他号码只想在 1，3，6，9 中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有 _种 探究点一 分类加法计数原理 1 某校开设 A 类选修课 2 门，B 类选修课 3 门，一位同学从中选 3 门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有
5、()A 3 种 B 6 种 C 9 种 D 18 种(2)现有 5 种不同的颜色可供使用，将一个五棱锥的各个侧面涂色，5 个侧面分别编号为 1，2，3，4，5，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法有 _种 总结反思 分类标准是运用分类计数原理的难点所在，重点在于抓住题目中的关键词、关键元素或关键位置首先，根据题目特点恰当选择一个分类标准；其次，分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类 应用分类加法计数原理时，应先明确分类标准，确保计数不重复，不遗漏 式题(1)某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选 4 名学生发言，要求甲、乙 2 人至少有 1 人参加，则不同的发言顺
6、序的种数为()A 840 B 720 C 600 D 30(2)如图 9552 所示为某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从 A 到 H 可走的不同的旅游路线的条数为()图 9552 A 15 B 16 C 17 D 18 探究点二 分步乘法计数原理 2(1)将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有 _种(2)将 A，B，C，D，E，F 六个字母排成一排，且 A，B 均在 C 的同侧，则不同的排法共有 _种(用数字作答)总结反思 利用分步乘法计数原理解决
7、问题时应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，以元素(或位置)为主体的计数问题，通常先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)；(2)对完成每一步的不同方法种数要根据条件准确确定 式题(1)某节目制作组选取了 6 户家庭到 4 个村庄体验农村生活，要求将 6 户家庭分成 4 组，其中 2 组各有 2 户家庭，另外 2 组各有 1 户家庭，则不同的分配方案的种数是()A 216 B 420 C 720 D 1080(2)用 5 种不同的颜色为如图 9553 所示的广告牌着色，要求在四个不同区域中相邻的区域不用同一种颜色，则不同的着色方法种数为()图 9553 A
8、320 B 240 C 180 D 135 探究点三 两个计数原理的综合 3(1)设集合 A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi 1，0，1，i 1，2，3，4，5，那么集合 A 中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()A 60 B 90 C 120 D 130(2)用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为 1，2，9 的 9 个小正方形(如图 9554)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为 1，5，9 的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 _种 图 9554 总结反思(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其
9、中一类(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，只有完成每一步，整件事才算完成(3)若综合利用两个计数原理，一般先分类再分步 式题 设集合 I 1，2，3，4，5，选择集合 I 的两个非空子集 A 和 B，若集合 B 中最小的元素大于集合 A 中最大的元素，则不同的选择方法共有()A 50 种 B 49 种 C 48 种 D 47 种 学科能力 自主阅读型 误区警示 21.分类与分步不当致误【典例】若从 1，2，3，9 这 9 个整数中取 4 个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A 60 种 B 63 种 C 65 种 D 66 种 解析 D 先找出 和为偶数的各种情况，再利用分类加
10、法计数原理求解满足题设的取法可分为三类：一是 4 个都是奇数，在奇数 1，3，5，7，9 中，任意取 4 个，有 C54 5(种)；二是 2 个奇数 2个偶数，在 5 个奇数中任取 2 个，再在偶数 2，4，6，8 中任取 2 个，有 C52C42 60（种）；三是 4 个都是偶数，取法有 1 种所以满足条件的取法共有 5 60 1 66(种).处对和为偶数的情况把握不准；处对两个奇数和两个偶数相加和为偶数计数时，是分步还是分类区分不清，错把分步看成分类，而误用加法公式.【跟踪练习】(1)2015 唐山二模 一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得 2 分、1 分、0 分已知甲球队已赛 4 场，积 4 分，则在这 4 场比赛中，甲球队胜、平、负(包括顺序)的情况共有()A 7 种 B 13 种 C 18 种 D 19 种(2)给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有 _种