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1、 二次函数与四边形的动点问题(含答案)2 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 二次函数与四边形 一二次函数与四边形的形状 例 1.(浙江义乌市)如图，抛物线223yxx与 x 轴交 A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于 A、C两点，其中 C点的横坐标为 2（1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平 行线交抛物线于 E 点，求线段 PE 长度的最大值；（3）点 G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果
2、存在，求出所有满足条件的 F点坐标；如果不存在，请说明理由 练习 1.(河南省实验区)23如图，对称轴为直线72x 的抛物线经过点 A（6，0）和 B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点 E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形 OEAF 是以 OA 为对角线的平行四边形求平行四边形 OEAF 的面积 S 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当平行四边形 OEAF 的面积为 24 时，请判断平行四边形 OEAF 是否为菱形？A 72x B(0,4)A(6,0)E F x y O 线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大
3、值点是抛物线上的动点在轴上理由练习河南省实验区如图对称轴为直线的抛物线经过点和求抛物线解析式及顶点坐标设点是抛物线上一动点且位于行四边形的面积为时请判断平行四边形是否为菱形精品好资料如有侵权请联系网站删除是否存在点使平行四边形为正精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 是否存在点 E，使平行四边形 OEAF 为正方形？若存在，求出点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x轴交于点(1 0)A，和(5 0)B，的抛物线1l的顶点为(3 4)C，抛物线2l与1l关于x轴对称，顶点为C（1）求抛物线2l的函数关系式；（2）已知
4、原点O，定点(0 4)D，2l上的点P与1l上的点P始终关于x轴对称，则当点P运动到何处时，以点DOPP，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l上是否存在点M，使ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M的坐标；若不存在，说明理由 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A E B C 1 O 2l 1l x y 线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大值点是抛物线上的动点在轴上理由练习河南省实验区如图对称轴为直线的抛物线经过点和求抛物线解析式及顶点坐标设点是抛物线上一动点且位于行四边形的面积为时请判断平行四边形是否
5、为菱形精品好资料如有侵权请联系网站删除是否存在点使平行四边形为正精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 练习 3.（山西卷）如图，已知抛物线1C与坐标轴的交点依次是(4 0)A，(2 0)B，(0 8)E，（1）求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C的解析式；（2）设抛物线1C的顶点为M，抛物线2C与x轴分别交于CD，两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S若点A，点D同时以每秒1 个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止求出四边形MDNA的面积
6、S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由 二、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）1.【08 湖北十堰】已知抛物线baxaxy22与x轴的一个交点为A(-1,0)，与 y轴的正半轴交于点C 直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点 B 的坐标；当点 C 在以 AB为直径的P 上时，求抛物线的解析式；坐标平面内是否存在点M,使得以点 M 和中抛物线上的三点 A、B、C 为顶点的四边形是平行四边
7、形？若存在,请求出点M的坐标；若不存在,请说明理由 线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大值点是抛物线上的动点在轴上理由练习河南省实验区如图对称轴为直线的抛物线经过点和求抛物线解析式及顶点坐标设点是抛物线上一动点且位于行四边形的面积为时请判断平行四边形是否为菱形精品好资料如有侵权请联系网站删除是否存在点使平行四边形为正精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 2.【09 浙江湖州】已知抛物线22yxxa（0a）与y轴相交于点A，顶点为M.直线12yxa分别与x轴，y轴相交于BC，两点，并且与直线AM相交于点N.(1)填空：试用
8、含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则 MN ，；(2)如图，将NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N恰好落在抛物线上，AN与x轴交于点D，连结CD，求a的值和四边形ADCN的面积；(3)在抛物线22yxxa（0a）上是否存在一点P，使得以PACN，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，试说明理由.二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形 确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）1【09 福建莆田】已知，如图抛物线23(0)yaxaxc a与 y 轴交于 C点，与 x 轴交于 A、B两点，A点在 B点左侧。点 B的坐标为(1，0),OC=30B
9、 (1)求抛物线的解析式；第（2）题 x y B C O D A M N N x y B C O A M N 备用图（第 2 题）线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大值点是抛物线上的动点在轴上理由练习河南省实验区如图对称轴为直线的抛物线经过点和求抛物线解析式及顶点坐标设点是抛物线上一动点且位于行四边形的面积为时请判断平行四边形是否为菱形精品好资料如有侵权请联系网站删除是否存在点使平行四边形为正精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 (2)若点 D是线段 AC下方抛物线上的动点，求四边形 ABCD 面积的最大值：(3)若点
10、E在 x 轴上，点 P在抛物线上。是否存在以 A、C、E、P为顶点且以 AC为一边的平行四边形?若存在，求点 P的坐标；若不存在，请说明理由 2.【09 福建南平】已知抛物线：xxy22121（1）求抛物线1y的顶点坐标.（2）将抛物线1y向右平移 2 个单位，再向上平移 1 个单位，得到抛物线2y，求抛物线2y的解析式.（3）如下图，抛物线2y的顶点为 P，x轴上有一动点 M，在1y、2y这两条抛物线上是否存在点 N，使 O（原点）、P、M、N 四点构成以 OP 为一边的平行四边形，若存在，求出 N 点的坐标；若不存在，请说明理由.两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平
11、行四边形得边或对角线 线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大值点是抛物线上的动点在轴上理由练习河南省实验区如图对称轴为直线的抛物线经过点和求抛物线解析式及顶点坐标设点是抛物线上一动点且位于行四边形的面积为时请判断平行四边形是否为菱形精品好资料如有侵权请联系网站删除是否存在点使平行四边形为正精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 1【07 浙江义乌】如图，抛物线223yxx与 x 轴交 A、B两点（A点在 B点左侧），直线l与抛物线交于 A、C两点，其中 C点的横坐标为 2（1）求 A、B 两点的坐标及直线 AC 的函数表达式
12、；（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过 P 点作 y 轴的平行线交抛物线于 E点，求线段 PE 长度的最大值；（3）点 G 抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使 A、C、F、G 这样 的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的 F 点坐标；如果不存在，请说明理由 2【09 辽宁抚顺】已知：如图所示，关于x的抛物线2(0)yaxxc a 与x轴交于点(2 0)A，、点(6 0)B，与y轴交于点C（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；（3）在（2）中的直线AD交抛
13、物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q是否存在以AMPQ、为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由 B A O C y x 线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大值点是抛物线上的动点在轴上理由练习河南省实验区如图对称轴为直线的抛物线经过点和求抛物线解析式及顶点坐标设点是抛物线上一动点且位于行四边形的面积为时请判断平行四边形是否为菱形精品好资料如有侵权请联系网站删除是否存在点使平行四边形为正精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 1 如图，抛物线 y12x2x32与 x 轴相
14、交于 A、B 两点，顶点为 P（1）求点 A、B 的坐标；（2）在抛物线是否存在点 E，使ABP 的面积等于ABE 的 面积，若存在，求出符合条件的点 E 的坐标；若不存在，请说 明理由；（3）坐标平面内是否存在点 F，使得以 A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，直接 写出所有符合条件的点 F的坐标 2 如图，抛物线与x轴交于A（1x，0）、B（2x，0）两点，且12xx，与y轴交于点 0,4C，其中12xx，是方程24120 xx的两个根。（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MNBC，交AC于点N，连接CM，当CMN的面积最大时，求点M的坐标；（3）点 4
15、,Dk在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在y x O B M N C A 28 题线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大值点是抛物线上的动点在轴上理由练习河南省实验区如图对称轴为直线的抛物线经过点和求抛物线解析式及顶点坐标设点是抛物线上一动点且位于行四边形的面积为时请判断平行四边形是否为菱形精品好资料如有侵权请联系网站删除是否存在点使平行四边形为正精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 x轴上是否存在点F，使以ADEF、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由。3 如图
16、，抛物线23yaxbx与x轴交于AB，两点，与y轴交于 C 点，且经过点(23)a，对称轴是直线1x，顶点是M（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点PA CN，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线3yx 与 y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与BD，重合），经过ABE，三点的圆交直线BC于点F，试判断AEF的形状，并说明理由；（4）当E是直线3yx 上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）5 已知二次函数2yaxbxc（0a）的图象经过点(1 0)
17、A，(2 0)B，(02)C，直线xm（2m）与x轴交于点D（1）求二次函数的解析式；（2）在直线xm（2m）上有一点E（点E在第四象限），使得EDB、为顶点的三角形与以AOC、为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由 O B x y A M C 1 3（第 3 题y x O 线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大值点是抛物线上的动点在轴上理由练习河南省实验区如图对称轴为直线的抛物线经过点和求抛物
18、线解析式及顶点坐标设点是抛物线上一动点且位于行四边形的面积为时请判断平行四边形是否为菱形精品好资料如有侵权请联系网站删除是否存在点使平行四边形为正精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 二二次函数与四边形的面积 例 1.（资阳市）25.如图 10，已知抛物线 P：y=ax2+bx+c(a 0)与 x 轴交于 A、B两点(点 A在 x 轴的正半轴上)，与 y 轴交于点 C，矩形 DEFG 的一条边 DE在线段 AB上，顶点 F、G分别在线段 BC、AC上，抛物线 P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x -3-2 1 2 y -52-4-52 0 (1)求 A、B、
19、C三点的坐标；(2)若点 D的坐标为(m，0)，矩形 DEFG 的面积为 S，求S 与 m的函数关系，并指出 m的取值范围；(3)当矩形 DEFG 的面积 S 取最大值时，连接 DF并延长至点 M，使 FM=k DF，若点 M不在抛物线 P上，求 k 的取值范围.练习 1.如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（8，0），点N的坐标为（6，4）（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转 180的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别
20、在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m图 10 线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大值点是抛物线上的动点在轴上理由练习河南省实验区如图对称轴为直线的抛物线经过点和求抛物线解析式及顶点坐标设点是抛物线上一动点且位于行四边形的面积为时请判断平行四边形是否为菱形精品好资料如有侵权请联系网站删除是否存在点使平行四边形为正精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存
21、在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由 练习 3.（吉林课改卷）如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一钉子动点P，Q同时从点A出发，点P沿ABC方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿AD方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为2cmy（1）当01x时，求y与x之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；（3）当12x时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ的变化范围；（4）当02x时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的
22、函数图象 练习 4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线 l1：y=x2-4的图象与 x轴相交于 A、C两点，B 是抛物线 l1上的动点(B 不与 A、C 重合)，抛物线 l2与 l1关于 x轴对称，以 AC 为对角线的平行四边形 ABCD 的第四个顶点为 D.(1)求 l2的解析式；(2)求证：点 D 一定在 l2上；(3)ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一B C P O D Q A B P C O D Q A y 3 2 1 O 1 2 x 线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大值点是抛物线上的动点在轴上理由练习河南省实验区
23、如图对称轴为直线的抛物线经过点和求抛物线解析式及顶点坐标设点是抛物线上一动点且位于行四边形的面积为时请判断平行四边形是否为菱形精品好资料如有侵权请联系网站删除是否存在点使平行四边形为正精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由.注：计算结果不取近似值.三二次函数与四边形的动态探究 例 1.(荆门市)28.如图 1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片 OABC，已知 O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点 P 是 OA 边上的动点(与点 O、A不重合)现将PAB 沿 PB 翻折，得到PDB；再在 O
24、C边上选取适当的点 E，将POE 沿 PE 翻折，得到PFE，并使直线 PD、PF 重合(1)设 P(x，0)，E(0，y)，求 y关于 x的函数关系式，并求 y的最大值；(2)如图 2，若翻折后点 D 落在 BC 边上，求过点 P、B、E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点 Q，使PEQ 是以 PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标 例 2.（2010 年沈阳市第 26题）、已知抛物线 yax2bxc与 x 轴交于 A、B 两点，与 y轴交于点C，其中点 B 在 x轴的正半轴上，点 C 在 y轴的正半轴上，线段OB、OC 的
25、长（OBOC）是方程 x210 x160 的两个根，且抛物线的对称轴是直线 x2（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；图 1 FEPDyxBACO图 2 OCABxyDPEF线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大值点是抛物线上的动点在轴上理由练习河南省实验区如图对称轴为直线的抛物线经过点和求抛物线解析式及顶点坐标设点是抛物线上一动点且位于行四边形的面积为时请判断平行四边形是否为菱形精品好资料如有侵权请联系网站删除是否存在点使平行四边形为正精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（3）连接 AC、BC，若点
26、 E 是线段 AB上的一个动点（与点 A、点 B 不重合），过点 E 作 EFAC 交BC 于点 F，连接 CE，设 AE的长为 m，CEF 的面积为 S，求 S 与 m 之间的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出 S 的最大值，并求出此时点 E 的坐标，判断此时BCE 的形状；若不存在，请说明理由 例 3.(湖南省郴州)27如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC4，将矩形 ABCD 沿对角线 A平移，平移后的矩形为 EFGH（A、E、C、G 始终在同一条直线上），当点 E 与 C 重时停止移动平移中 EF 与BC 交于点
27、N，GH 与 BC 的延长线交于点 M，EH 与 DC 交于点 P，FG 与 DC 的延长线交于点 Q设S 表示矩形 PCMH 的面积，S表示矩形 NFQC 的面积（1）S 与S相等吗？请说明理由（2）设 AEx，写出 S 和 x 之间的函数关系式，并求出 x取何值时 S 有最大值，最大值是多少？（3）如图 11，连结 BE，当 AE为何值时，ABE是等腰三角形 练习 1.（07 年河池市）如图 12，四边形 OABC 为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）点M从O出发以每秒 2 个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒 1 个单位长度的速度向C运动其中一个动点到达终点
28、时，另一个xNMQPHGFEDCBA图 11 QPNMHGFEDCBA图图 12 yxPQBCNMOA线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大值点是抛物线上的动点在轴上理由练习河南省实验区如图对称轴为直线的抛物线经过点和求抛物线解析式及顶点坐标设点是抛物线上一动点且位于行四边形的面积为时请判断平行四边形是否为菱形精品好资料如有侵权请联系网站删除是否存在点使平行四边形为正精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 动点也随之停止运动过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC 交 NP 于 Q，连结 MQ （1）点 （填 M 或 N）能到达
29、终点；（2）求AQM 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系式，并写出自 变量 t 的取值范围，当 t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点 M，使得AQM 为直角三角形？若存在，求出点 M 的坐标，若不存在，说明理由 练习 2.(江西省)25实验与探究（1）在图 1，2，3 中，给出平行四边形ABCD的顶点ABD，的坐标（如图所示），写出图1，2，3 中的顶点C的坐标，它们分别是(5 2)，；（2）在图 4 中，给出平行四边形ABCD的顶点ABD，的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含abcdef，的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4 的观察和顶点C的坐标的
30、探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A abB cdC mnD ef，（如图 4）时，则四个y C()A ab，()D ef，()Bc d，O x 图 4 y C()A(4 0)D，(1 2)B，O x 图 1 y C()A(0)D e，()B cd，O x 图 2 y C()A ab，()D eb，()B cd，O x 图 3 线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大值点是抛物线上的动点在轴上理由练习河南省实验区如图对称轴为直线的抛物线经过点和求抛物线解析式及顶点坐标设点是抛物线上一动点且位于行四边
31、形的面积为时请判断平行四边形是否为菱形精品好资料如有侵权请联系网站删除是否存在点使平行四边形为正精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 72x B(0,4)A(6,0)E F x y O 顶点的横坐标acme，之间的等量关系为 ；纵坐标bdnf，之间的等量关系为 （不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)yxcxc和三个点15192222GccScc，(2 0)Hc，（其中0c）问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以GSHP，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标 答案：一二次函数与四边形的形状 例 1.解：（1）令
32、 y=0，解得11x 或23x A（-1，0）B（3，0）；将 C 点的横坐标 x=2 代入223yxx得 y=-3，C（2，-3）直线 AC 的函数解析式是 y=-x-1 （2）设 P 点的横坐标为 x（-1x2）则 P、E 的坐标分别为：P（x，-x-1），E（2(,23)x xxP 点在 E 点的上方，PE=22(1)(23)2xxxxx 当12x 时，PE的最大值=94（3）存在 4 个这样的点 F，分别是1234(1,0),(3,0),(47 0),(47,0)FFFF，练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x，可设解析式为27()2ya xk把 A、B 两点坐标代入上式，得 2
33、27(6)0,27(0)4.2akak 解之，得225,.36ak 故抛物线解析式为22725()326yx，顶点为725(,).26（2）点(,)E x y在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326yx，线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大值点是抛物线上的动点在轴上理由练习河南省实验区如图对称轴为直线的抛物线经过点和求抛物线解析式及顶点坐标设点是抛物线上一动点且位于行四边形的面积为时请判断平行四边形是否为菱形精品好资料如有侵权请联系网站删除是否存在点使平行四边形为正精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 y
34、0,y 表示点 E到 OA的距离OA 是OEAF的对角线，2172264()2522OAESSOA yy 因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的 取值范围是 1x6 根据题意，当 S=24 时，即274()25242x 化简，得271().24x 解之，得123,4.xx 故所求的点 E 有两个，分别为 E1（3，4），E2（4，4）点 E1（3，4）满足 OE=AE，所以OEAF是菱形；点 E2（4，4）不满足 OE=AE，所以OEAF不是菱形 当 OAEF，且 OA=EF 时，OEAF是正方形，此时点 E 的坐标只能是（3，3）而坐标为（3，3）的点不在抛物线
35、上，故不存在这样的点 E，使OEAF为正方形 练习 2.解：（1）由题意知点C的坐标为(34)，设2l的函数关系式为2(3)4ya x又点(1 0)A，在抛物线2(3)4ya x上，2(13)40a ，解得1a 抛物线2l的函数关系式为2(3)4yx（或265yxx）（2）P与P始终关于x轴对称，PP与y轴平行 设点P的横坐标为m，则其纵坐标为265mm，4OD，22654mm，即2652mm 当2652mm 时，解得36m 当2652mm 时，解得32m 当点P运动到(36 2)，或(36 2)，或(322)，或(322)，时，P POD，以点DOPP，为顶点的四边形是平行四边形 5 4 3
36、 2 1 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 A E B C 1 O 2l 1l x y 线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大值点是抛物线上的动点在轴上理由练习河南省实验区如图对称轴为直线的抛物线经过点和求抛物线解析式及顶点坐标设点是抛物线上一动点且位于行四边形的面积为时请判断平行四边形是否为菱形精品好资料如有侵权请联系网站删除是否存在点使平行四边形为正精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除（3）满足条件的点M不存在理由如下：若存在满足条件的点M在2l上，则90AMB，30BAM（或30ABM），114222BMAB
37、过点M作MEAB于点E，可得30BMEBAM 112122EBBM ，3EM，4OE 点M的坐标为(43)，但是，当4x 时，246 451624533y 不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形 练习 3.解（1）点(4 0)A，点(2 0)B，点(0 8)E，关于原点的对称点分别为(4 0)D，(2 0)C，(08)F，设抛物线2C的解析式是 2(0)yaxbxc a，则16404208abcabcc ，解得168abc ，所以所求抛物线的解析式是268yxx （2）由（1）可计算得点(31)(31)MN，过点N作NHAD，垂足为H当运动到时刻t时，282ADODt，12NHt 根据中心对
38、称的性质OAODOMON，所以四边形MDNA是平行四边形 所以2ADNSS所以，四边形MDNA的面积2(82)(12)4148Stttt 因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知04t 所以，所求关系式是24148Stt，t的取值范围是04t （3）781444St，（04t）所以74t 时，S有最大值814 提示：也可用顶点坐标公式来求（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形 由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是ADMN，所以当ADMN时四边形MDNA是矩形 线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大值点是抛物线上的动点在轴上理由练习河南省实验区
39、如图对称轴为直线的抛物线经过点和求抛物线解析式及顶点坐标设点是抛物线上一动点且位于行四边形的面积为时请判断平行四边形是否为菱形精品好资料如有侵权请联系网站删除是否存在点使平行四边形为正精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 所以ODON所以2222ODONOHNH 所以22420tt 解之得126262tt，（舍）所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时62t 二二次函数与四边形的面积 例 1.解：（1）解法一：设)0(2acbxaxy，任取x,y 的三组值代入，求出解析式2142yxx，令 y=0，求出124,2xx；令 x=0，得 y=-4，A、B、
40、C三点的坐标 分别是 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4).(3)SDEFG=12m-6m2(0 m 2)，m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是 6.当矩形面积最大时，其顶点为 D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，设直线 DF的解析式为 y=kx+b，易知，k=23，b=-23，2233yx，又可求得抛物线 P的解析式为：2142yxx，令2233x=2142xx，可求出3611x.设射线DF与抛物线P相交于点N，则 N的横坐标为1613，过N作 x 轴的垂线交x 轴于H，有 FNHEDFDE=161233=5619，点 M不在抛物线 P上，即点 M不与
41、N重合时，此时 k 的取值范围是 k5619且 k0.说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.若选择另一问题：(2)ADDGAOOC，而 AD=1，AO=2，OC=4，则 DG=2，又FGCPABOC，而 AB=6，CP=2，OC=4，则 FG=3，DEFGs=DGFG=6.练习 1.解：利用中心对称性质，画出梯形OABC A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，A（0，4），B（6，4），C（8，0）（写错一个点的坐标扣1 分）（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为，抛物线过点A（0，4），线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大值点是抛物线上的
42、动点在轴上理由练习河南省实验区如图对称轴为直线的抛物线经过点和求抛物线解析式及顶点坐标设点是抛物线上一动点且位于行四边形的面积为时请判断平行四边形是否为菱形精品好资料如有侵权请联系网站删除是否存在点使平行四边形为正精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 则抛物线关系式为 将B（6，4），C（8，0）两点坐标代入关系式，得AB，垂足为 G，则 sinFEGsinCAB 解得所求抛物线关系式为：（3）OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8m OA（AB+OC）AFAGOEOFCEOA （0 4）当时，S的取最小值又0m4，不存在m值，使S的取得最小值 （4）当时，
43、GB=GF，当时，BE=BG 14 分 练习 3.解（1）当01x时，2APx，AQx，212yAQ APx，即2yx （2）当12ABCDABPQSS正方形四边形时，橡皮筋刚好触及钉子，22BPx，AQx，211222222xx ，43x （3）当413x时，2AB，22PBx，AQx，2223222AQBPxxyABx ，即32yx 作OEAB，E为垂足 当423x时，22BPx，AQx，1OE，BEOPOEAQySS梯形梯形12211122xx32x，即32yx 90180POQ或180270POQ（4）如图所示：练习 4.解(1)设 l2的解析式为 y=ax2+bx+c(a0)，l1与
44、 x轴的交点为 A(-2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(0，-4)，l2与 l1关于 x轴对称，l2过 A(-2,0),C(2,0)，顶点坐标是(0，4)，420,420,4.abcabcc a=-1,b=0,c=4，即 l2的解析式为 y=-x2+4.(还可利用顶点式、对称性关系等方法解答)(2)设点 B(m，n)为 l1：y=x2-4 上任意一点，则 n=m2-4(*).3 2 1 O 1 2 x y 43 线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大值点是抛物线上的动点在轴上理由练习河南省实验区如图对称轴为直线的抛物线经过点和求抛物线解析式及顶点坐标设点
45、是抛物线上一动点且位于行四边形的面积为时请判断平行四边形是否为菱形精品好资料如有侵权请联系网站删除是否存在点使平行四边形为正精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 四边形 ABCD 是平行四边形，点 A、C 关于原点 O 对称，B、D 关于原点 O 对称，点 D 的坐标为 D(-m,-n).由(*)式可知，-n=-(m2-4)=-(-m)2+4，即点 D 的坐标满足 y=-x2+4，点 D 在 l2上.(3)ABCD 能为矩形.过点 B 作 BHx轴于 H，由点 B 在 l1：y=x2-4 上，可设点 B 的坐标为(x0，x02-4)，则 OH=|x0|，BH=
46、|x02-4|.易知，当且仅当 BO=AO=2 时，ABCD 为矩形.在 RtOBH 中，由勾股定理得，|x0|2+|x02-4|2=22，(x02-4)(x02-3)=0，x0=2(舍去)、x0=3.所以，当点 B 坐标为 B(3，-1)或B(-3，-1)时，ABCD 为矩形，此时，点 D 的坐标分别是 D(-3，1)、D(3，1).因此，符合条件的矩形有且只有 2 个，即矩形 ABCD 和矩形 ABCD .设直线 AB与 y轴交于 E，显然，AOEAHB，EOAO=BHAH，1223EO.EO=4-23.由该图形的对称性知矩形 ABCD 与矩形 AB CD 重合部分是菱形，其面积为 S=2
47、S ACE=212 AC EO=212 4(4-2 3)=16-8 3.三二次函数与四边形的动态探究 例 1.解：(1)由已知 PB 平分APD，PE 平分OPF，且 PD、PF 重合，则BPE=90 OPEAPB=90 又APBABP=90，OPE=PBA RtPOERtBPAPOBAOEAP即34xyxy=2114(4)333xxxx (0 x4)且当 x=2 时，y有最大值13(2)由已知，PAB、POE 均为等腰三角形，可得 P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)设过此三点的抛物线为 y=ax2bxc，则1,0,1643.cabcabc 1,23,21.abc y=213122xx(
48、3)由(2)知EPB=90，即点 Q 与点 B 重合时满足条件直线 PB 为 y=x1，与 y轴交于点(0，1)将 PB 向上平移 2 个单位则过点 E(0，1)，该直线为 y=x1 由21,131,22yxyxx 得5,6.xyQ(5，6)故该抛物线上存在两点 Q(4，3)、(5，6)满足条件 线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大值点是抛物线上的动点在轴上理由练习河南省实验区如图对称轴为直线的抛物线经过点和求抛物线解析式及顶点坐标设点是抛物线上一动点且位于行四边形的面积为时请判断平行四边形是否为菱形精品好资料如有侵权请联系网站删除是否存在点使平行四边形
49、为正精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 例 2.解：（1）解方程 x210 x160 得 x12，x28 点 B 在 x轴的正半轴上，点 C 在 y轴的正半轴上，且 OBOC 点 B 的坐标为（2，0），点 C 的坐标为（0，8）又抛物线 yax2bxc的对称轴是直线 x2 由抛物线的对称性可得点 A的坐标为（6，0）（2）点 C（0，8）在抛物线 yax2bxc的图象上 c8，将 A（6，0）、B（2，0）代入表达式，得 解得所求抛物线的表达式为 yx2 x8 （3）依题意，AEm，则 BE8m，OA6，OC8，AC10 EFAC BEFBAC 即 EF
50、FG8mSSBCESBFE（8m）8（8m）（8m）（8m）（88m）（8m）mm24m 自变量 m 的取值范围是 0m8 （4）存在理由：Sm24m（m4）28 且0，当 m4 时，S 有最大值，S 最大值8 m4，点 E 的坐标为（2，0）BCE 为等腰三角形 例 3 解:（1）相等 理由是：因为四边形 ABCD、EFGH 是矩形，所以,EGHEGFECNECPCGQCGMSSSSSS所以,EGHECPCGMEGFECNCGQSSSSSS 线的函数表达式是线段上的一个动点过点作轴的平行线交抛物线于点求线段长度的最大值点是抛物线上的动点在轴上理由练习河南省实验区如图对称轴为直线的抛物线经过点