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1、拓展类型 7探究特殊三角形的存在性问题1(2017河池)在平面直角坐标系中，抛物线 yx22x3 与 x 轴交于 A，B两点(A 在 B的左侧)，与 y轴交于点 C，顶点为D.(1)请直接写出点 A，C，D的坐标；(2)如图 1，在 x 轴上有一点 E，使得CDE 的周长最小，求点 E的坐标；(3)如图 2，F为直线 AC上的动点，在抛物线上是否存在点 P，使得AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)当 x0 时，y3，C(0，3)当 y0 时，x22x30，x11，x23，又 A在 B的左边，A(3，0)，B(1，0)yx22x3.y(x1)24.D(
2、1，4)(2)如图，作 C(0，3)关于 x 轴的对称点 C(0，3)，连接 DC与x 轴的交点即为所求点 E，此时DCE 周长最小设 DC的解析式为ykxb.将 D(1，4)，C(0，3)代入ykxb 中，得kb4，b3，解得k7，b3.y7x3.令 y0，则7x30.x37.E(37，0)(3)A(3.0)，C(0，3)，CAB45.以 A为等腰直角三角形的顶点，则过 A作 APAC 交抛物线于点 P，过 P作 PFx轴交直线 AC于点 F，则APF为等腰直角三角形，可求得 P(2，5)若以 F为直角顶点，则FAP45.又FAO45，P在抛物线与 x 轴交点处P可取(1，0)若以 P为直角
3、顶点，则FAP45.又FAO4 5，P在抛物线与 x 轴交点处P可取(1，0)P(1，0)或(2，5)2(2017漳州)如图，抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于点 A和点 B(3，0)，与 y 轴交于点 C(0，3)(1)求抛物线的解析式；(2)若点 M是抛物线在 x 轴下方上的动点，过点 M作 MNy轴交直线 BC于点 N，求线段MN的最大值；(3)在(2)的条件下，当MN取最大值时，在抛物线的对称轴 l 上是否存在点 P，使PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)点 B(3，0)，C(0，3)在抛物线yx2bxc 上，93bc0，c3.b4
4、，c3.抛物线的解析式为 yx24x3.(2)令 x24x30，则 x11，x23.A(1，0)设直线 BC的解析式为 ykxb.点 B(3，0)，C(0，3)在直线BC上，3kb0，b3.k1，b3.直线 BC的解析式为 yx3.设 N(x，x3)，则 M(x，x24x3)(1x3)MNyNyM(x3)(x24x3)x23x(x32)294.当 x32时，MN的最大值为94.(3)存在，所有点 P 的坐标分别是：P1(2，3 172)，P2(2，3 172)，P3(2，142)，P4(2，142)，P5(2，12)为等腰直角三角形若存在求出点的坐标若不存在请说明理由解当时当时如图作关于轴的对称点连接与轴的交点即为所过作轴交直线于点则为等腰直角三角形可求得若以为直角顶点则又在抛物线与轴交点处可取若以为直角顶点则又在抛动点过点作轴交直线于点求线段的最大值在的条件下当取最大值时在抛物线的对称轴上是否存在点使是等腰三角形若