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1、 二项式定理中的数学思想方法 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 二项式定理中的数学思想方法 现代化的教育教学理念，要求学生能“综合与灵活的应用所学数学知识、思想方法，进行独立的思考、探索和研究问题，提出解决问题的思路，创造性地把问题解决好”；因此我们学习每一部分知识时，要善于回味、归纳、总结规律，从而提炼出精华的数学思想方法，将知识转化为能力，使所学知识得以升华笔者仅就二项式定理中数学思想方法的感悟，写给读者，希望能够起抛砖引玉的作用归纳如下：一、函数与方程思想 例 1 已知22012(1)(1)(1)nnnxxxaa xa xa x ，若12129naa
2、an，求n 解析：01 11an ，1na 令1x，则230122222nnaaaa ，112102(12)2(21)12312nnnnnaaaaann ，12329nnn ，4n 点评：二项式定理的应用中，求系数的取值总是列出方程，通过赋值求解，把二项展开式看作 x的函数()f x，其系数问题与函数值(1)f的展开式相联系 二、转化与化归思想 例 2 设 a，b 是两个整数，若存在整数d，使得bad，称“a整除b”，记作|a b给出命题：22|(1)nn；10100|(991)；45|(21)()nnN，其中正确命题的题号是 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站
3、删除 解析：对于，2(1)nnn n 必为偶数，21nn 为奇数，即22|(1)nn 不正确 对于，1010010199101010(991)(1001)1100100100CCC ，正确 对于，4101112(151)1151515nnnnnnnnCCC ，正确，故填 点评：利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数（或与除数密切关联的数）与某数的和或差的形式，转化成便于操作的二项式的结构，这是解决问题的关键，然后再用二项式定理展开，只考虑后面（或者前面）一、二项就可以了 例 3（上海高考题改编）求和：2341012311111(1)11111nnnnnnnnaaaaaCCCCCaaaa
4、a 分析：这是一个与组合数有关的式子求和问题，通常进行合理变形，利用组合数的性质，转化为二项式的结构，再逆用二项式定理，将式子的值求出 解：原式 01230122331(1)(1)11nnnnnnnnnnnnnnnaCCCCCCaCa Ca Ca Caa 1(1)(11)(1)111nnnaaaaaaa 点评：本例体现了分组求和，创设二项式定理的结构形式，逆用、活用二项式定理的思想；其中第二组的和可以推广为：若数列na是首项为1a，公比为 q 的等比数列，则：0123123411(1)(1)nnnnnnnnna Ca Ca Ca CaCaq 0123123411(1)nnnnnnnna Ca
5、Ca Ca CaCaq 例 4 求证：132(2)(2)nnnnnN，精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 证明：01122113(21)222222(2)nnnnnnnnnnnnnCCCCnn 点评：本题是一个与自然数有关的不等式问题，当然可以考虑用数学归纳法证明，但是与(1)nx的展开式进行对照，只要令2x，所证不等式的左边就化为二项式展开式的结构，再进行合理的取舍，问题获证，这不失为一个快捷方法 三、整体思想 例 5 在3812xx的展开式中，哪一项的二项式系数最大？哪一项的系数最大？解析：解决这类问题应注意二项式系数与项的系数的区别，令1rrAA，分别
6、为展开式的第 r 项和第1r 项的系数，仿照研究二项式系数的变化规律的方法，我们来研究本展开式各项系数的变化规律 1812rrrAC ，11812rrrAC ，8111818!192!(8)!28!21(1)!(81)!2rrrrrrCArrrArCrr 当13r 时，11rrAA，即1rrAA，当38r时，11rrAA，即1rrAA，nA的变化规律是先单调递增，后单调递减注意到3r 时，34AA，故展开式的第三、四项的系数最大 点评：二项式的通项公式是求某些特定项或二项式系数最大的项的有利工具，此处用整体思想考虑问题，观察nA的变化规律，做到胸中有全局，方向明确，脉络清楚，正确得结果 精品好
7、资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 二项式系数的求和问题 1赋值求和问题 例 1 设2220122(1)nnnxxaa xa xa x ，求13521naaaa的值 解：令1x，得01223nnaaaa ；令1x，得0122121nnaaaaa，两式相减得：13521312nnaaaa 2逆用定理求和问题 例 2 已知等比数列na的首项为1a，公比为q，求和：0121231nnnnnna Ca Ca CaC 解：1201221231111nnnnnnnnnnnnna Ca Ca Ca Ca Ca qCa q Ca q C 012211()(1)nnnnnnna C
8、qCq Cq Caq 3倒序相加求和问题 例 3 已知等差数列na的首项为1a，公差为d，求和：0121231nnnnnna Ca Ca CaC 解：令0121231nnnnnnSa Ca Ca CaC，则120111nnnnnnnnnnSaCa CaCa C 012111nnnnnnnnaCa CaCa C，两式相加，得01211231112()()()()nnnnnnnnnSaaCaaCaaCaa C 又在等差数列na中，112311112nnnnaaaaaaaaand，所以012112(2)()(2)2nnnnnnSand CCCCand，所以11(2)2nSand 4建模求和问题 例
9、4 求和：12()rrrrrrrnCCCCrn 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 解：此式为1(1)(1)(1)rrnxxx 的展开式中rx项的系数，而11(1)(1)(1)(1)(1)nrrrnxxxxxx 从而转化为求1(1)(1)nrxx 展开式中1nx项的系数，所以1121rrrrrrrrnnCCCCC 5裂项求和问题 例 5 求和：22222341111nCCCC 解：因为211222(1)(1)12nn nCn nnn，所以222223411112222222212231nCCCCnnn 6递推求和问题 例 6 求和：12()rrrrrrrnC
10、CCCrn 解：因为111mmmnnnCCC，所以112112rrrrrrrrrrrnrrrnCCCCCCCC 11131rrrrrrnnnnCCCCC 高考中的二项式定理问题分类解析 二项式定理问题相对独立，高考对二项式定理的考查，以二项展开式及其通项公式内容为主，题型繁多，解法灵活且较难掌握。本文结合近年来的高考试题，将二项式定理的问题归为十类进行解法探讨，希望能对大家的学习有所帮助。1确定二项式中有关元素 例 1（1994 年全国高考题）在)()(7Nmmx展开式中，x5的系数是 x6系数与 x4系数的等差中项，则 m=_。精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网
11、站删除 解：依题意，337172272mCmCmC，42m2=7m+35m3，结合Nm得，m=1 。2求二项展开式中的常数项 例 2（2001 年上海高考题）在61)(xx展开式中，常数项为_。解：rrrrrxrrrxCxCT2661661)1()(2 令 6-r-2r=0得，r=2，所以常数项为15)1(226C。3求二项展开式中条件项的系数 例 3（2001年全国高考题）在1021)1(x的二项展开式中，x3的系数为_。解：rrrxCT1021101)(令 10-r=3得，r=7，所以 x3的系数为15)(321710C 。例 4（1999 年上海高考题）在523)(2xx 的展开式中，含
12、 x5项的系数是_。解：rrrrxrrrxCxCT5155253512)()(2 令 15-5r=5得，r=2，所以含 x5项的系数是402225C 。4确定和（积）展开式中条件项系数 例 5（1990年全国高考题）在5432)1()1()1()1()1(xxxxx的展开式 中，x2的系数等于_。解：x2的系数等于四个展开式中含 x2的系数和，即为 20)()1()1()1()1(35241302335224113002CCCCCCCC 。精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 例 6（1998 年全国高考题）在)1()2(210 xx的展开式中 x10的系数为
13、_。解：)1()2(210 xx的展开式中 x10的项为10)2(x的展开式中 x10、x8的项分别与(-1)、x2相乘而得的和。因此 x10的系数为：1792)1(2210010CC 。5求展开式各项系数和（差）例 7（1989 年全国高考题）如果7722107)21(xaxaxaax，那么a1+a2+a7的值等于 （）A -2 B -1 C 1 D 2 解：令 x=0，则有 a0=(1-20)7=1；令 x=1，则有 a0+a1+a2+a7=(1-21)7=-1。a1+a2+a7=-1-1=-2 。例 8（1999 年全国高考题）若443322104)32(xaxaxaxaax，则 231
14、2420)()(aaaaa的值为 （）A 1 B -1 C 0 D 2 解：令 x=1，则有 a0+a1+a2+a3+a4=4)32(令 x=-1，则有 a0-a1+a2-a3+a4=4)32(，从而 1)()()(43210432102312420aaaaaaaaaaaaaaa 故选（A）。6确定展开式的最大（小）项 例 9（1993年上海高考题）(x-1)9按 x 降幂排列的展开式中，系数最大的项是 （）A 第 4 项和第 5 项 B 第 5 项 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 C 第 5 项和第 6 项 D 第 6 项 解：根据二项式系数的性质，(
15、x-1)9的展开式中的中间两项即第 5 项和第 6 项的二项式系数相等，同时取得最大值。但考察项的系数时，第 6 项系数需乘以（-1）得负，而第 5 项的系数为正，因此只有第 5 项的系数最大，而第 6 项的系数最小，选（B）。7求展开式有理数的项数 例 10（1993 年全国高考题）将1003)23(x展开所得的 x 的多项式中系数为有理数 的项共有 （）A 50 项 B 17 项 C 16 项 D 15 项 解：rrrrrrxCxCTrr10050100310010013223)2()3(由于rC100是整数，要使系数为有理数，当且仅当32,rr均为整数，即 r是 6 的倍数。而在 0 到
16、 100 之间 6 的倍数共有 17 个，故选（B）。8利用二项式定理解整除问题 例 11（1992 年“三南”高考题）9291除以100的余数是_。解：)90(909090)190(91929291922909291192920929292CCCCC=为正整数）kkk(811008210019092100 9291除以100的余数是81 。9利用二项式定理进行近似计算 例 12（1996年全国高考题）某地现有耕地 10000公顷，规划10 年后粮食单产比现在增 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 加 22，人均粮食占有量比现在提高10，如果人口年增长率为1
17、，那么耕地平均每年至多减少多少公顷（精确到 1 公顷）？解：设耕地平均每年至多减少 x 公顷，又设该地区现有人口 P 人，粮食单产M 吨/公顷。依题意得，%)101(10000%)11()1010000(%)221(10PMPxM 化简得1 100022.1)01.01(1.110 x 1045.101.001.01)01.01(221011010CC 1.4)1(100022.11045.11.1x，即耕地平均每年至多只能减少 4 公顷。10与其它数学知识交汇考查 例 13（2003 年上海高考题）已知数列an（n 为正整数）是首项为 a1，公比为 q 的等比数列。（1）求和：2231220
18、21cacaca，334233132031cacacaca；（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论，并加以证明。解：（1）223122021cacaca=a12a1qa1q2=a1(1 q)2；334233132031cacacaca=a13a1q3a1q2a1q3=a1(1 q)3。（2）归纳概括的结论为：若数列an是首项为 a1，公比为 q 的等比数列，则nnnnnnnnnqacacacacaca)1()1(1134231201，n 为正整数。证明如下：nnnnnnnncacacacaca134231201)1(nnnnnnnncqacqacqaqcaca13312211
19、101)1(nnnnnnnnnqacqcqcqqcca)1()1(13322101。评述：本题是二项式定理知识与数列知识的综合应用。例 14（2003年江苏高考题）若a0，nN，设 y=（xa）n，求证：y=n（xa）n；证明：根据二项式定理可得，（xa）n=nKKKnKnxaC0)(精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 所以 y=nKnKnKKnKnKKnKnaxnxanCxaKC1111111)()()(。评述：本题是 2003 年江苏高考第 21 题的第（1）小问，它很好地体现了二项式定理与导数知识的交汇作用。二项式定理的“另类”用途 二项式定理揭示了项
20、数、系数、指数等方面的联系和规律。一般说来，二项式定理问题相对独立，主要有确定展开式中的相关项，求各项系数和差，以及处理整除问题等等。但二项式定理也有一些“另类”用途，它们可以看作是二项式定理应用的丰富和发展，对于提高学生思维的敏捷性和灵活性有一定的促进作用。本文结合事例来进行说明。1 逆向求值 二项展开式通常以正向展开的应用为主，但有时需要逆向应用，这有助于培养学生思维的双向性和灵活性。例 1 求值：（1）49392293194099999CCCCC；（2）10101012103111021010CCCC 。分析：如果直接求解的话，第（1）题稍微烦琐点，而第（2）题简直是无从下手。现在先化简
21、变形，再逆用二项式定理求值，真是“确实好多了！”解：（1）设49392293194099999CCCCC=x，则 669592)19(99CCx，即12345811541000000 x 49392293194099999CCCCC=12345。（2）)100(1111111011kCCkkk 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除)(111121111111110101012103111021010CCCCCCC =11204711111)1)11(。点评：这类二项式逆向求值通常与组合数公式等的变形联系在一起。以下这道题也曾经出现在多种资料上，很典型。题目为求
22、!0!81!1!71!2!61!7!11!8!01的值，尽管面目很可憎，但是只要将分子都变成8！，则该式即为3152!82881808!818)(CCC。例 2（2003 年上海高考题）已知数列na（n 为正整数）是首项为 a1，公比为 q 的等比数列。（1）求和：223122021cacaca，334233132031cacacaca；（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数 n 的一个结论，并加以证明。解：（1）223122021cacaca=a12a1qa1q2=a1(1 q)2；334233132031cacacaca=a13a1q3a1q2a1q3=a1(1 q)3。（2）归纳概括的
23、结论为：若数列an是首项为 a1，公比为 q 的等比数列，则nnnnnnnnnqacacacacaca)1()1(1134231201，n 为正整数。证明如下：nnnnnnnncacacacaca134231201)1(nnnnnnnncqacqacqaqcaca13312211101)1(nnnnnnnnnqacqcqcqqcca)1()1(13322101。点评：本题是二项式定理知识与数列知识的综合应用，也属于逆向求值。2 求近似值 利用二项式定理进行近似计算也算是二项式定理的“另类”应用之一。例 3（1996年全国高考题）某地现有耕地10000公顷，规划10 年后粮食单产比现在增 加 2
24、2，人均粮食占有量比现在提高10，如果人口年增长率为1，那么耕地平均每年至多减少多少公顷（精确到1 公顷）？精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 解：设耕地平均每年至多减少 x 公顷，又设该地区现有人口 P 人，粮食单产M 吨/公顷。依题意得，%)101(10000%)11()1010000(%)221(10PMPxM 化简得1 100022.1)01.01(1.110 x 1045.101.001.01)01.01(221011010CC 1.4)1(100022.11045.11.1x，即耕地平均每年至多只能减少 4 公顷。3 证不等式 利用二项式定理来证
25、明不等式，很是别具一格。简捷、流畅，令人赏心悦目。例 4 设NnRba,，求证：nbabann)(22。证明：运用“和差换元”，令 a=x+y，b=x-y，则 a+b=2x 0，左边=nnnnnnnyxyxxyxCyxCxCnn44422202)()(=右边，原不等式成立。例 5 已知函数1212)(xxxf，证明：对于任意不小于 3 的正整数 n，1)(nnnf。分析：直接证明难度较大。将其进行转化为：122)(112121nnfnnnnnnn。而当3n时，1222)11(2110nnCCCCnnnnnnnn，故得证。解决二项式定理问题的五种意识 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资
26、料-如有侵权请联系网站删除 本文总结出了有关二项式定理问题的五种解题意识，旨在强化同学们解此类问题的方向性，避免盲目性，从而提高解题能力 一、运用通项意识 凡涉及到展开式的项及其系数等问题，常是先写出其通项公式1rn rrrnTC ab，然后再据题意进行求解因此运用通项意识解二项式定理问题是非常重要的 例 1 9212xx展开式中9x的系数是_ 解析：由通项公式，得18 31991122rrrrrrTCC xx ，令1839r，得3r 故9x的系数为33912122C 例 2 若在51nxx的展开式中，第 4 项是常数项，则n _ 解析：由通项公式，得5318333541()nxnnTCxC
27、xx，由1805n，解得18n 二、特殊化意识 在求展开式中的各项系数之和及某些组合数之和时，取特殊值是一种非常有效的方法 例 3 设6656510(31)xa xa xa xa，求650aaa的值 解：记6()(31)f xx，则6650(1)264aaaf 例 4 求5()abcd 展开为多项式后各项系数和 解：记5545540()()f abcdabcdm am a bm d ，精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 则令1abcd ，有541024为所求 三、方程意识 已知展开式中若干项系数的关系，求指数 n 及二项式中参数的值等，都是利用展开式中的通项
28、，再据题意建立方程来解决 例 5 在5()xa展开式中的第四项是210a（a 为大于零的常数），则 x_ 解析：由题意，得32325()10Cxaa，又0a，解得1xa 四、转化意识 转化意识是高考重点考查的内容之一在与二项式定理有关的问题中，主要表现为一项式和三项式转化为二项式来求解；若干个二项式积的某项系数问题转化为乘法分配律问题 例 6 27(1)(2)xx的展开式中3x项的系数是_ 解析：由3x项的系数分别来自两个二项式的展开式中两项乘积的系数，应为如下表搭配：21x 7(2)x 常数项：1 3x的系数：447(2)C 2x的系数：1 x的系数：667(2)C 因此，3x的系数是446
29、677(2)(2)1008CC 例 7 2345(1)(1)(1)(1)(1)xxxxx 的展开式中，2x的系数是_ 解析：由等比数列求和公式，得原式6(1)(1)xxx ，所以展开式中2x的系数是6(1)x 的展开式中3x的系数：336(1)20C 例 8 在25(32)xx的展开式中 x的系数为（）精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 A160 B240 C360 D800 解析：由于求 x 的系数，与2x项无关，故本题可转化为求5(32)x 的展开式中 x的系数，易得4455(3)2240TCxx故选 B 五、应用意识 应用是数学的归宿，二项式定理主要应
30、用于近似计算及证明整除等问题 例 9 据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议政府工作报告：“2001 年国内生产总值达到 95 933 亿元，比上年增长 73%”如果“十五”期间（2001年2005 年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为（）A115 000 亿元 B120 000 亿元 C127 000 亿元 D135 000 亿元 解析：设到“十五”末我国国内年生产总值为A，则 A95 933（173%）495 933（14 00736 00732）127 000 亿元 例 10 9291除以 100的余数是_ 解析：929291(901
31、)0921919029192929292929290909090CCCCC 21092901M（090189909292929081908181MCCC ，M为整数）1008210081M 9291除以 100的余数是81 高考中二项式问题的处理策略 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 二项式定理的有关知识在高考中虽每年以小题的形式出现，但却是历年高考的必考内容，由于其题型繁多，常使人感到扑朔迷离本文提出了几种切实有效的处理方法，旨在促进同学们解题能力的提高 一、方程化 在求二项式中参数的值及特定项的系数等问题时，通常是利用展开式的通项与题目提供的信息及各量
32、之间的制约关系，巧妙构造方程，最终用方程理论求解 例 1（2005 年全国高考卷）912xx的展开式中，常数项为 （用数字作答）解：由99921991(2)(1)2rrrrrrrrrTCxC xx 令902rr ，得6r 故常数项为63679(1)2672TC故填 672 评注：凡涉及到展开式的项及其系数等问题时，常是先写出其通项公式1rn rrrnTC ab，然后再据题意进行求解，往往是结合方程思想加以解决 例 2（2005 年山东卷）如果3213nxx的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中31x的系数是（）7 7 21 21 解：令1x，即(31)128n，得7n 由通项公式，得37
33、1721(3)rrrrTCxr57737(1)3rrrrCx 由5733r，解得6r 故31x的系数是667(1)321C，故选 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 评注：分清某一项的系数与它的二项式系数是否相同，常规解法是利用通项公式1rn rrrnTC ab，先确定 r，再求其系数 例 3（2005 年全国高考广东卷）已知5(cos1)x的展开式中2x的系数与454x的展开式中3x的系数相等，则cos 解：5(cos1)x的展开式中2x的系数为325cosC，而454x的展开式中3x的系数为1454C，即有321345cos4CC，得210cos5，2c
34、os2 应填22 二、二项化 对于多项式等问题，通常是用转化思想，化为二项式问题来解决 例 4（2005 年湖北卷）5122xx 的展开式中整理后的常数项为_.解：5122xx 522 510552 22(2)(2)2(2)(2)xxxxxxx 本题转化为二项式问题，即要得所求式的常数项，转化为求分子10(2)x 的x的 5 次项系数而分子的5 次项为555610(2)TC x常数项为5510(2)63 22C 例 5（2005年浙江卷）在5678(1)(1)(1)(1)xxxx 的展开式中，含3x的项的系数是（）74 121 74 121 解法一：先求和，再求系数 原式5459(1)1(1)
35、(1)(1)1(1)xxxxxx ，求含3x的项的系数等价于求59(1)(1)xx 中含4x的项的系数，即为4459121CC，故选 解法二：逐一求出，再相加 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 5678(1)(1)(1)(1)xxxx，中3x的项的系数分别为33335678CCCC，故所求3x的项的系数为33335678()121CCCC，故选 三、表格化 求两个二项式积的展开式中某项的系数是二项式问题中的一个难点，既要考虑多次使用通项公式，又要考虑可能的搭配这时若用表格，则能一目了然、不重不漏 例 6（2005 年全国高考卷）在8(1)(1)xx的展开式
36、中5x的系数是（）14 14 28 28 解：由5x的系数分别来自两个二项式的展开式中两项乘积的系数，应为如下表所示的搭配：(1)x 8(1)x 常数项：1 5x的系数：38C x的系数：1 4x的系数：48C 因此，5x的系数是348814CC，故选 评注：解此类题常用表格法，对所求未知数的指数运用乘法分配律进行分配，使对问题的解决更加直观，条理也更加清晰 四、特值化 在求展开式中的各系数之和及组合数之和问题时，一种非常有效的方法就是取特殊值 例 7 若423401234(23)xaa xa xa xa x，则2202413()()aaaaa的值为（）1 1 2 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 精品好资料-如有侵权请联系网站删除 分析：利用平方差公式，待求式可转化为0123401234()()aaaaaaaaaa ，于是可用特殊值法来解决 解：令1x，得 401234(23)aaaaa；令1x，得401234(23)aaaaa 两式相乘，得224402413()()(23)(23)1aaaaa，故选