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1、2010年江苏卷高考数学真题（解析版）数学注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4 页，包含填空题（第 1 题第 14题）、解 答 题（第 15题第 20题）。本卷满分160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色黑水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。5.如需
2、作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。参考公式：锥体的体积公式：V惟行S h,其中S 是锥体的底面积，h 是高。3一、填空题：本大题共1 4小题，每小题5分，共7 0分。请把答案填写在等牌卡相应的位置上.1.设集合 A=-1,1,3,B=a+2,a+4,An B=3,则实数 a=A【解析】考查集合的运算推理。3eB,a+2=3,a=l.2.设复数z 满足z（2-3i）=6+4i（其 中 i 为虚数单位），则 z 的模为 .【解析】考查复数运算、模的性质。z（2-3i）=2（3+2i）,2-3i与3+2i的模相等，z的模为2。3.盒子中
3、有大小相同的3 只白球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概 率 是 .【解析】考查古典概型知识。=;4 .某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了 1 0 0 根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间 5,4 0 中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的1 0 0 根中，有 上 _ 根在棉花纤维的长度小于2 0 m m。【解析】考查频率分布直方图的知识。1OOX(O.OO1+O.OO1+O.OO4)X5=305 .设函数f (x)=x(e +a e-*)(x e R)是偶函数，则实数由【解析】考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae
4、-x为奇函数，由g(0)=0,得a=1 o6 .在平面直角坐标系x O y 中，双曲线日一-乙=1 上一点M,点 M的横坐标是3,贝 U M到双4 12曲线右焦点的距离是【解析】考查双曲线的定义。=e =2,d 为点M 到右准线x=l 的距d 2离，d=2,MF=4o7.右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是【解析】考查流程图理解。1 +2+2?+24=31 0)的图像在点(&,a h处的切线与x 轴交点的横坐标为为正整数,a X6,贝!I ai+a3+a A【解析】考查函数的切线方程、数列的通项。在点,a/)处的切线方程为：y-a j=2 4(x-4),当y=0时，解得=今，所以%+i=会
5、 吗+4 +45=16+4+1 =21。9.在平面直角坐标系x O y 中，已知圆/+/=4 上有且仅有四个点到直线12 x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是【解析】考查圆与直线的位置关系。圆半径为2,圆 心(0,0)到直线12x-5y+c=0的距离小于1,胃 2 x)的 x的范围是 。【解析】考查分段函数的单调性。p-V 2X nxe(T,夜一1)1-x2 0/V312 .设实数x,y 满足3 4x y 2 W8,4 W y y【解析】考查不等式的基本性质，等价转化思想。丫21 1 r3 r2 1 r31 口 双，守%，/7=(-)bah cos C=a2 4-/72 Sab。十
6、 =a2+/,/+/=2_a b lab 2tanC tanC sinC cos B sin A+sin B cos A sinC sin(A+B)1 sin2 C-1-=-=-=-tan A tan 3 cosC sin Asin B cosC sin Asin B cosC sin A sin B由正弦定理，得：上式=1-三c2=1c2-=-c2=4cosC ab 工 商+1 3c_6 6 214.将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=（梯形的周长产梯形的面积则 S 的最小值是【解析】考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。设剪成的小正三角形
7、的边长为x,贝I:(3-x)2-(X+D-(1-x)2 24(3 7)2/3 1-x-(0 x l)（方 法 一）利 用 导 数 求 函 数 最 小 值。S(x)=4(3-x)2百 1-x2S x)=4(2 x -6)(1-f)一(3 一 .(一2外耳 (1-x2)2_ J _ (2 x-6)-(l-一(3 x)2.(-2 x)_ 4 _ 2(3 x _ l)(x-3)耳 (1-x2)2-耳 (1-x2)2S，(x)=0,0 x l,x =；,当 xe。；时，S(x)0,递增;故 当x =:时，S的 最 小 值 是 苧。（方 法 二）利 用 函 数 的 方 法 求 最 小 值。1|1 4 /4
8、 1令3 -x=(2,3),-G(,)，贝lj：S r=-=；=-t 3 2 V 3 T +6 f 8 V 3 _ 8 9故 当，=：,x=4时，S的 最 小 值 是 竺。t o 3 3二、解 答 题：本 大 题 共6小 题，共 计9 0分，请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答，解答时 应 写 出 文 字 说 明、证明或演算步骤.1 5.（本小题满分1 4分）在平面直角坐标系xO y中，点A （1,一 2）、B 3）、C （一2,1）。（1）求以线段A B、A C为邻边的平行四边形两条对角线的长；【解析】（方 法-）由 题 设 知 通=（3,5）,衣=（一1,1）,则A B +A C
9、 =（2,6）,A B -A C =（4,4）.所以I而+就1=2而,1而 一 元1=4 V 2.故所求的两条对角线的长分别为4 7 2、2而。(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,贝 I J:E为 B、C的中点，E (0,1)又 E (0,1)为A、D的中点，所以D (1,4)故所求的两条对角线的长分别为B C=4 后、A D=2 而；(2)设实数t 满足(A B T O C)O C=0,求 t的值。【解析】由题设知：O C=(-2,-l),AB-t0C=(3+2t,5+t)o由(瓦-灰).而=0,得：(3+2r,5+z).(-2,-l)=0,从 而=所以r=-，。
10、或者：ABVC=tOC2,而=(3,5),=IO C|2 51 6.(本小题满分1 4 分)如图，在四棱锥P-A B C D 中，P D J _ 平面A B C D,P D=D C=B C=L A B=2,A B D C,N B C D=9 0。(1)求证：P C 1 B C；【解析】证明：因为P D 1平面ABCD,B C u平面ABCD,所 以PD 1BC。由NBCD=90,#C D B C,又 PDADC=D,PD、D C u平面 PCD,所 以B C 1平 面PCDo因为P C u平 面P C D,故PC1BC。(2)求点A到平面P B C 的距离。【解析】(方法一)分别取AB、PC的
11、中点E、F,连DE、D F,贝I：易 证DE/CB,D E/平 面P B C,点D、E到平面PBC的距离相等。又 点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。由（1）知：B C 1平 面P C D,所以平面PB C1平 面PCD于PC,因为PD=DC,PF=FC,所 以D F 1 P C,所 以D F 1平 面PBC于F o易 知DF=手，故 点A到平面PBC的 距 离 等 于 夜。（方法二）体积法：连 结AC。设 点A到平面PBC的距离为h。因为 AB/DC,ZB C D=90,所以/ABC=90。从而 AB=2,B C=1,得AA8C的面积 SMBC=1。由PD1平面ABCD及P
12、D=1,得三棱锥P-ABC的体积V=g SM IICP D O因为PD 1平面ABCD,D C u平 面A B C D,所 以PD 1DC。又 PD=DC=1,所以 PC=PD?+DC2=6。由PC1BC,B C=1,得AP8C的面积54尸 肥=事。由匕-P B C =%-ABC，卜。B C =V=；,得/?=a,故点A到平面PBC的距离等 于 行o1 7.（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m）,如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m,仰角NABE=a,N4E=0。(1)该小组已经测得一组a、夕的 值,tana=l.24,tan二1.20,请据此算出H的值;HH
13、H h【解析】=tan=A=-同理：AB=，BD=-oAD tan p tan a tan pA D-A B=D B,故 得 匕 2=4,解得：tanp tana tanp_%t a n ai i 4 x1.2 4t a n y -t a n a 1.2 4-1.2 0=1 2 4。因此，算出的电视塔的高度H是1 2 4 m。(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m),使a与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为1 2 5 m,试问d为多少时，a-(3最大？【解析】由题设知d=48,得 tana=3，tan0=4 =U =且？1，d A D D
14、 B dH H-hzc、t a n a-t a n d d hd ht a n(a 6)=-=-=-=-l+t a n a t a n H-h d2+H(H-h).H(H-h)d d dd+2 d H(H-h),(当且仅当 d =7 1 2 5 x1 2 1 =5 5石 时,d取等号)故当d =556时，t a n(a-6)最大。因为0/?a,则0 夕一/?0,必 0,为 0,得 加=2 jl0,8 0 +机-2 0 +厂此 时 直 线MN的 方 程 为x =l,过 点D(1,0)o4 0/?若x尸X2,贝I J-2瓦，直 线MD的 斜 率3=:，2 4 0-3 m 4 0-/2 18 0 +
15、一 2 0加直 线ND的斜率,得1 =1，所 以 直 线MN过3m-6 0 4 0-W20+in2D点。因 此，直 线MN必 过x轴 上 的 点(1,0)o1 9.(本小题满分1 6分)设各项均为正数的数列 凡 的前n项和为S“，已知2%=%+%，数列 忘 是公差为，/的等差数列。(1)求数列%的通项公式(用,d表示)；【解 析】由 题 意 知：d 0,用=同+(-1)4 =苑+(-1)42 a2 =%+%=3 a2 =S3 n 3(S2 Sl)=S3,+d)2 aj2=+2 J)2,化 简，得：a,-2y/a-d+d2-0,y/a-d,a-dys d+(n-l)J =nd,S“n1 d,当“
16、2 2 时，an=SII-Sl l_l=n2d-(n-Yy d2=(2 n-l)J2,适合=1 情 形。故 所 求%=(2-1)2(2)设c 为实数，对满足机+=3%且加，的任意正整数用,A ,不 等 式 黑+S,cS,9都成立。求证：c 的最大值为三。2【解析】(方法一)2 2Sin+S”cSk=m 2 d 2 +n2d2 c-k2d2=m2+/?2 c-k2 9 c (m +n)2=9 k2=m,k 2故 c W；9 ,即 c 的 最 大 值 为9:。2 2(方 法 二)由 M=d 及 其=直 +(-l)d,得 d 0,5 =n2d2 o于 是，对 满 足 题 设 的 A ,m n,有苏+
17、2)/如画/=2h =2 S.。w 2 2 29所 以 c 的 最 大 值 7”-o另 一 方 面，任 取 实 数。三9 。设 人为偶数，令 机=3:左+1,=三3左一1,则?,次2 2 23 3 1符 合 条 件，且 S,“+S“=而 +2 )/=/(”+1)2 +弓 一 1)2 =/(然2 +4)。2 1于 是，只要 9/+4-,时,Sm+S 0,使得/(x)=/i(x)(x2-ax +l),则称函数f(x)具有性质尸(a)。b+2(1)设函数/(x)=lnx +(x l),其中匕为实数。x+1(i)求证:函数求(X)具有性质0 3)；【解 析】fM=-b+=1(x2-bx+1)x(x +
18、l)-x(x +l)时，(x)=/1,、2 0 恒成立,x(x +l)，.函 数/(x)具 有 性 质P S)；(ii)求函数/(x)的单调区间。【解析】(方法一)设夕(x)=-bx +1=(一2 +1 一,，8(x)与/(x)的符号相同。当 1一9 0,-2 匕 0 ,/(x)0,故此时/(x)在区间(1,+8)上递增;当6 =2时，对于x l,有/(x)0,所以此时/(x)在区间(1,+8)上递增；b当/?2时，e(x)图像开口向上，对称轴x =/l,总有9(x)0,/(x)0,故此时/(x)在区间(1,共。)上递增；(方法二)当 b l,(px)=x2-+1 JC2-2 x +1 =(x
19、 -1)2 0所以尸(x)0 ,故此时/(x)在区间(l,+o o)上递增;当b2时，奴x)图像开口向上，对称轴x =gl,方程夕(x)=0的两根为：+“2-4-一 扬 一4：+扬-4,b-lb2-4 2 2 2 2 2 b+”2-4b+Jb2 4 b+lb2-4当 x w -)时，8(x)0 ,fx)0，故此时/(x)在区间(1,匕 千 -)上递减；同理得：/(x)在区间-4,+8)上递增。综上所述，当。W 2时，/（x）在区间（1,+8）上递增；当匕2时，/（x）在a处 匹1）上递减；“X）在 伫 亚区,8）上递增。2 2(2)已知函数g(x)具有性质尸(2)。给 定 冷/(1，+8)，玉
20、0,所以对任意的xw(L+8)都有g(x)0,g(x)在(I,一)上递增。又 a+/=X+,a=(2tn 1)(玉一%)0当机 L m w 1时，a B,且2a-x1=(m-l)Xj+(l-m)x2,-x2=(i-m)x+(m-l)x2,(a-x,G ff-)=一(加一以(-电),0,：,a x1x2 或/aj3 x2,若 a 匕 /产，则/(a)/(覆)/(r2)/(/?),g（a）-g（户）gCq）-g区），不合题意。rx a r2,即 再 加+(1 加)马(-m)x1+mx2x2解得W 2 1 ,加 1。当加=；时，a=,0=|g(a)-g0?)|g()-g(r2),符合题意。当 初 ,
21、且a 4=网(4 _/),4=_ 网(4 _/)，同理有匕力）/，即，百（1 一加）均+加加为+药解得网0,（）加1,2综合以上讨论，得：所求加的取值范围是（0,1）。(方法二)由题设知，8。)的导函数8口)=/1*)(的一2%+1),其中函数力(x)0对于任意的x e (1,+8)都成立。所以，当x l时，g 0,从而g(x)在区间(1,+8)上单调递增。当m e (0,1)时，有a =，X +(1-/H)X2 mx+(l-m)x,=xt,a =mx+(1 -ni)x2 mx2+(1 -m)x2-x2,得 ae。,2)，同 理 可 得(占，)，所以由g(x)的单调性知g(a)、g(。)e (
22、g a J g ),从 而 有g(a)-g(夕)l mx2+(l-m)x2-x2,B=(1 -m)%)+mx2 1,夕 1及 g(x)的单调性知g(4)W g(X )1 gaj-g6)I,与题设不符。当机2 1时，同理可得aw%夕2%，进而得I g(a)-g(0 ll g a)-g(X 2)L与题设不符。因此综合、得所求的机的取值范围是(0,1)。(附加题)2 1.选做题 本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A.选修4-1：几何证明选讲(本小题满分1 0分)AB是圆0的直径，D为圆0上
23、点，过D作圆0的切线交AB延长线于点C,若D A=D C,求证:AB=2 BC。【解 析】(方法一)证明：连 结O D,贝ij:OD1DC,又 OA=OD,DA=DC,所以/DAO=/ODA=NDCO,Z DOC=Z DAO+Z ODA=2 Z DCO,所以NDCO=30,ZDOC=60,所以 OC=2OD,即 OB=BC=OD=OA,所以 AB=2BC。(方法二)证明：连 结OD、BDo因为AB是 圆。的直径，所以NADB=90,AB=2OBo因为D C是 圆。的切线，所以/CDO=90。又因为 DA=DC,所以NDAC=/DCA,于是AD BCD O,从而AB=CO。即2OB=OB+BC,
24、得OB=BC。故AB=2BC。B.选修4-2：矩阵与变换(本小题满分1 0 分)在平面直角坐标系x O y中,已 知 点 A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。设 k为非零实数,矩阵k 00 1,N=0 11 0，点A、B、C在矩阵M N 对应的变换下得到点分别为卜、B i、C A B C的面积是a A B C 面积的2倍，求 k 的值。【解 析】由题设得MN=k 00 10 k1 00 11 00 k0-2-2 0 0 A:,、,、由=，可知 A 0,0）、B 0,-2）、Ci1 OJLO 0 1 J-2-2_（k,-2）o计 算 得AABC面 积 的 面 积 是1,的面积 是 味I
25、,则由题设 知：I 攵 1=2x1=2。所 以k的 值 为2或-2。C.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分1 0 分）在极坐标系中，已知圆P =2 co s 8 与直线3 p co s 9+4 p s i n。+a=0 相切，求实数a的值。【解析】解：/?2=2pcos6,圆p=2cos。的 普 通 方 程 为：x2+y2=2x,（x-l）2+y2=1,直线 3pcos0+4psin0+a=O 的 普 通 方 程 为：3x+4）：+a=0,又 圆 与 直 线 相 切，所 以U-/,=1,解 得:。=2,或。=-8。V32+42D.选修4-5：不等式选讲(本小题满分1 0 分)设 a、b是
26、非负实数，求证：a3+h34 ab(a2+b2).【解析】(方法 一)证 明：a3+b3-y/ah(a2+b2)=a24 a(ya-y/b)+b2sfb(y/b-4 a)=(ya-4 b)(4 aY-(V&)3=(yfa y/b)2(a)4+(A/)3(C)+(G)2(6)2+(V)(扬)、+(C)4因 为 实 数a、b 0,(八-石 彳NO,(/)、(八 宣指)+(八 宣 扬+(6)(指F+(扬 力“所 以 上 式 0。即 有/+/2疝(/+/?2)。(方 法 二)证 明：由a、b是 非 负 实 数，作差得cv+-Jab(a+b ciJciy/u yb)+b y b-Va)=(fa y/b)
27、(-Ja)5(,y/b)5当 匕 时，八2 8,从而(6)5 2(J F)5,得(右一振)(&)5-(胡)5 2 0；当 a b 时，&,从而(五)5 (6)5,得(夜一6)(正)5-()5 22证明：设三边长分别为a/,c,cosA，+：一，是有理数，2bc是有理数，分母2A为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，./h 2+：c2-a。2必 为 有 理 数,，cosA是有理数。2bc(2)求证：对任意正整数n,cosnA是有理数。【解析】当=1时，显 然cosA是有理数；当”=2时，cos2A=2cos2 A-1,因为cosA是有理数，二cos2A也是有理数；假设当外/2 2)时，结论
28、成立，即coskA、cos(k-l)A均是有理数。当 =k+1 时，cos(Z:+1)A=cos kA cos A-sin kA sin A,cos(k+1)A=cos kA cos A-；cos(M-A)-cos(M+A),cos(&+1)A=cos kA cos A 一;cos(k-1)A+；cos(k+1)A,解得:cos(&+1)A=2 cos kA cos A-cos(k-1)A,.,cosA,cosM,cos(Z-1)A均是有理数，2coskAcosA-cos(k-1)A是有理数，cos(k+l)A是有理数。即当=k+1时,结论成立。综上所述，对于任意正整数n,cosnA是有理数。