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1、解密20 双曲线学解琳高考高考考点命题分析三年高考探源考查频率双曲线的定义及方程双曲线的定义、方程与性质是每年高考的热点，多以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档.2016课标全国I 52015课标全国I 5 双曲线的性质2017课标全国III52017课标全国H 92016课标全国II 11 冬 对 点解密考点1双曲线的定义及方程题组一双曲线定义的应用调 研 1已知方程血*2+（巾-3）丁=1表示双曲线测此双曲线的焦距的最小值为4避 ,A.B.mC.3 D.2 0【答案】Ac-1-【解析】由题可得，因为方程mx2 +（m=3）y2 =l表示双曲线，所以可知0 m a 0,c b 0.3 .
2、由：=1（。o,b 0），知所以g-a或后a,因此双曲线位于不等式X 和x0,6 0）的离心率为2,其渐近线与圆（一。）2+/=相切，则该双曲线的方程为.【答案】x2-=3【解析】由题意知，=2,即c =2 a,则b=由圆的方程可知，其圆心坐标为（a,0）,半径ra2不妨取双曲线的渐近线法-即=0,则,网=旦,即=乌 所以4 =1,则6=百，故所yja2+b2 2 2a 2求双曲线的方程为一 一 二=1.3调研3 已知双曲线的中心在原点，焦点丹、外在坐标轴上，离心率e=M,且过点（4,一 炳.（1）求双曲线的方程.（2）若点M 3,m）在双曲线上,求证:M F】J.MF2.L =也【解析】=a
3、,V c2=a2+b2,：.a2=b 可设双曲线方程为_-y 2 =a（义#0）.双曲线过点（4,-。）,，1 6T o=2,即 A=6,.双曲线方程为f-y 2 =6（2）由（1）可知，在双曲线中a=b=m,;.c=2邓,：.FI（-2A/3,0）,F2（2A/3（O）.z_ m;_ m ，又；点 M 3,在双曲线上，；.9 -m2=6,m2=3,m x m _ m 2 _ M F j k M F-3 +2 百 3-2 7 3 -3 一 ,.M 1 M F?.学科&网运、运富。.运.。培.W S 尸 章%.-*.技巧点拨求解双曲线的方程在高考中经常出现，且一般以选择题或填空题的形式出现，求解
4、时需注意：1.求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的a?,/的值，最后写出双曲线的标准方程.2.在 求 双 曲 线 的 方 程 时，若 不 知 道 焦 点 的 位 置，则 进 行 讨 论，或 可 直 接 设 双 曲 线 的 方 程 为Ax2+By2=AB.运 产 篇 晨 运.0 0,b0)的离心率为2,则 C 的渐近线方程为a bA.y=-x B.y=y/3xC.y=2x D.y=y5 x【答案】A【解析】双曲线C 鼻 一 =1 (a0,b0)的离心率为2,=2,即c 2=4
5、Y,a b a：.a2+b24 a2,学科&网b 3.双曲线C 的渐近线方程为 =q=立 .选 A.h 3调研2已知方程mx2+(m-4)y2=2?+2表示焦点在x 轴上的双曲线.(1)求 加 的取值范围；2 2(2)若该双曲线与椭圆g +5 =1有共同的焦点.求该双曲线的渐近线方程.2 m 4-2【解析】(1)由题意得m2m+2m-4 0，解得0 加 4.=坟或y=X I x.学科&网题组二求双曲线的离心率2X调 研 3已知点尸为双曲线C：2y=1(。0,6 0)的右焦点，点尸到渐近线的距离是点尸到7一 记左顶点的距离的一半，则双曲线C 的离心率为A.及 或？B.-3 3C.2 D.V 2【
6、答案】B【解析】由题意可得E(c,O),双曲线的渐近线方程为 =2，即6 x o =0.a.点尸到渐近线的距离是点E到左顶点的距离的一半，产”(_*,即2 b =a+c，4 b2=a2+2ac+c2,即 5。2+2ac 3c2=0,A 5a=3 c,c 5双曲线的离心率为e =1.a 32 2调研4 已知双.曲线C：+一 a=1 (a 0,b 0)的左、右焦点分别为Fx,&,点P为双曲线右支上一点,若|PQ=8a/&|,则双曲线C的离心率的取值范围为A.(1,3 B.3,+o o)C.(0,3)D.(0,3【答案】A【解析】根据双曲线的定义及点尸在双曲线的右支上，得|/7 川 一|尸 尸 2
7、尸 2。，设|尸 尸i|=m,|P尸2|=，则 m n2a,nr=San,/.nr4/+4/72=0 tn-2/7,贝!n=2 m m 4 a,依题得|F北2区|尸 产|+|尸/2|，当且仅当尸，F l，&三点共线时等号成立，.2 c 4 a+2 a,：.e -l,；.1V 空3,a即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3 .选 A.学科&网运 1%。运.*。*.运:犍%运。.。.运.。g；.常技巧点拨双曲线的离心率是双曲线的性质中非常重要的一个，高考中若出现关于双曲线的题目，基本都要涉及，所以求双曲线离心率的方法一定要掌握.1 .求 双 曲 线 的 离 心 率，可 以 由 条 件 寻 找 满
8、足 的 等 式 或 不 等 式，结 合。2=/+得 到，也可以根据条件列含。，c的齐次方程求解，注意根据双曲线离心率的范围e w（l,+8）对解进行取舍.2.求解双曲线的离心率的取值范围，一般根据已知条件、双曲线上的点到焦点的距离的最值等列不等式求解，同样注意根据双曲线离心率的取值范围是ew （l,+o o）.运.。运,富。.运 瑞.慧 魂 运 尸*.融 竭/强 化集训r1.（2 0 17-2 0 18 学年北京10 1中学高三零模数学）已知方程-=1 表示双曲线,且该双曲线两m+n 3m-n焦点间的距离为4,则n的取值范围是A.(-1,3)C.(0,3)B.(-1,我D.(0(A/3)【答案
9、】A【解析】因为方程表示双曲线，所以巾2 +“+3 m 2-“=4 m 2=4,所以巾2 =1所以m2+n=n+l 4,3m2-n =3-n4,解得-1 n 01 0）的一条渐近线与直线x y +l =0平 行，则它的离心率为C.V2D.V3【答案】C【解析】双曲线A E =1（。0,b 0）的渐近线为y =-x.a o a因为一条渐近线与直线X-y +1=0 平行，所以2 =L则它的离心率为弋=厅=声=故 选 C.4 .（2 0 17-2 0 18学年宁夏固原市第一中学高三下学期第一次月考）若 双 曲 线E:9 16 的左、右焦点分别为0尸2,点P在 双 曲 线E上,且 附1 1 =乙则俨%
10、|等于C.1 或 13【答 案】B【解析】由题意得a =3,c =5,|l i|-附2|=6,而M i l =乙解得PT=13或 .而 俨&1之。-。=2,所以吐2 1=13选 区学科&网5 .（湖 南 省 衡 阳 市2 0 18届高三第二次联考（二 模）已知双曲线的两个焦点为大 卜 厢,0）、7 （7 10,0）,M是此双曲线上的一点，且 满 足 丽 砺=0,|诟，诟1 =2,则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为1A.3B.-3C.D.12【答案】D【解析】斯 诟 =0二 砺 西+画f=4 0 ,二（国-恒=阿卜2画.丽|+|诟 f=4 0-2 x 2 =36,二 阿-麻|=2a=6=a
11、=3,又 c=而=一/=1=5一/=1,其渐近线方程为y=g匕二焦点到它的一条渐近线的距离为d=|0-3 x 0|=1,故 选 D.x 2 y2-卜 =16.（2 0 17-2 0 18 学年福建省厦门外国语学校高三下学期第一次开学考试）设椭圆m?n2，双曲线-=1加2 M（其中mn0）的离心率分别为e 1e 2,则A.ei-e2 1C.C1 ,g2=1【答案】BB.el e2 7因为 m n 0,所以0 1,0 11,所以 0 m m1 工 1,即0%e 2 0 1 0）经过点（4,1）,且与V _；=1具有相同的渐近线，则C的方程为,渐近线方程为.【解析】与 F -=1具有相同渐近线的双曲
12、线方程可设为丁-三=加（加H 0）,44A220 2.双曲线C 经过点（4），二次=F 二=T 即双曲线的方程为丁 一 三=-3,即 1一 J=l,4412 3Rv21令 石 一 1=0,得丁二士5 工,故双曲线3V -JV2 =1的渐近线方程为y=士1:X.1 J a J 上8.（江苏省苏北六市2018届高三第二次调研测试数学）在平面直角坐标系为 0中，已知双曲线C 与双曲线一 片=1有公共的渐近线，且经过点P（-2,5,则双曲线C 的焦距为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.3【答案】4石2【解析】双曲线X2-?=1的渐近线方程为y=j3 x,设双曲线C 的方程
13、为三 一 4=1（。0力 0）,a b_4_2.=1 2将（-2,同代 人 得?”，解得 卜 丁 3,一 廿=9则J=1 2,c=2 3贝墩曲线C 的焦距为2c=46.9.（2017-2018学年高二衡水联考）已知F是双曲线C:1-4=l（a 0/0）的一个焦点,0为坐标原点,Ma b是双曲线C上一点，若“。尸是等边三角形，则双曲线C的离心率等于.【答案】G+1【解析】令尸是双曲线的右焦点，点在第一象限内，因为AMOF是等边三角形，所以点用的坐标为（,叵），2 2*2 y2 2 3c2又因为点在双曲线二-4 =1上，所以上?一。=1,a2 b2 4a2 4h2又所以。4一8/。2+4/=0,即
14、8e2+4=0,解得 e=G +L所以双曲线C 的离心率为价+1.2x2_y_ V?10.（2018届广东省揭阳市高三学业水平（期末）考试）已知双曲线 反=1的离心率为2,左焦点为尸1,当点尸在双曲线右支上运动、点。在 圆/+0-1）2=1上运动时，IPQI+IPF1I的最小值为-.5【答案】2【解析】依题意可知户1力设3（0.1）,由 得，IP81=2 PQ+PFt=PQ+PF2+2 QF2+2问题转化为求点 到 图B上点的最小值，F23 1即|2乩3=|阳-1=丁1 =丁故（闿|+|期 限4+2=11.（贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期 黄金卷第二套模拟考试）过双曲线的焦点与双曲线
15、实27）2轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其 长 等 于 竺（。、6 分别为双曲线的实半.ar2轴长与虚半轴长）,已知双曲线C:一y 2=i（。0）的左、右焦点分别为大、工，若点M 是双曲a线 C 上位于第四象限的任意一点，直线/是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，于点0,且|“。|+|儿/|的最小值为3,则双曲线C的通径为.【答案】2【解析】如图所示，连接g,由双曲线的定义知|耳|一|摩|=24,:.MQ+MF =MF2 +MQ+2a F2Q+2 a,当且仅当Q,M,玛 三点共线时取得最小值3,此时,力 1 C口(。,0)到直线/：)=上4=一上4 的距离|居。|=/,a
16、 a-Vl+a2c c-/+2。=3 F 2Q=3 Q=1,J l+Y C2b2由定义知通径等 于 丝 =2.1 2.(上海市静安区2017-2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学)设双曲线C：-=1,2 3G，巴为其左、右两个焦点.(1)设o 为坐标原点，加 为双曲线c 的右支上任意一点，求 两 砸 的取值范围；(2)若动点尸与双曲线C 的两个焦点打，鸟 的距离之和为定值，且cosN P E 的最小值为-求动点尸的轨迹方程.2 2【答案】(1)2+)；(2)4-=1【解析】（D设”（工y）,x 7 2,左焦点 居 卜4,0）,Q 2 A0 M -FXM=(x,y).(x+&j|=/+
17、#x+y，=V +退x+卫-3 =二x2+而 工-3 2 2(x 2),对称轴为=-冬0,.斯 丽 e2 +M+oo).（2）由椭圆定义得尸点轨迹为椭圆三+汇=l（a b 0）,区E|=2而，|产司+|P局=2 a,a bcosN 鼻 PF=1%+F鸟._2 0 _ 4/2 1尸甲.|产鸟|-2 02附|附|二 2照讣|尸局4 a2-2 0 12|尸司一由基本不等式得2a=|3|+PF2 2眄下网，当且仅当|尸胤=|尸鸟|时等号成立,A 2 O A i.|尸耳卜归闾/,y i i j c os ZPT 2-1 =-,：.a2=9,=4,；.动点。的轨迹方程 为 三+二=1.9 4毒真题再现v.
18、21.（2 0 1 5新课标【全国理科）已知颂玉）,九）是双曲线C：5一_/=1上的一点，片，耳 是C的两个焦点，若MFM F (小 一与广比)=君+4一3=3 4 1 0,解 得 一 日 此 0,6 0)的一条渐近线方程为y=x,且 与 椭 圆 工+己=1有公共焦点，则C的方程为1 2 3A-三啖TB.C 一，5 4一/-14 3/k【解析】双曲线C：3%=l（a 0,匕0）的渐近线方程为y=2x,a b a在椭圆中：=1 2 1 2=3,二/=/一/=9=3,故双曲线C的焦点坐标为（3,0）,据此可得双曲线中的方程组：2=立,c=3,/=+/,解得/=4,/=5,a 2则双曲线C的方程为8
19、-4=1.故 选B.4 5【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系，求 出a,方的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为:件求出）的值即可.X2 V23.（2 0 1 6 新课标全国H 理科）已知小 尸 2 是双曲线氏 一 2T=1 的左,a b与X 轴垂直，sinZMF2Ft，则的离心率为L3A.五B.C.V3 D.2【答案】A 21 2【解析】因 为 孙 垂直于x 轴，所以|孙|=一,附 闾=2。+幺，因为s i nN叫6=1，所以口
20、驾=J=L,化简得6 =a,3 皿2里3a故双曲线的离心率e=J l +勺=J 5 .选A.1-4=2（义工0）,再由条a b右焦点，点 用 在 E上，MF【名师点睛】区分双曲线中a,b,c的关系与椭圆中a,b,c的关系，在椭圆中/=/+/,而在双曲线中 2=/+/双 曲 线 的 离 心 率e G（i,+oo）,而椭圆的离心率e d（0,1）.4.X2 v2（2 0 1 7新课标全国n理科.）若双曲线C：三一 Ja bl（a 0,b 0）的一条渐近线被圆（x 2）2+/=4所截得的弦长为2,则C的离心率为A.2C.V2B.也2 7 3T【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线 工 一 工=1（。0 8 0）的渐近线方程 为 於 十，=0,a b圆心（i o）到渐近线的距离为d=JF二F=6，则点（2 0）到直线bx+ay=0的距离为d=毕驾=至=抬，即 当 二 2 =3 ,y/a2+b2 c c整理可得d=4/，则双曲线的离心率。=松=/=2.故 选A.【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：求出4 c,代入公式。=;只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式，a结合核=一乐转化为a,c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或乐转化为关于c的方程（不等式），解方程（不等式）即可得仅e的取值范围）.