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1、24.1 圆第课时教学内容1 .圆的有关概念.2 .垂径定理：平 分 弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用.教学目标了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题.从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念.利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴.通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解.重难点、关键1 .重点：垂径定理及其运用.2 .难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决些实际问题.教学过程一、复习引入（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）
2、1 .举出生活中的圆三、四个.2 .你能讲出形成圆的方法有多少种？老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时 针 等.（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆.二、探索新知从以上圆的形成过程，我们可以得出：在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆.固定的端点O叫做圆心，线段0A叫做半径.以点O为圆心的圆，记 作“。0”，读 作“圆0”.学生四人一组讨论下面的两个问题：问题1：图上各点到定点（圆心0）的距离有什么规律？问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？老师提问几名学生并点评总结.（1）图上各点到定点（圆心0）的距离都等于
3、定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.因此，我们可以得到圆的新定义：圆心为0,半径为r的圆可以看成是所有到定点0的距离等于定长r的点组成的图形.同时，我们又把连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段A C,A B：经过圆心的弦叫做直径，如图2 4-1线段A B；圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作AC”，读作“圆弧A C ”或“弧A C”.大于半圆的弧（如图所示A8C叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）AC或 叫 做 劣 弧.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.（学生活动）请同学们回答下面两个问题.1 .圆是轴对称图形吗？
4、如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？2 .你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流.（老师点评）1.圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径.3 .我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的.因此，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.（学生活动）请同学按下面要求完成下题：如图，A B是。0的一条弦，作直径C D,使C D L A B,垂足为M.（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理山.（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是C D.(2)A M=B M,A C B
5、C ,A D B D ,即直径CD平分弦A B,并且平分A6及A D B .这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两获?下面我们用逻辑思维给它证明一下：已知：直径CD、弦 AB且 CD_L AB垂足为M求证：AM=BM,AC=BC,AD=BD.分析：要证AM=BM,只要证AM、BM 构成的两个三角形全等.因此，只要连结OA、0 B 或 AC、BC即可.证明：如图，连结OA、0 B,则 OA=OB在 RtAOAM 和 RtAOBM 中OA=OB OM=0M：.RtAOAMRtAOBM；.AM=BM.点A 和点B 关于CD 对称关于直径CD对称当圆沿着直线CD对折时，点
6、 A 与点B 重合，A C 与 重 合，A O 与 6。重合.A C B C,AD=BD进一步，我们还可以得到结论：平 分 弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条冢（本题的证明作为课后练习）例 1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中C O,点 0 是C O 的圆心，其中CD=600m,E 为C O 上一点，且 O EJ_C D,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.分析：例 1 是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握.解：如图，连接0C设弯路的半径为R,则 0F=(R-90)mVOE1CD.C F=-
7、C D=-X600=300(m)2 2根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即 R2=30()2+(R-90)2 解得 R=545，这段弯路的半径为545m.三、巩固练习教材P 8 6 练 习 P 8 8 练习.四、应用拓展例 2.有-石拱桥的桥拱是圆弧形，如 图 24-5所示，正常水位下水面宽AB=60m,水面到拱顶距离CD=18m,当洪水泛滥时，水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由.分析：要求当洪水到来时，水面宽MN=32m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R,然后运用几何代数解求R.解：不需要采取紧急措施设 O A=R,在 RtAOC 中，AC=30
8、,CD=18R2=302+(R-18)2 R2=900+R2-36R+324解得 R=34(m)连接 O M,设 D E=x,在 RtZMOE 中，ME=16342=162+(34-X)2162+342-68X+X2=342 X2-68X+256=0解得XI=4,X2=64(不合设)，DE=4不需采取紧急措施.五、归纳小结(学生归纳，老师点评)本节课应掌握：1.圆的有关概念；DCA-L-B.02.圆是轴对称图形，任何条宜径所在直线都是它的对称轴.3.垂径定理及其推论以及它们的应用.六、布置作业1.教材P 9 4 复习巩固1、2、3.2.车轮为什么是圆的呢？3.垂径定理推论的证明.4.选用课时作
9、业设计.第一课时作业设计一、选择题.1.如 图 1,如 果 A B 为。的直径，弦 CD J_A B,垂足为E,那么下列结论中，错误的是().A.CE=DE B.BC=BDC.ZBAC=ZBAD D.ACAD2.如图2,0 0 的直径为1 0,圆心O 到弦A B的距离OM 的长为3,则弦A B的长是（）A.4 B.6 C.7 D.83.如图3,在。O 中，P 是弦A B的中点，CD 是过点P 的直径，则下列结论中不正确的是（）A.ABCD B.ZAOB=4ZACD C.AD=BD D.PO=PD二、填空题1 .如图4,A B为。O 直径，E 是B C 中点，O E交 BC于点D,BD=3,AB
10、=10,则 AC=.2.P 为。O 内一点，OP=3cm,0 0 半径为5 c m,则经过P 点 的 最 短 弦 长 为；最长弦长为.3.如图5,OE、O F分别为。O 的弦AB、C D 的弦心距，如果OE=OF,那么（只需写一个正确的结论）三、综合提高题1.如 图 24-11,A B 为。0 的直径，C D 为弦，过 C、D 分别作CNCD.DM CD,分别交AB于 N、M,请问图中的AN与 BM 是否相等，说明理由.2.如图，。直径AB和弦CD 相交于点E,AE=2,EB=6,ZDEB=30,求弦C D 长.3.（开放题）A B是。0 的直径，AC AD是。0 的两弦，已知AB=16,AC
11、=8,AD=8,求/D A C 的度数.答案：一、1.D 2.D 3.D二、1.8 2.8 10 3.AB=CD三、1.AN=BM 理由：过点 O 作 OE_LCD 于点 E,则 C E=D E,且 CNOEDM.，ON=OM,AOA-ONB-OM,；.AN=BM.2.过 O 作 OFLCD于 F,如右图所示VAE=2,EB=6,，OE=2,.EF=V3,O F=1,连结 OD,在 RtODF 中，42=12+0 ,DF=A/15,：.CD=2y/5.3.(1)AC、AD在 A B的同旁，如右图所示：-VAB=16,AC=8,AD=8百，A-A C=-(-A B),.ZCAB=60,2 2 2
12、同理可得/DAB=30,ZDAC=30.(2)AC、AD 在 AB 的异旁，同理可得：/DAC=60+30=90.2 4.1圆（第2课时）教学内容1.圆心角的概念.2.有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.3.定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.教学目标了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用.通过复习旋转的知识，产生圆心角的概
13、念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题.重难点、关键1.重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用.2.难点与关键：探索定理和推导及其应用.教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下题.已知 O A B,如图所示，作出绕0点旋转3 0、4 5、6 0 的图形.老师点评：绕。点旋转，O点就是固定点，旋转30,就是旋转角/B O B =30.二、探索新知如图所示，/A O B的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.（学生活
14、动）请同学们按下列要求作图并回答问题：如图所示的。O中，分别作相等的圆心角/A O B和N A OB 将圆心角N A O B绕圆心O旋转到N A O B 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？AB=A B,AB=A B理由：.半径OA与 O A 重合，且NAOB=NA OB，半径O B与 O B 重合.点A 与点A 重合，点 B 与点B 重合A 6 与A 8 重合，弦 AB与弦A B 重合/.AB=A B,AB=A B因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？请同学们现在动手作一作.(学生活动)老师点评：如 图 I,
15、在。O 和。O 中，分别作相等的圆心角NAOB和NA O B 得到如图2,滚动一个圆，使 O 与 0 重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得0 A 与 O A 重合.你能发现咖些等量关系？说一说你的理由？我能发现：A B=A B,AB=AV.现在它的证明方法就转化为前面的说明了，这就是又回到了我们的数学思想上去呢化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相挛同样，还可以得到：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等.
16、(学生活动)请同学们现在给予说明一下.请三位同学到黑板板书，老师点评.例 1.如图，在。0 中，AB、CD 是两条弦，OELAB,O F C D,垂足分别为EF.(1)如果/A O B=/C O D,那么0 E 与 O F的大小有什么关系？为什么？(2)如果OE=OF,那么A 6 与 C D 的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？/A O B 与/C O D 呢?分析：(I)要说明OE=OF,只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF,即说明A B=CD,因此，只要运用前面所讲的定理即可.(2)VOE=OF,.,.在 RtaAOE 和 RtCOF 中，又有 AO=
17、CO 是半径，ARtAAOERt ACOF,；.AE=CF,；.A B=C D,又可运用上面的定理得到4 5 =C。解：(1)如果NAOB=NCOD,那么 OE=OF理由是：VZAOB=ZCOD.AB=CDVOE1AB,OFCD11.A E=-A B,CF=-CD2 2；.AE=CFXVOA=OC,.RtAOAERtAOCF.*.OE=OF(2)如果 O E=O F,那么 AB=CD,AB=C D,ZAOB=ZCOD理由是：VOA=OC,OE=OFARtAOAERtAOCF.AE=CFXVOE1AB,OFCD.A E=-A B,CF=-CD2 2；.AB=2AE,CD=2CF；.AB=CDAB
18、=CD,ZAOB=ZCOD三、巩固练习教材P 8 9 练 习 1 教材P 9 0 练习2.四、应用拓展例 2.如图3 和图4,M N是。0 的直径，弦 AB、C D 相交于M N 上的一点P,ZAPM=/CPM.(1)由以上条件，你认为AB和 C D 大小关系是什么，请说明理由.(2)若交点P 在。0 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，清说明理由.分析：(1)要说明AB=CD,只要证明AB、CD 所对的圆心角相等，只要说明它们的一半相等.上述结论仍然成立，它的证明思路与上面的题目是一模一样的.解：AB=CD理由：过。作 OE、O F分别垂直于AB、C D,垂足分别为E、FV
19、ZAPM=ZCPMOE=OF连结 OD、0B 且 OB=OD.,.RtAOFDRtAOEBADF=BE根据垂径定理可得：AB=CD(2)作 OEJ_AB,OF_LCD,垂足为 E、FZAPM=ZCPN 且 OP=OP,ZPEO=ZPFO=90ARtAOPERtAOPF.OE=OF连接 OA、OB、OC、OD易证 RtAOBERtAODF,RlAOAERtAOCF.Z 1 +Z2=Z3+Z4，AB=CD五、归纳总结(学生归纳，老师点评)本节课应掌握：1.圆心角概念.2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用.六、布置作业
20、1.教材P94-95 复习巩固4、5、6、7、8.2.选用课时作业设计.第二课时作业设计一、选择题.1.如果两个圆心角相等，那 么()A.这两个圆心角所对的弦相等;B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D.以上说法都不对2.在同圆中，圆心角/A 0 B=2/C 0 D,则两条弧AB与 CD关 系 是()A.AB=2CD B.ABCD C.AB 2CD D.不能确定3.如图5,。0 中，如果A 8=2 A C,那 么().A.AB=AC B.AB=AC C.AB2AC(5)(6)二、填空题1.交通工具上的轮子都是做圆的，这 是 运 用 了 圆 的 性 质 中 的.2.
21、一条弦长恰好为半径长，则 此 弦 所 对 的 弧 是 半 圆 的.3.如图6,AB和 D E是。0 的直径，弦 ACD E,若弦B E=3,则弦CE=.三、解答题1.如图，在。中，C、D 是直径A B上两点，月 一 AC=BD,MC1AB,ND1AB,M、N 在(DO上.(1)求证：AM=BN；(2)若 C、D 分别为OA、O B 中点，则AM=M N=N B 成立吗？2.如 图，以 ABCD的顶点A 为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于 E、F,若/D=50,求 B E 的度数和E/的度数.3.如图，/AOB=90,C、D 是 AB三等分点，A B分别交OC、OD于点E、F,求证：AE
22、=BF=CD.答案：一、1.D 2.A 3.C二、1.圆的旋转不变形2.或*3.33 3三、1.(1)连结 OM、O N,在 RtZOCM 和 RtAODN 中 OM=ON,OA=OB,VAC=DB,，OC=OD,ARtAOCMRtAODN,ZAOM=ZBON,/.AM=NB(2)AM=M N=NB2.B E的度数为80,EF的度数为50.3.连结AC、BD,；C、D 是A 6 三等分点，；.AC=CD=DB,K Z A O C=-X90=30,3；OA=OC,r.ZOAC=ZOCA=75,又/AEC=/OAE+/AOE=45+30=75,；.AE=AC,同理可证 BF=BD,/.AE=BF=
23、CD2 4.1 圆（第 3 课时）教学内容i .圆周角的概念.2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半.推论：半 圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用.教学目标1.了解圆周角的概念.2.理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.3.理解圆周角定理的推论：半 圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径.4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推
24、导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题.重难点、关键1.重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.2.难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理.3.关键：探究圆周角的定理的存在.教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题.1.什么叫圆心角？2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：(1)我们把顶点在圆心的角叫圆心角.(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等
25、量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题.二、探索新知问题：如图所示的。0,我们在射门游戏中，设 E、F是球门，设球员们只能在E f所在的。其它位置射门，如图所示的A、B、C点.通过观察，我们可以发现像N E AF、N E B F、/E C F 这样的角，它们的顶点在圆匕并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题.1 .一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？2 .同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3 .同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？(学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言.老师点评：1 .一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个.2 .通过度量
26、，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的.3 .通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半.下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.(1)设圆周角N A B C 的一边B C 是。的直径，如图所示-Z A 0 C 是AB 0 的外角.Z A0 C=Z AB 0+Z B A0 A,.,OA=OBZ AB 0=Z B A0 (/Z A0 C=Z AB 0 /).Z AB C=-Z AO C 铲 ,2(2)如图，圆周角N A B C 的两边AB、A C 在一条直径0 DBC的两侧，那么/AB C=/AO C 吗？
27、请同学们独立完成这道题的说明过程.2老师点评：连结B 0 交（D O 于 D同理N A O D 是A A B O 的外角，/C O D 是B O C 的外角,那么就有 N AO D=2/AB O,Z D 0 C=2 Z C B 0,因 止 匕/AO C=2 N AB C.（3）如图，圆周角N A B C 的两边AB、AC 在一条直径0 1）的同侧，那么N AB C=/AO C 吗？请同学们独立完成证明.2老师点评：连结0 A、0 C,连结B 0 并延长交。于 D,那么N A0 D=2/AB D,Z C 0 D=2 ZC B O,而N AB C=N AB D-N C B O=!Z A0 D-Z
28、C 0 D=-Z AO C2 2 2现在，我如果在画一个任意的圆周角/AB C,同样可证得它等于同弧上圆心角一半,因此，同弧上的圆周角是相等的.从（1）、（2）、（3）,我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.进一步，我们还可以得到下面的推导：半 圆（或直径）所对的圆周角是直角，9 0 的圆周角所对的弦是直径.下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目.例 1.如图，AB 是。的直径，B D 是。0的弦，延长B D 到 C,使 AC=AB,B D 与 C D 的大小有什么关系？为什么？分析：B D=C D,因为AB=AC,所以这个A
29、 A B C 是等腰，要证明D是 B C 的中点，只要连结AD 证明AD 是高或是N B A C 的平分线即可.解：B D=C D理由是:如图2 4-3 0,连接ADAB 是。0的直径.Z AD B=9 0 即 AD _ L B C又,.AC=AB/.BD=CD三、巩固练习1.教材P 9 2 思考题.2.教材P 9 3练习.四、应用拓展例 2.如 图，已知4ABC内接于。0,/A、NB、Z C 的对边分别设为a,b,c,0 0半径为 R,求证：二 一2一二一-二 2R.sin A sin B sin C分析：要证明一4一 二一匕二二一 二 2 R,只要证明，一 二 2R,2=2R,一 二 2R
30、,sin A sinB sinC sin A sin B sinC即 sinA=、，sinB=,sinC=,因此，十分明显要在直角三角形中进行.2R 2R 2R证明：连接C0并延长交。于 D,连接DBVCD是直径ZDBC=90又:ZA=ZDB e d在 RtZM)BC 中，sinD二,即 2R二-DC sin Ah c同理可证：-=2R,-二 2Rsin 8 sinCsin A sin B sinC五、归纳小结（学生归纳，老师点评）本节课应掌握：1.圆周角的概念；2.圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半；3.半 圆（或直径）所对的圆周角是直角
31、，9 0 的圆周角所对的弦是直径.4.应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题.六、布置作业1.教材P 9 5 综合运用9、10、1 1 拓广探索12、13.2.选用课时作业设计.第三课时作业设计一、选择题1.如 图1,A、B、C三点在。0上，ZA0C=100,则NABC等 于（）.A.140 B.110 C.120 D.130(1)(2)(3)2.如 图2,N l、N 2、N 3、N 4的大小关系是()A.Z4 Z1Z2 Z3 B.Z4 Z1=Z3Z2C.Z 4 Z 1 Z 3 Z 2 D.Z4Z1Z3=Z23.如图3,AD是。的直径，AC是弦，O B1A D,若OB=5,且NCAD=30,
32、则BC等于().二、填空题1.半径为2 a的。0中，弦AB的长为2百a,贝lj弦AB所对的圆周角的度数是一2.如图4,A、B是。0的直径，C、D、E都是圆上的点，则Nl+/2=.3.如图5,已知A A B C 为。0内接三角形,B C=1,Z A=6 0 ,则。0半径为三、综合提高题1.如图，弦 AB 把圆周分成1：2的两部分，已知。0半径为1,求弦长AB.2.如图，已知 AB=AC,Z AP C=6 0(1)求证：a A B C 是等边三角形.(2)若 B C=4 c m,求。的面积.3.如图，OC经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B,点 A 的坐标为(0,4),M 是圆上一点，Z
33、 B M 0=1 2 0 .(1)求证：AB 为。C直径.(2)求。C的半径及圆心C的坐标.答案：一、1.D 2.B 3.D二、1.1 2 0 或 6 0 2.9 0 3也3三、1.6 2.(1)证明：V Z AB C=Z AP C=6 0 ,又 A 5 =A C,.,.Z AC B=Z AB C=6 0 ,AB C 为等边三角形.(2)解：连结0 C,过点。作 0 D J _ B C,垂足为D,在 R t Z 0 D C 中，D C=2,Z 0 C D=3 0 ,设 0 D=x,则 0 C=2 x,.,.4X2-X2=4,.0 C=-A/333.(1)略(2)4,(-2 7 3 ,2)点和圆
34、的位置关系教学目标（一）教学知识点了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.（二）能力训练要求1.经历不在同条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力.2.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略.（三）情感与价值观要求1.形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.2.学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.教学重点1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论.2.掌握过不在同一条直线上的三个点作
35、圆的方法.3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念.教学难点经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆.教学方法教师指导学生自主探索交流法.教具准备投影片三张第一张：（记作 3.4 A）第二张：（记作 3.4 B）第三张：（记 作 3.4 C）教学过程I .创设问题情境，引入新课 师 我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线.那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点呢？本节课我们将进行有关探索.I I .新课讲解1 .回忆及思考投影片（3.4 A）1 .线段垂直平分线的性质及作法.2 .作圆的关键是什么？生 1.线段垂直平分线的性质是
36、：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.作法：如下图，分别以/、8为圆心，以 大 于 长 为 半 径 画 弧，在 的 两 侧 找 出2两交点G D,作直线切，则直线切就是线段D 的垂直平分线，直线切上的任一点到4与 8的距离相等.师 我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.定点即为圆心，定长即为半径.根据定义大家觉得作圆的关键是什么？生 由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题.因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小.确定了圆心和半径，圆就随之确定.2.做一做(投影片 3.4 B)(1)作圆，使它经过已知点4 你能作出几个这样的圆？(2)作圆，使它经
37、过已知点4、6.你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段4 8 有什么关系？为什么？(3)作圆，使它经过已知点4、B、C(A、B、，三点不在同一条直线上).你是如何作的？你能作出几个这样的圆？师 根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答.生(D 因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点I作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来.所以以点力以外的任意一点为圆心，以这一点与点4 所连的线段为半径就可以作一个圆.由于圆心是任意的.因此这样的圆有无数个.如图(1).(2)已知点/、8都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径.因此
38、圆心到/、8的距离相等.根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段4 8 的垂直平分线上.在4 8 的垂直平分线上任意取点，都能满足到/、6 两点的距离相等，所以在四的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到力的距离即为半径.圆就确定下来了.由于线段形的垂直平分线上有无数点,因此有无数个圆心，作出的圆有无数个.如图(2).(3)要作一个圆经过4、B、C 三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相 等.因 为 到 4 6 两点距离相等的点的集合是线段4 6 的垂直平分线，到 以。两点距离相等的点的集合是线段鸵的垂直平分线，这
39、两条垂直平分线的交点满足到4、B、C 三点的距离相等，就是所作圆的圆心.因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆.师 大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？3.过不在同一条直线上的三点作圆.投影片(3.4 C)作法图示1.连结4 氏BCA一2.分别作1 8、园的垂直平分线应和/心,鹿和环相交于点0BL(3.以。为圆心，为半径作圆。就是所要求作的圆E.h(.P他作的圆符合要求吗？与同伴交流.生 符合要求.因为连结4 6,作18的垂直平分线被，则 能 上 任 意 一 点 到 从8的距离相等；连结B C,作比的垂直平分线被 则环上的任一点到反，的距离相等.劭与能的
40、满足条件.师 由上可知，过己知一点可作无数个圆.过己知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作个圆，并且只能作一个圆.不在同一直线上的三个点确定一个圆.4.有关定义由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle),这个三角形叫这个圆的内接三角形.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter).m.课堂练习已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？解：如下图.。为外接圆的圆心，即外心.锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的
41、外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部.IV.课时小结本节课所学内容如下：1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程.方法.3.了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念.V.课后作业习题3.6V I.活动与探究如卜图，所在的直线垂直平分线段AB.怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心?解：因为/、8两点在圆上，所以圆心必与尔夕两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在徵所在的直线上.因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径.它们的交点就是圆心.板书设计3.4确定圆的条件一、1.回忆及思考（投影片3.4A）2.做 一做（投影片3
42、.4B）3.过不在同一条直线上的三点作圆.4.有关定义二、课堂练习三、课时小结四、课后作业直线和圆的位置关系教学目标（一）教学知识点1.理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.2.了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系.（二）能力训练要求1.经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力.2.通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化.（三）情感与价值观要求通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼
43、克服困难的意志，建立自信心.教学重点经历探索直线与圆位置关系的过程.理解直线与圆的三种位置关系.了解切线的概念以及切线的性质.教学难点经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系.探索圆的切线的性质.教学方法教师指导学生探索法.教具准备投影片三张第一张：（记作3.5.1A）第二张：（记作3.5.1B）第三张：（记作3.5.10教学过程I,创设问题情境，引入新课 师 我们在前面学过点和圆的位置关系，请大家回忆它们的位置关系有哪些？生 圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.即圆上的点到圆心的距离等于半径；圆的内部到圆心的距离小于半径；圆的外部到圆心的距离大于半径.
44、因此点和圆的位置关系有三种，即点在圆上、点在圆内和点在圆外.也可以把点与圆心的距离利半径作比较，若距离大于半径在圆外，等于半径在圆上，小于半径在圆内.师 本节课我们将类比地学习直线和圆的位置关系.I I.新课讲解1.复习点到直线的距离的定义 生 从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离.如下图，C为直线46外一点，从C向48引垂线，为垂足，则线段切即为点C到直线 的 距 离.A D B2.探索直线与圆的三种位置关系 师 直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的例子是很多的.如大家请看课本113页，观察图中的三幅照片，地平线和
45、太阳的位置关系怎样？作一个圆，把直尺的边缘看成条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？生 把太阳看作圆，地平线看作直线，则直线和圆有三种位置关系；把直尺的边缘看成一条直线，则直线和圆有三种位置关系.师 从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢？生 有三种位置关系：师 直线和圆有三种位置关系，如下图：它们分别是相交、相切、相离.当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点)，这条直线叫做圆的切线(t a n g e dli ne).当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交.当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离.因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系
46、，你能总结吗？生 当直线与圆有唯公共点时，这时直线与圆相切；当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交；当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离.师 能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离d 和半径r 作比较，类似地推导出如何用点到直线的距离d 和半径r 之间的关系来确定三种位置关系呢？生 如上图中，圆 心。到 直 线/的 距 离 为 4 圆的半径为r,当直线与圆相交时，d r,因此可以用d与 r间的大小关系断定直线与圆的位置关系.师 由此可知：判断直线与圆的位置关系有两种方法.种是从直线与圆的公共点的个数来断定；-种是用d 与 r的大小关系来断定.投影片(3.5.1 A)I(1)从公共点的
47、个数来判断：直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯公共点时，直线与圆相切：直线与圆没有公共点时，直线与圆相离.(2)从点到直线的距离d 与半径r的大小关系来判断：时，直线与圆相交；d=r 时，直线与圆相切；I 4r时，直线与圆相离.投影片(3.5.1 B)例 1 已知放4 7 C的斜边/公=8 c m,AC=4cm.F(1)以点。为圆心作圆，当半径为多长时，4?与。C相切？(2)以点。为圆心，分别以2 c m 和 4 c m 的长为半径作两个圆，这两个圆与1 6 分别有怎j 样的位置关系？分析：根据d 与 r间的数量关系可知：“=不时，相切；O时，相交；时:相离.解：(1)如上图，
48、过 点。作 4?的垂线段3.9AC=4.cmf AS=8cm；：.ZA=f)0.,.G 9=/f Cs i n J=4 s i n 6 0 =2 7 3 (c m).因此，当半径长为2 百 c m 时、4?与C 相切.(2)由可知，圆心C 到 4 8的距离r f=2 6 c m,所以，当 r=2 c m 时，d r,3。与然相离；当 r=4 c m 时,d V r,。与 4?相交.3.议一议(投影片 3.5.1 C)(1)你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？(2)上图(1)中的三个图形是轴对称图形吗？如果是，你能画出它们的对称轴吗？(3)如图(2),直线切与。相切于点4 直径四与直
49、线切有怎样的位置关系？说说你的理由.对于(3),小颖和小亮都认为直径4?垂直于必 你同意他们的观点吗？师 请大家发表自己的想法.生(1)把一只筷子放在碗上，把碗看作圆，筷子看作直线，这时直线与圆相交；自行车的轮胎在地面上滚动，车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相切；杂技团中骑自行车走钢丝中的自行车车轮为圆，地平线为直线，这时直线与圆相离.(2)图(1)中的三个图形是轴对称图形.因为沿着“所在的直线折叠，直线两旁的部分都能完全重合.对称轴是，所在的直线，即过圆心。且与直线/垂直的直线.(3)所谓两条直线的位置关系，即为相交或平行，相交又分垂直和斜交，直 线 切 与。相切于点4 直 径 与 直
50、线 切 垂 直，因为图(2)是轴对称图形，U 是对称轴，所以沿4 6 对折图形时，1 与 1 重合，因 此/阮 然/胡 4 9 0 .师 因为直线切与。相切于点力，直径4 6 与直线垂直，直线是。的切线，因此有圆的切线垂直于过切点的直径.这是圆的切线的性质，下面我们来证明这个结论.在 图 中，与必要么垂直，要 么 不 垂 直.假 设 与 切 不 垂 直，过 点。作一条直径垂直于微 垂足为必，则如，即圆心。到直线切的距离小于。的半径，因此切与。相交，这与已知条件“直线制与。相切”相矛盾，所以AB与切垂直.这种证明方法叫反证法，反证法的步骤为第一步假设结论不成立；第二步是由结论不成立推出和已知条件