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1、最新最全的数学资料尽在QQ群323031380 公众号 福建数学2017-2018学年吉林省辽源市田家炳高级中学等五校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）下列说法中正确的是（）A“x5”是“x3”必要条件B命题“xR，x2+10”的否定是“xR，x2+10”CmR，使函数f（x）=x2+mx（xR）是奇函数D设p，q是简单命题，若pq是真命题，则pq也是真命题2（5分）在区间2，1上随机取一个数x，则x0，1的概率为（）ABCD3（5分）已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是
2、（）A平均数中位数众数B平均数中位数众数C中位数众数平均数D众数=中位数=平均数4（5分）从编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A5，10，15，20，25B3，13，23，33，43C1，2，3，4，5D2，4，8，16，325（5分）集合A=2，3，B=1，2，3，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是（）ABCD6（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A7B42C210D8407（5分）椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的
3、离心率e为（）ABCD8（5分）如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）ABCD9（5分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为（）A+=1B+y2=1C+=1D+=110（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为（）ABCD11（5分）抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A2B3C4D512（5分）若双曲线的离心率为，则其渐
4、近线的斜率为（）A2BCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为 14（5分）已知（2，0）是双曲线x2=1（b0）的一个焦点，则b= 15（5分）方程+=1表示曲线C，给出以下命题：曲线C不可能为圆；若1t4，则曲线C为椭圆；若曲线C为双曲线，则t1或t4；若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，则1t其中真命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）16（5分）过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：+=1（ab0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证
5、明过程或演算步骤）17（10分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得，（）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄附：线性回归方程y=bx+a中，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为18（12分）某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动他们的年龄在25岁至50岁之间按年龄分组：第1组25，30），第2组30，35），第3组35，40），第4组40，45），第5组45，50，得到的频率分布直方图如图所示下表是
6、年龄的频率分布表区间25，30）30，35）35，40）40，45）45，50人数25ab（1）求正整数a，b，N的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，AB=1，点E为棱PC的中点ADAB，ABDC，AD=DC=AP=2（1）证明：BEDC；（2）求二面角EABP的大小20（12分）已知曲线C的极坐标方程是=2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平
7、面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）当m=2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值21（12分）已知双曲线C：=1的离心率为，点（，0）是双曲线的一个顶点（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点F2作倾斜角为30直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长22（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，1），焦点在x轴上若右焦点到直线xy+2=0的距离为3（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k0）相交于不同的两点M、N当|AM|=|AN|时，求m的取值范围2017-2018学年吉林省辽源市田家炳高
8、级中学等五校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1（5分）下列说法中正确的是（）A“x5”是“x3”必要条件B命题“xR，x2+10”的否定是“xR，x2+10”CmR，使函数f（x）=x2+mx（xR）是奇函数D设p，q是简单命题，若pq是真命题，则pq也是真命题【解答】解：对于A，“x5”是“x3”充分条件，不是必要条件；所以A不正确；对于B，命题“xR，x2+10”的否定是“xR，x2+10”，满足命题的否定形式，正确；对于C，mR，使函数f（x）=x2+mx（xR）是奇函数，不正确，因为函数是二次函数，存在对称轴，不可
9、能关于原点对称，所以不正确；对于D，设p，q是简单命题，若pq是真命题，只有两个命题都是真命题时pq也是真命题，所以D不正确；故选：B2（5分）在区间2，1上随机取一个数x，则x0，1的概率为（）ABCD【解答】解：区间2，1的长度为1+2=3，区间0，1的长度为10=1，区间2，1上随机取一个数x，x0，1的概率为P=故选：A3（5分）已知一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是（）A平均数中位数众数B平均数中位数众数C中位数众数平均数D众数=中位数=平均数【解答】解：一组数据为20，30，40，50，50，60，70，80，它的平均数为
10、（20+30+40+50+50+60+70+80）=50，中位数为（50+50）=50，众数为50；它们的大小关系是平均数=中位数=众数故选：D4（5分）从编号为150的50枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发射实验，若采用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法，则所选取5枚导弹的编号可能是（）A5，10，15，20，25B3，13，23，33，43C1，2，3，4，5D2，4，8，16，32【解答】解：从50枚某型导弹中随机抽取5枚，采用系统抽样间隔应为 =10，只有B答案中导弹的编号间隔为10，故选B5（5分）集合A=2，3，B=1，2，3，从A，B中各取任意一个数，则这两数之
11、和等于4的概率是（）ABCD【解答】解：从A，B中各取任意一个数共有23=6种分法，而两数之和为4的有：（2，2），（3，1）两种方法，故所求的概率为：=故选C6（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A7B42C210D840【解答】解：当m=7，n=3，mn+1=5，k=7时，不满足退出循环的条件，S=7，k=6； k=6时，不满足退出循环的条件，S=42，k=5； k=5时，不满足退出循环的条件，S=210，k=4； k=4时，满足退出循环的条件，故输出的S值为210，故选：C7（5分）椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为（）ABCD【解答】
12、解：根据题意，椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，这个顶点必须是短轴的端点，若椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则有b=c，则a=2c，则椭圆的离心率e=；故选：A8（5分）如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（）ABCD【解答】解：如图，以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则D1（0，0，1），E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0）=（1，1，1），=（1，2，0），=（1，0，1），设平面ACD1的法向量为=（a，b，c），则，取a=2，得
13、=（2，1，2），点E到平面ACD1的距离为：h=故选：C9（5分）已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若AF1B的周长为4，则C的方程为（）A+=1B+y2=1C+=1D+=1【解答】解：AF1B的周长为4，AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，4a=4，a=，离心率为，c=1，b=，椭圆C的方程为+=1故选：A10（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为（）ABCD【解答】解：以D为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以D
14、D1为z轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D（0，0，0），B（2，2，0），B1（2，2，2），E（0，2，1）=（2，2，0），=（0，0，2），=（2，0，1）设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），令y=1，则=（1，1，0）cosn，=，设直线BE与平面B1BD所成角为，则sin =|cosn，|=故选：B11（5分）抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A2B3C4D5【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y=1，点A到准线的距离为4+1=5，根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离，点A与抛物线焦点的距
15、离为5，故选：D12（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A2BCD【解答】解：双曲线的离心率为，解得其渐近线的斜率为故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=2，所以a=故答案为：14（5分）已知（2，0）是双曲线x2=1（b0）的一个焦点，则b=【解答】解：双曲线x2=1（b0）的焦点为（，0），（，0），由题意可得=2，解得b=故答案为：15（5分）方程+=1表示曲线C，给出以下命题：曲线C不可能为圆；若1t4，则曲线C为椭圆；若曲线C
16、为双曲线，则t1或t4；若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，则1t其中真命题的序号是（写出所有正确命题的序号）【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：对于，方程+=1中，当4t=t1，即t=时，方程为x2+y2=，表示圆，故错误；对于，当t=时，满足1t4，而方程为x2+y2=，表示圆，故错误；对于，若曲线C为双曲线，则有（4t）（t1）0，解可得t1或t4；正确；对于，若曲线C为焦点在y轴上的椭圆，则有t14t0，解可得t4，错误；故答案为：16（5分）过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：+=1（ab0）相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于【解答】解：设A（x1，y1）
17、，B（x2，y2），则，M是线段AB的中点，=1，=1，直线AB的方程是y=（x1）+1，y1y2=（x1x2），过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：+=1（ab0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，两式相减可得，即，a=b，=b，e=故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得，（）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该
18、家庭的月储蓄附：线性回归方程y=bx+a中，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为【解答】解：（）由题意可知n=10，=8，=2，故lxx=7201082=80，lxy=1841082=24，故可得b=0.3，a=20.38=0.4，故所求的回归方程为：y=0.3x0.4；（）由（）可知b=0.30，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；（）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.370.4=1.7（千元）18（12分）某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动他们的年龄在25岁至50岁之间按年龄分组：第1组25，30），第2组30，35），第3组35，40），第4组40，
19、45），第5组45，50，得到的频率分布直方图如图所示下表是年龄的频率分布表区间25，30）30，35）35，40）40，45）45，50人数25ab（1）求正整数a，b，N的值；（2）现要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1，2，3组的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率【解答】解：（1）由频率分布直方图可知，25，30）与30，35）两组的人数相同，a=25人且人总人数人（2）因为第1，2，3组共有25+25+100=150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：第
20、1组的人数为，第2组的人数为，第3组的人数为，第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人（3）由（2）可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），共有15种其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），共有
21、8种所以恰有1人年龄在第3组的概率为19（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，AB=1，点E为棱PC的中点ADAB，ABDC，AD=DC=AP=2（1）证明：BEDC；（2）求二面角EABP的大小【解答】证明：（1）取PD中点F，连接AF，EF，E，F分别是PC，PD的中点，EFCD，EF=CD，ABCD，AB=CD，EFAB，EF=AB，四边形ABEF是平行四边形，BEAF，PA面ABCD，PACD，ABAD，ABCD，ADCD，PAAD=A，CD面PAD，CDAF，CDBE（4分）解：（2）以点A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0
22、，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），（6分）=（1，1，2），=（1，0，0），设面EAB的法向量为=（x，y，z），由，令=（0，1，1），（9分）面PBC的一个法向量=（0，1，0），设二面角EABP的大小为，则cos=|cos|=，二面角EABP的大小（12分）20（12分）已知曲线C的极坐标方程是=2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）当m=2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是=2co
23、s，2=2cos，曲线C的直角坐标方程是x2+y22x=0直线l的参数方程是（t为参数），消去参数得直线l的普通方程是xym=0（2）当m=2时，直线l为：2=0，直线l与曲线C交于A、B两点，曲线C：x2+y22x=0是以（1，0）为圆心，以r=1为半径的圆圆心（1，0）到直线l的距离d=，|AB|=2=2=21（12分）已知双曲线C：=1的离心率为，点（，0）是双曲线的一个顶点（1）求双曲线的方程；（2）经过的双曲线右焦点F2作倾斜角为30直线l，直线l与双曲线交于不同的A，B两点，求AB的长【解答】解：（1）双曲线C：=1的离心率为，点（，0）是双曲线的一个顶点，解得c=3，b=，双曲线
24、的方程为（2）双曲线的右焦点为F2（3，0），经过的双曲线右焦点F2作倾斜角为30直线l的方程为y=（x3），联立，得5x2+6x27=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，|AB|=22（12分）已知椭圆的一个顶点为A（0，1），焦点在x轴上若右焦点到直线xy+2=0的距离为3（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k0）相交于不同的两点M、N当|AM|=|AN|时，求m的取值范围【解答】解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设解得a2=3故所求椭圆的方程为；（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m21）=0由于直线与椭圆有两个交点，0，即m23k2+1从而又|AM|=|AN|，APMN，则即2m=3k2+1把代入得2mm2解得0m2由得解得故所求m的取范围是（）第19页（共19页）