《一文搞定最值系列之“瓜豆原理”（重磅精编）---6.5.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一文搞定最值系列之“瓜豆原理”（重磅精编）---6.5.docx（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、更多见微信公众号：数学第六感；公众号：数学三剑客;QQ群：391979252；微信号：ABC-shuxue;瓜豆原理作者介绍：朱昌伟，中学教师，9年教龄。毕业于北京师范大学，双学士学位。江苏省“优秀青年教师”，现任深圳市耐思培优总校区理科教研组长，主编的初中几何模型与解题通法已出版，本文即为其中一讲：瓜豆原理。原理概述俗语云“种瓜得瓜，种豆得豆”，数学上有“种线得线，种圆得圆”：平面内，动点Q随着动点P的运动而运动，我们把点P叫做主动点，点Q叫做从动点；当这两个动点与某个定点连线的夹角一定，且与该定点距离之比一定时（简记为“定角、定比”），易判断两个动点与定点构成的三角形形状一定，大小可能变，
2、此时两个动点的轨迹形状相同,瓜豆问题的本质是旋转、相似（包含全等）变换，往往与共点旋转（手拉手）模型相结合，考查类型有：（1）确定动点轨迹；（2）求运动路程；（3）求线段最值、面积最值等.基本模型一、种直线得直线（主动点与从动点的轨迹都是直线或直线上一部分）1. 图1 图2如图1，已知l为定直线，O为直线外一定点，P为直线l上一动点，连接OP，若Q为直线OP上一点（一般在线段OP上），且Q点到O点的距离与P点到O点的距离之比为定值k（k0且k1），即，此时我们可认为Q、P两点与定点O连线的夹角一定（夹角为0），符合瓜豆原理“定角、定比”的条件，因而Q点的运动轨迹也是直线；如图2，另取一组对应的
3、点P、Q,则，因而OQQOPP，相似比为k，可知从动点Q在平行于l的直线m上运动.易判断点O到直线m和l的距离之比也等于k.2. 图1 图2如图1，已知l为定直线，O为直线外一定点，P为直线l上一动点，将射线OP绕着点O按确定的方向（如顺时针）旋转一个确定的角度（0180），得到射线OM，在射线OM上取一点Q，使（k为大于0的定值），此时符合瓜豆原理“定角、定比”的条件，因而Q点的运动轨迹也是直线；如图2，另取一组对应的点P、Q,则Q点的运动轨迹即为直线QQ，POQ=POQ=，POP=QOQ，又，OPPOQQ.特别的，当k=1时，OPPOQQ.k1时，OQQ可看做由OPP绕着O点旋转并放缩（0
4、k1时缩小，k1时放大）而来.直线QQ可看做由直线l绕着点O顺时针旋转角而来，090时，两直线的夹角即为.典型例题1-1如图，在平面直角坐标系中，A（4,0），B为y轴正半轴上一动点，以AB为一边向下作等边ABC，连接OC，则线段OC的最小值为_.【分析】B为主动点，C为从动点；方法一：与从动点有关的线段最值，优先转化为与主动点有关的线段最值，将线段OA绕着点A顺时针旋转60，得到线段OA，构造全等三角形可实现线段的转化；方法二：两动点与定点A连线的夹角为定值（60），到点A的距离之比为定值1（即CA:BA=1），符合瓜豆原理“定角、定比”的特征，主动点B的轨迹为射线，则从动点C的轨迹也为射线
5、，确定其轨迹后，依据“垂线段最短”求OC得最小值.【解答】方法一：如图1，将线段OA绕着点A顺时针旋转60，得到线段OA；连接OB，易证AOBAOC，则OC=OB，即求OB的最小值；由于O为定点，点B在y轴正半轴上运动，如图2，由垂线段最短，知OBy轴时，OB最小，连接OO，则AOO为等边三角形，作OHOA于H，此时OB=OH=OA=2，即OC的最小值为2. 图1 图2方法二：如图3，当点B位于原点时，对应的点C位于（2，-2）处，当点B位于（0，）时，对应的点C位于（0，-）处，则点C的运动轨迹为射线，当OC时，OC最小；易证，=60，则=60，OC=2，即OC的最小值为2.【小结】1.动点
6、引起的最值问题，经常需要确定动点轨迹； 图32.两种方法中，均有两个等边三角形构成“共点旋转（手拉手）”模型，会伴随产生一组全等三角形；3.方法二中，由于从动点的轨迹为射线，因而先确定其端点，再找一组特殊位置的主动点和从动点（目的是便于计算），即可确定从动点的轨迹；4.严格来说，y轴的正半轴不包括原点，因此C点的轨迹不包括点.典型例题1-2如图，正方形 ABCD的边长为4，动点E从A点出发，沿着AB边向终点B作无折返运动，连接DE，以DE为边向右上方作正方形DEFG，则点E在整个运动过程中，点F经过的路径长为_.【分析】E为主动点，F为从动点，依据正方形的性质，两动点与定点A的连线夹角恒为45
7、，且始终有DF：DE=，符合瓜豆原理“定角、定比”的特征，故F点的运动轨迹为线段，由临界情况确定该线段的两个端点，结合“共点旋转（手拉手）”相似模型，运用相似比计算该线段长.【解答】如图1，连接BF、BD和DF，由正方形的性质知=, 图1BDA=FDE=45，则ADE=BDF，DAEDBF，BF=AE，当E点位于A点处时，F点位于B点处，当E点位于B点处时，F点的位置如图2，则F点的运动轨迹即为图2中的线段BF，BF=AB=4，即点F经过的路径长为4. 图2【小结】1.图1中，DAB与DEF构成“共点旋转（手拉手）”模型，伴随产生一组相似三角形（DAE和DBD）；2.瓜豆题型的突破口在于找到从
8、动点、主动点和某定点之间的“定角、定比”关系.变式训练1-1如图，ABC为等边三角形，AB=4，AD为高，E为直线AD上一动点，连接CE并以CE为边向下作等边CEF，连接DF；则点E在运动的过程中，线段DF的最小值为_.变式训练1-2（原创）如图，在ABC中，A=105，ABC=30，AC=，动点D从A点出发，沿着AC边向终点C作无折返运动，以BD为边向上作BDE，使BDE=A，且E=45，则点D运动的整个过程中，点E运动的路径长为_；F为直线CE上一动点，连接BF，则线段BF的最小值为_.变式训练1-3（多种方法）如图，已知AB=12，点C在线段AB上，且AC=4，以AC为一边向上作等边AC
9、D，再以CD为直角边向右作RtDCE，使DCE=90，F为斜边DE的中点，连接DF，随着CE边长的变化，BF长也在改变，则BF长的最小值为_.二、种曲线得曲线（主动点与从动点的轨迹都是双曲线或双曲线一部分）其原理与模型一类似，不再赘述，直接看例题：典型例题2-1如图，点A是双曲线在第一象限上的一动点，连接AO并延长，交双曲线的另一支于点B，以AB为斜边作等腰RtABC，点C落在第二象限内，随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但始终在同一函数图像上，则该函数解析式为_.【分析】A为主动点，C为从动点；方法一：根据点C坐标判断，连接CO过点C向x轴作垂线段，构建“三垂直”模型，设点A坐标，表示
10、出点C坐标，观察其坐标符合的函数解析式；方法二：根据反比例函数k的几何意义判断；方法三：动点A、C与定点O符合瓜豆原理“定角、定比”的特征，因而点C的轨迹是双曲线的一支，任意的点C均可看做对应的点A绕着点O逆时针旋转90而来，因而点C的轨迹可看做由原双曲线第一象限的一支绕点O逆时针旋转得到.【解答】方法一：连接OC，作CDx轴于点D，AEx轴于点E，由双曲线的对称性知OA=OB，又ABC为等腰直角三角形，COOA，CO=OA，则易证CODOAE，设A（a,）,则C（-，a），易判断点C在反比例函数y=-（x0）上，故答案为：y=-（x0）.方法二：辅助线同方法一，由反比例函数k的几何意义知=2
11、，易判断点C在反比例函数y=-（x0）上.方法三：点C的轨迹可看做由原双曲线第一象限的一支绕点O逆时针旋转得到，因而新反比例函数的k与原函数k互为相反数，故点C在反比例函数y=-（x0）上.变式训练2-1如图，RtABO中，AOB=90，点A在第一象限、点B在第四象限，且AO：BO=1：，若点A（x0，y0）的坐标x0，y0满足y0=，则点B（x，y）的坐标x，y所满足的关系式为 三、种圆得圆（主动点与从动点的轨迹都是圆或圆弧）1. 图1 图2如图1，已知点P为M上一动点，O为定点（一般在圆外），Q为直线OP上一点（一般在线段OP上），若=k（k0且k1），则主动点P、从动点Q与定点O符合“定
12、角（0）、定比”特征，因而Q点的轨迹也是圆，如何确定该圆的圆心和半径呢？如图2，连接MP、MO，作QNPM，交MO于点N，则OQNOPM，从而有=k,由于M、O为定点，k为定值，N为定点，设M半径为R，N半径为r，NQ=kMP=kR,NQ长为定值，由圆的定义知，点Q在以N为圆心，kR长为半径的圆上运动,即Q点的轨迹是以N为圆心，kR长为半径的圆.2. 图1 图2如图1，已知点P为M上一动点，O为定点（一般在圆外），将射线OP绕着点O按确定的方向（如顺时针）旋转一个确定的角度（0180），得到射线OT，在射线OT上有一点Q，满足=k（k为大于0的常数），则主动点P、从动点Q与定点O符合“定角、定
13、比”的特征，因而Q点的轨迹也是圆，如何确定该圆的圆心和半径呢？如图2，连接MP、MO，将射线OM绕点O顺时针旋转角，得到射线OS，在射线OS上取一点N，使=k,则N为定点，易证OQNOPM，则=k，QN=kPM=kR,则QN为定值，由圆的定义知，点Q在以N为圆心，kR长为半径的圆上运动,即Q点的轨迹是以N为圆心，kR长为半径的圆.特别的，当k=1时，OQNOPM，N和M为等圆，N可看做由M绕着点O顺时针旋转角而来；当k1时，N可看做由M绕点O顺时针旋转角，且半径放缩k倍（0k1时缩小，k1时放大）而来.典型例题3-1如图，在RtABC中，ACB=90，AC=8，BC=6，点D是以点A为圆心4为
14、半径的圆上一动点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为_【分析】方法一：关联三角形法，取AB的中点E，连接EC、EM和AD，放到CEM中求解CM的范围，三点共线时取最大值；方法二：辅助圆法，从动点相关的线段优先转化为主动点相关的线段，将线段BC加倍延长，借助中位线构造出2CM，即求2CM的最大值；方法三：符合瓜豆原理基本模型，确定从动点M的轨迹圆，进而求CM的最大值.【解答】方法一：如图1，取AB的中点E，连接EC、EM和AD，M为BD的中点，EM为BAD的中位线，EM=AD=2；ACB=90，CE=AB=5，CMCE+EM，即CM7，当且仅当C、E、M共线时（如图2），CM取得最
15、大值7. 图1 图2方法二：如图3，延长BC至点F，使CF=BC，则F为定点，连接DF，则CM为BDF的中位线，FD=2CM，当FD最大时，CM最大；如图4，连接FA并延长，与A交于点D，此时FD最大，易知AF=AB=10，则此时FD=14，对应CM的最大值即为7. 图3 图4方法三：主动点D、从动点M与定点B符合“定角（0）、定比”特征，因而点M的轨迹为圆；如图5，连接AD，M为BD的中点，取AB得中点E，连接EM，可知E为定点且EM=AD=2，根据圆的定义知，点M的轨迹为以E为圆心，2为半径的圆；如图6，C为E外一定点，连接CE并延长，与E交于点M，此时CM最大，此时CM=CE+EM=7.
16、 图5 图6【小结】以上方法中，辅助线均有一举多得之妙，我们可总结出一些常见的辅助线作法：出现直角三角形：常作斜边的中线；出现直角三角形：常倍长直角边，构造等腰三角形；出现线段中点：常取另一线段的中点，构造中位线；出现线段中点：常倍长另一线段，构造中位线.典型例题3-2（改编）如图，ABC中，AB=3，AC=2，以BC为斜边作等腰RtBCD（与ABC分布在直线BC的两侧），连接AD，则线段AD的最大值为_.【分析】方法一：BCD为等腰直角三角形，以AB为斜边向下作等腰直角三角形，与BCD构成“共点旋转（手拉手）”模型，伴随产生一组相似三角形，用“关联三角形”法求出AD的最大值.方法二：不妨固定
17、AB边，则主动点C在以A为圆心，2为半径的一段圆弧上运动，它与从动点D、定点B符合“定角、定比”特征，借助模型确定D点的轨迹圆弧，求出AD的最大值.【解答】方法一:如图1，以AB为斜边向下作等腰RtBAE，连接DE，则BAEBCD，从而易证BACBED，DE=，又AE=，ADAE+DE，即AD，如图2，当且仅当A、E、D三点共线时，AD取得最大值，最大值为. 图1 图2方法二：如图3，假定AB边固定，则主动点C在半圆（不包括端点G、H）上运动，从动点D可看作由主动点C绕着点B顺时针旋转45，且到点B的距离缩至倍而来，则将主动圆心A按照相同的操作可得到从动圆心F，从动圆的半径缩小至主动圆半径的（
18、即构造BDFBCA，与构造“手拉手”模型本质相同），D点在如图所示的半圆（不包括端点I、J）上运动，A为F外一定点，当A、F、D共线时，AD最大，最大值为AF+DF=. 图3【小结】1.方法一与方法二实质相同，只是方法二多了确定主动点轨迹、从动点轨迹的过程；2.由图2可知，当AD取得最大值时，BAC=BDE=90，BAD=CAD=45，因而可以变换多种问法，如当AD取得最大值时，求BAD、BAC的大小，求BC长、BD长等；3.本题可稍稍加大难度，将“求AD得最大值”改为“求ABD面积的最大值”（答案为，方法见视频讲解）；4.许多同学误将主动点和从动点的轨迹判断为完整的圆，虽不影响结论，但不够严
19、谨.5.共点旋转与瓜豆可谓形影相伴模型，很多题往往用两种方法均可解答；变式训练3-1如图，一次函数y2x与反比例函数y（k0）的图象交于A，B两点，点P在以C（2，0）为圆心，1为半径的C上，连接AP，Q是AP的中点，连接OQ，已知OQ长的最大值为，则k的值为_；BQ的最大值为_.变式训练3-2（原创）如图，在平面直角坐标系中，圆心在x轴正半轴上的M交x轴的负半轴于点A（-1,0），交y轴正半轴于点B（0，），交y轴负半轴于点C，动点P从点B出发，沿着M顺时针向终点C做无折返运动，D（-2,0），在点P运动过程中，连接DP，Q为线段DP上一点且始终满足PQ=2DQ，则在整个运动过程中，点Q经过
20、的路径长为_；线段DQ扫过的区域面积为_.变式训练3-3（原创）如图，在平面直角坐标系中，A（2,0），B（-1,0），以OA为直径的圆上有两个动点C、D，连接BC，并以BC为直角边向逆时针方向作RtBCE，使CBE=90，BEC=30，连接CD、ED和BD，则C、D两点的位置在变化的过程中，BCE面积的最大值与最小值之差为_；线段DE的最小值为_；当EBD最大时，线段BE和CD的数量关系是_.中考真题1.如图，点A是双曲线y=-在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰ABC，且ACB=120，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终
21、在双曲线y=上运动，则k的值为（ ）A.1 B.2 C.3 D.42.如图，抛物线yx24与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ则线段OQ的最大值是（）A3BCD43.如图，在矩形ABCD中，AB4，DCA30，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作DFE30的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是4.如图，矩形ABCD中，AB4，AD2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A2B4CD5.如图，在等腰RtABC中，AC=
22、BC=2，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿着半圆从点A运动到点B时，点M运动的路径长为6.如图，在矩形ABCD中，AB，AD3，点P是AD边上的一个动点，连接BP，作点A关于直线BP的对称点A1，连接A1C，设A1C的中点为Q，当点P从点A出发，沿边AD运动到点D时停止运动，点Q的运动路径长为7.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，则CG的最小值为8如图，正方形ABCD中，AB=2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90得D
23、F，连接AE，CF （1）求证：AE=CF；（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长（3）求线段OF长的最小值参考答案变式训练1-11.变式训练1-2；.变式训练1-36.变式训练2-1y=-.变式训练3-1，. 变式训练3-2；.变式训练3-34；3-；BE=CD.中考真题1.B2.C3.4.D5.6.7.8.（1）证明：如图1，由题意知：EDF=90，ED=DF，四边形ABCD是正方形，ADC=90，AD=CD，ADC=EDF，即ADE+EDC=EDC+CDF，ADE=CDF，在ADE和DCF中，ADEDCF，AE=CF；（2）如图2，过F作OC的垂线，交BC的延长线于P，O是
24、BC的中点，且AB=BC=2，A，E，O三点共线，OB=，由勾股定理得：AO=5，OE=2，AE=52=3，由（1）知ADEDCF，DAE=DCF，CF=AE=3，BAD=DCP，OAB=PCF，ABO=P=90，ABOCPF，=2，CP=2PF，设PF=x，则CP=2x，由勾股定理得：32=x2+（2x）2，x=或（舍去），FP=，OP=+=，由勾股定理得：OF=，（3）方法一：如图3，由于OE=2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA到P点，使得AP=OC，连接PE，AE=CF，PAE=OCF，PAEOCF，PE=OF，当PE最小时，为O、E、P三点共线，OP=5，PE=OF=OPOE=52，OF的最小值是52方法二：如图4，连接OD，将ODE绕点D逆时针旋转90得到IDF，连接OI、OF，在RtOCD中，OD=5，在RtODI中，OI=5，OFOI-FI，而FI=OE=2，OF5-2，即OF的最小值是52更多微信扫上方二维码码获取更多见微信公众号：数学第六感；公众号：数学三剑客;QQ群：391979252；微信号：ABC-shuxue;