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1、高二竞赛考试数学试卷 第 页 共 6 页 1 高二年级第二学期学科竞赛高二年级第二学期学科竞赛数学试卷数学试卷 2023.5 全卷满分全卷满分 150 分，时间分，时间 120 分钟分钟.注意事项：注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名答题前，考生务必将自己的姓名准考证号准考证号座位号座位号学校学校班级等考生信息填写班级等考生信息填写在在答题卡上答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本如需改动
2、，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效写在本试卷上无效.一一单项选择题单项选择题：本题共：本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得个选项中，只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得分，选错得 0 分分.1.设集合10021000 xMxZ=，则M的元素个数为（）A.3B.4C.9D.无穷多个2已知复数3c
3、osisinz=+（R，i 为虚数单位），则z的最大值为（）A2 B2 C3 D3 3.从 1，2，3，4，5 中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于 8的概率为（）A.13B.23C.49D.594.科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图 1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器2022年 5月，“极目一号”III型浮空艇成功完成 10 次升空大气科学观测，最高升空至 9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力“极目一号”III型浮空艇长 55米，高 19米，若将它近似
4、看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图 2所示，则“极目一号”III 型浮空艇的体积约为（）（参考数据：29.590，39.5857，315 1005316600，3.14）广东省揭阳市普宁市勤建学校2022-2023学年高二下学期学科竞赛数学试题高二竞赛考试数学试卷 第 页 共 6 页 2 A.39004mB.39064mC.38944mD.38884m5某软件研发公司对某软件进行升级，主要是对软件程序中的某序列,321aaaA=重新编辑，编辑新序列为,342312*aaaaaaA=,它的第 n 项为nnaa+1,若*)(A的所有项都是 2，且244=a，325=a，则=1a(
5、)A8 B10 C12 D14 6.设函数()f x满足(1)()0f xf x+=，当0 x的左、右焦点分别为1F，2F，直线 l过点1F.若点2F关于 l的对称点 P恰好在椭圆 C上，且211212FFFPa=，则 C 的离心率为（）A.13B.23C.12D.258已知()42e,4(16)143,4xxf xxx=，则当0 x 时，()2xf与()2f x的大小关系是（）A()()22xff xB()()22xff xC()()22xff x=D不确定 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，分在每小题给出的选项
6、中，有多项符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对的得 2分分 9.为了研究 y关于 x的线性相关关系，收集了 5组样本数据(见下表)：x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.8 1 1.2 1.5 高二竞赛考试数学试卷 第 页 共 6 页 3 假设经验回归方程为0.28ybx=+，则（）A.0.24b=B.当8x=时，y 的预测值为 2.2C.样本数据 y的 40%分位数为 0.8 D.去掉样本点()3,1后，x 与 y 的样本相关系数 r 不变10.在ABC中，A，B，C 所对的边为 a，b，c，设 BC 边上
7、的中点为 M，ABC的面积为S，其中2 3a=，2224bc+=，下列选项正确的是（）A若3A=，则3 3S=BS 的最大值为3 3 C3AM=D角 A 的最小值为311.双曲线 C：2221(0)9xyaa=的左右焦点分别是1F，2F，左右顶点分别是 A，B，两渐近线分别是1l，2l，M在双曲线 C上，其中 O是坐标原点，则下列说法正确的是（）A.焦点2F到渐近线1l的距离是 3 B.若1OMOF=，则12FMF的面积是 9C.直线1MF的斜率为1k，直线2MF的斜率为2k，则1229kka=D.过右顶点 B作2l的平行线交1l于 P点，若OBP的面积为 3，则双曲线的离心率为5412.如图
8、圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，1O，2O为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆1O的一条直径，若球的半径2r=，则（）A.球与圆柱的体积之比为2:3B.四面体 CDEF 的体积的取值范围为(0,32C.平面 DEF 截得球的截面面积最小值为45高二竞赛考试数学试卷 第 页 共 6 页 4 D.若 P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PEPF+的取值范围为22 5,4 3+三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13.在1nxx的展开式中，只有第 5项的二项式系数最大，则展开式中含2x项的系数为_ 14己知，
9、为锐角，211)tan(=+，54cos=，则=sin 15已知数列 na，11a=，22a=，且()221nnnaa+=+，则数列 na的前 100 项的和为_ 16.已知点D在线段AB上，CD是ABC的角平分线，E为CD上一点，且满足()0,6,14ADACBEBACACBBAADAC=+=，设,BAa=则BE 在a上的投影向量为_.（结果用a表示）四四解答题解答题：（本大题共：（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明分，解答应写出文字说明证明过程或演证明过程或演算步骤算步骤）17.已知,a b c分别为ABC三个内角,A B C的对边，且()sin2sinABC=.
10、（1）证明:2222abc=+；（2）若23A=，3a=，3BCBM=，求 AM的长度.18.（本小题满分 12 分）已知数列 na中，()()()2112,12nnananannnN+=+=+（1）证明：数列nan是等差数列，并求数列 na的通项公式；（2）设121nnnnba a+=，数列 nb的前n项和为nT，若()1nnTnNn+的离心率为52，且经过点()2,0M（1）求双曲线 C 的标准方程及其渐近线方程；（2）已知过点()11,G x y的直线111:44lx xy y+=与过点()()2221,H xyxx的直线222:44lx xy y+=的交点N在双曲线C上，直线GH与双曲
11、线C的两条渐近线分别交于P，Q 两点，证明2224 ONOPOQ为定值，并求出定值 22（本题满分 12 分）（）当3a=时，求()f x的单调区间；（）任意正实数1x，2x，当122xx+=时，试判断()()12f xf x+与()2122a的大小关系并证明()xaxxxfln1+=设函数高二年级第二学期学科竞赛高二年级第二学期学科竞赛参考答案一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 A D D B C A
12、 C B 6答案：A 解：由 f（x+1）+f（x）=0 得 f（x+2）=f（x）因为0.52log8log 83=，所以()0.5log8(3)(322)(1)(0)2fffff=+=，选 A 7、【详解】设12PFF=，由已知可得，1122PFFFc=，根据椭圆的定义有21222PFaPFac=.又211212FFFPa=，所以2214cos2ca=.在12PFF中，由余弦定理可得，22221121122cosPFPFFFPFFF=+，即()222222288cos8acccca=，整理可得224850caca+=，等式两边同时除以2a可得，24850ee+=，解得，12e=或52e=（
13、舍去），所以12e=.故选：C.8、选 B 解：由函数()42e,4(16)143,4xxf xxx=，得函数()f x在(),4上递增，在()4,16上递减，在()16,+上递增，作出函数2xy=和2yx的图像，如图所示，令22xx=，得2x=或4，结合图像可知，当02x，则()()22xff x，当24x时，24216xx，则()()22xff x，当4x 时，2216xx，则()()22xff x，综上所述，当0 x 时，()()22xff x.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，分在每小题给出的选项中，有多项
14、符合题目要求全部选对的得有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对的得 2分分 12、【详解】对于 A，球的体积为343233rV=，圆柱的体积2(2)16Vrr=，则球与圆柱的体积之比为2:3，A正确；对于 B，设d为点E到平面BCD的距离，0dr，而平面BCD经过线段EF的中点1O，四面体 CDEF 的体积11221163224 433233C DEFE O DCO DCdVVSdd=，B错误；对于 C，过O作1OHDO于H，如图，而122OODO，则21211sinDOOHDOOOODO=，又221(2)2 5DOrr=+=，于是25
15、OH=，设截面圆的半径为1r，球心O到平面DEF的距离为1d，则125d，又222111444455rrdd=，则平面DEF截球的截面圆面积21165Sr=，C错误；对于 D，令经过点 P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为 Q，连接,QE QF，当Q与,E F都不重合时，设QFE=，则4cos,4sinQFQE=，当Q与,E F之一重合时，上式也成立，9 10 11 12 ABD ABC ABD AD 因此4cos,4sinQFQE=，0,)2，则2222222(14sin14cos)PEPFPQQEPQQF+=+=+，令2214sin14cost=+，则2262 54sin 2t=+，而02
16、为ABC的内心，设()00,E xy，由内切圆的性质得，()002ACBCcxcxa=+=，得03xa=，BE 在a上的投影长为4ca=，则BE 在a上的投影向量为27a.四四解答题解答题：（本大题共：（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明分，解答应写出文字说明证明过程或演证明过程或演算步骤算步骤）17、（1）由()()sin2sin2sinABCAB=+，得sincoscossin2sincos2cossinABABABAB=+，则sincos3cossin0ABAB+=，由正弦定理和余弦定理得2222223022acbbcaabacbc+=，化简得2222abc=+
17、；（2）在ABC中，2229abcbc=+=，又因为2222abc=+，所以222229bcbcbc+=+=，所以3bc=，所以6BC=，由3BCBM=，得13aBM=，在ABM中，2222cos3 1 3133aaAMccB=+=+=，所以1AM=.18.（1）()()11121,21nnnnaananan nnn+=+=+，数列nan是首项121a=，公差为 2 的等差数列，()21 22nannn=+=22nan=.（2）121nnnnba a+=，可得222222212111122(1)4(1)4(1)nnnbnnn nnn+=+，2222222221111111112114223(1
18、)4(1)4(1)nnnTnnnn+=+=+1nnTn+，即22124(1)1nnnnn+，即1241nn+=+=+3819解法 1：（1）因为平面 CDD1C1平面 ABCD，ADDC，所以 AD平面 CDD1C1，D1DC 是二面角 D1-AD-C 的平面角，故D1DC=120 连结 DE，则 DEC1D1，从而 DECD又 ADCD，DEAD=D，所以 CD平面 AED，因此 CDAE（2）设 AB=2，则3DE=，所以227CEAEADDE=+=连结 AC 交 BD 于点 O，连结 CE 交交 DF 于点 G，连结 OG因为AE平面 BDF，所以AEOG，因为 O 为 AC 中点，所以
19、 G 为 CE 中点，故1722OGAE=且直线 OG 与DF 所成角等于直线 AE 与 DF 所成角 在 RtEDC 中，1722DGCE=，因为2OD=，所以22277(2)223cos777222OGD+=因此直线 AE 与 DF 所成角的余弦值为37解法 2：（1）同解法 1（2）设 AB=2，则3DE=，所以227AEADDE=+=取 DC 中点为 G，连结 EG 交交 DF 于点 H，则 EG=DD1=2 连结 AG 交 BD 于点 I，连结 HI，因为AE平面 BDF，所以AEIH 直线 HI 与 DH 所成角等于直线 AE 与 DF 所成角 正方形ABCD中，13GIAG=，1
20、2 233DIDB=，所以13GHEG=，故1733HIAE=在DHG 中，1233GHEG=，GD=1，EGD=60，由余弦定理73DH=在DHI 中，222772 23333cos777233DHI+=因此直线 AE 与 DF 所成角的余弦值为37解法 3：（1）同解法 1（2）由（1）知 BE平面 ABCD，以 D 为坐标原点，DA 为 x 轴正方向，DA 为 2 个单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz由（1）知3DE=，得 A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），(0,0,3)E，1(0,1,3)C 则1(0,1,3)CC=，(0,2,0)DC=，(2,0,3
21、)AE=，(2,2,0)DB=由1(01)CFtCCt=，()2231xxfxx+=令()0fx得353522x+；令()0fx得3502x故()f x的增区间为35 35,22+，减区间为350,2，35,2+（）结论：()()()212122f xf xa+，证明如下：()()1211221211lnlnf xf xxaxxaxxx+=+()1212121212122ln2lnxxxxax xax xx xx x+=+=+设12tx x=，由1x，2x均为正数且2121212xxx x+=得01t 设()()22ln01g tattt=+，则()2222aatg tttt=+=当2a 时，由01t 得20at 即()0g t时，()g t在20,a上单调递减，在2,1a上单调递增故()g t的最小值为222lngaaaa=+此时只需证()2212ln22aaaa+，化简后即证21ln102aa+设()()21ln122h aaaa=+，()202ah aa=故()h a单调递增，从而有()()20h ah=，即证21ln102aa+综上：不等式得证