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1、第 1页（共 2页）22（12.00 分）（2017 秋滨州期中）已知函数 f（x）=x22ax+2lnx（）若曲线 y=f（x）在点 x=2 处的切线与直线 y=x 垂直，求实数 a 的值；（）若函数 f（x）在其定义域上是增函数，求实数 a 的取值范围；（）当 a时，函数 y=f（x）的两个极值点为 x1，x2，且 x1x2，若不等式 f（x1）mx2恒成立，求实数 m 的取值范围【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数研究函数的最值菁优网版 权所有【分析】（）求出函数的导数，计算 f（2）的值，求出 a 的值即可；（）求得导数，由题意可得 f（x）=2x2a+0 在 x0 恒
2、成立，即有 ax+的最小值，运用基本不等式可得最小值，即可得到 a 的范围；（）函数 f（x）在（0，+）上有两个极值点，方程 x2ax+1=0 有两个不等的正根，求得两根，求得范围；不等式 f（x1）mx2恒成立即为m，求得=x132ax12+2x1lnx1=x132x1+2x1lnx1，设 h（x）=x32x+2xlnx（0 x），求出导数，判断单调性，即可得到 h（x）的最小值，即可求得 m 的范围【解答】解：（）f（x）=2x2a+，故 f（2）=42a+1=3，解得：a=1；（）函数 f（x）在定义域上为增函数，即为 f（x）=2x2a+0 在 x0 恒成立，即有 ax+的最小值，由
3、 x+2，当且仅当 x=1 时，取得最小值 2，则有 a2；（）函数 f（x）的导数为 f（x）=2x2a+，函数 f（x）有两个极值点 x1，x2，即方程 x2ax+1=0 有两个不等的正根，由 a，可得判别式=a240因为 x2ax+1=0，资料下载来源：高中错题本共享群：740103814，衡水中学内部资料群：591993305，全国高中资料群：271752763，更多1万个学习资源群在QQ：763491846的空间日志查看（全部学科的资料群、教师群、学生群、竞赛群、名校群、网课区、口语群等）第 2页（共 2页）所以 x1x2=1，x1+x2=a，x1=，x2=2因为 a，所以 0 x1
4、，因为=x1f（x1）=x132ax12+2x1lnx1=x132x1+2x1lnx1，设 h（x）=x32x+2xlnx（0 x），则 h（x）=3x22+2+2lnx=3x2+2lnx，因为 0 x，则 lnx0，h（x）0h（x）在（0，上单调递减，则 h（x）h（）=ln2，所以 mln2【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值或范围，属于难题资料下载来源：高中错题本共享群：740103814，衡水中学内部资料群：591993305，全国高中资料群：271752763，更多1万个学习资源群在QQ：763491846的空间日志查看（全部学科的资料群、教师群、学生群、竞赛群、名校群、网课区、口语群等）