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1、第三十五周 容斥原理 专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。容斥原理：对 n 个事物，如果采用不同的分类标准，按性质 a分类与性质 b 分类（如图），那么具有性质 a 或性质 b 的事物的个数=NaNbNab。NabNbNa 例 1：一个班有 48 人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有 37 人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有 42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。分析 完成语文作业的有 37 人，完成数学
2、作业的有 42 人，一共有 3742=79 人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：7948=31 人。练 习 一 1，五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人。语文、数学都优秀的有多少人？2，四年级一班有 54 人，订阅小学生优秀作文和数学大世界两种读物的有 13 人，订小学生优秀作文的有 45 人，每人至少订一种读物，订数学大世界的有多少人？3，学校文艺组每人至少
3、会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有 24 人，会弹电子琴的有 17 人，其中两种乐器都会演奏的有 8 人。这个文艺组一共有多少人？例 2：某班有 36 个同学在一项测试中，答对第一题的有 25 人，答对第二题的有 23 人，两题都答对的有 15 人。问多少个同学两题都答得不对？分析与解答：已知答对第一题的有 25 人，两题都答对的有 15人，可以求出只答对第一题的有 2515=10 人。又已知答对第二题的有 23 人，用只答对第一题的人数，加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数：1023=33 人。所以，两题都答得不对的有 3633=3 人。练 习 二 1，五（1）班有 40 个学生，
4、其中 25 人参加数学小组，23 人参加科技小组，有 19 人两个小组都参加了。那么，有多少人两个小组都没有参加？2，一个班有 55 名学生，订阅小学生数学报的有 32 人，订阅中国少年报的有 29 人，两种报纸都订阅的有 25 人。两种报纸都没有订阅的有多少人？3，某校选出 50 名学生参加区作文比赛和数学比赛，结果 3 人两项比赛都获奖了，有 27 人两项比赛都没有获奖。已知作文比赛获奖的有 14 人，问数学比赛获奖的有多少人？例 3：某班有 56 人，参加语文竞赛的有 28 人，参加数学竞赛的有 27人，如果两科都没有参加的有 25 人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？分析与解
5、答：要求两科竞赛同时参加的人数，应先求出至少参加一科竞赛的人数：5625=31 人，再求两科竞赛同时参加的人数：282731=24 人。练 习 三 1，一个旅行社有 36 人，其中会英语的有 24 人，会法语的有 18人，两样都不会的有 4 人。两样都会的有多少人？2，一个俱乐部有 103 人，其中会下中国象棋的有 69 人，会下国际象棋的有 52 人，这两种棋都不会下的有 12 人。问这两种棋都会下的有多少人？3，三年级一班参加合唱队的有 40 人，参加舞蹈队的有 20 人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有 14 人。这两队都没有参加的有 10人。请算一算，这个班共有多少人？例 4：在 1 到
6、100 的自然数中，既不是 5 的倍数也不是 6 的倍数的数有多少个？分析与解答：从 1 到 100 的自然数中，减去 5 或 6 的倍数的个数。从 1 到 100 的自然数中，5 的倍数有 1005=20 个，6 的倍数有 16 个（1006=164），其中既是 5 的倍数又是 6 的倍数（即5 和 6 的公倍数）的数有 3 个（10030=310）。因此，是 6 或5 的倍数的个数是 16203=33 个，既不是 5 的倍数又不是 6 的倍数的数的个数是：10033=67 个。练 习 四 1，在 1 到 200 的全部自然数中，既不是 5 的倍数又不是 8 的倍数的数有多少个？2，在 1
7、到 130 的全部自然数中，既不是 6 的倍数又不是 5 的倍数的数有多少个？3，五（1）班做广播操，全班排成 4 行，每行的人数相等。小华排的位置是：从前面数第 5 个，从后面数第 8 个。这个班共有多少个学生？例 5：光明小学举办学生书法展览。学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有 24 幅不是五年级的，有 22 幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 10 幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？分析与解答：由题意知，24 幅作品是一、二、三、四、六年级参展作品的总数，22 幅是一、二、三、四、五年级参展作品的总数。2422=46 幅，这是一个五、六年级和两个一、二、三、四
8、年级参展的作品数，从其中去掉五、六两个年级共参展的 10 幅作品，即得到两个一、二、三、四年级参展作品的总数，再除以 2，即可求出其他年级参展作品的总数。（242210）2=18 幅。练 习 五 1，科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有 110 件不是一年级的，有 100 件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有 32 件。其他年级参展的作品共有多少件？2，六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有 25 幅画不是三年级的，有 19 幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅。其他年级参展的画共有多少幅？3，实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有 28 幅不是五年级的，有 24 幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有 20 幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少 4 幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？