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1、初中函数知识 1 函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)平面直角坐标系 1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 2、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+）第二象限：（-，+）第三象限：（-，-）第四象限：（+，-）3、坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点，y 为零；y 轴上的点，x 为零；原点的坐标为（0,0）。4、点的对称特征：已知点 P(m,n),关于 x 轴的对称点坐标是(m,-n),横坐标相同，纵坐标反号 关于 y 轴的对称点坐标是(-m,n)纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n)横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴
2、的直线上的点的坐标特征：平行于 x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于 y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。7、点 P（x,y）的几何意义：点 P（x,y）到 x 轴的距离为|y|，点 P（x,y）到 y 轴的距离为|x|。点 P（x,y）到坐标原点的距离为2 2y x 8、两点之间的距离：X轴上两点为 A)0,(1x、B)0,(2x|AB|1 2x x Y轴上两点为 C),0(1y、D),0(2y|CD|1 2y y 已知 A),(1 1y x、B),(2 2
3、y x AB|=21 221 2)()(y y x x 初中函数知识 2 9、中点坐标公式：已知 A),(1 1y x、B),(2 2y x M 为 AB的中点,则：M=(21 2x x,21 2y y)10、点的平移特征：在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移 a 个单位长度，可以得到对应点（x-a，y）；将点（x,y）向左平移 a 个单位长度，可以得到对应点（x+a，y）；将点（x,y）向上平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，y b）；将点（x,y）向下平移 b 个单位长度，可以得到对应点（x，y b）。函数的基本知识：基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量
4、：在一个变化过程中只能取同一数值的量。2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是x 的函数。*判断 A是否为 B 的函数，只要看 B 取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应 3、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。4、
5、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象 5.函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。6、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。7、函数的表示方法:列表法、解析式法、图象法 初中函数知识 3 一次函数图象和性质【知识梳理】一、一次函数的基础知识
6、1、定义：一般地，形如 y=kx b(k,b 是常数，k0)，那么 y 叫做 x 的一次函数 当 b=0 时，y=kx b 即 y=kx，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的一般形式：y=kx+b(k0)说明：k 不为零 x 指数为 1 b 取任意实数 2、解析式：y=kx+b(k、b 是常数，k0)3、图像：一次函数 y=kx+b 的图象是经过（0，b）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线 y=kx+b,4、增减性（单调性）：k0，y 随 x 的增大而增大（单调增）；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时直线与 y轴交于原点上方（即 y轴的正半轴）；当
7、 b0 时，直线与 y轴交于原点的下方。（即 y轴的负半轴）10、图像的上下平移（只与 b 相关）：直线 y=kx+b,它可以看作由直线 y=kx平移|b|个单位长度得到.上加下减 例如：y=2x+3,将直线 向 平移 个单位；y=5x-6,将直线 的图象向 平移 个单位 初中函数知识 4 11、一次函数y kx b 的图象与性质 12、两直线之间的位置关系（平行或相交）：（）若直线：31 1 1 2 2 2l y k x b l y k x b 平行：当 时，；当 时，与 交于，点。k k l l b b b l l b1 2 1 2 1 2 1 20/()相交：将两直线方程联立成一个方程组
8、，1 12 2y k by k b，解得结果，即为交点。13、二元一次方程组与一次函数的关系：两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。反比例函数图象和性质【知识梳理】一、反比例函数的基础知识 b0 b0 经过：第一、二、三象限 不经过：第四象限 经过：第一、三、四象限不经过：第二象限 经过：第一、三象限 不经过：第二、四象限 增减性（单调性）：图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大，单调增 k0 经过第一、二、四象限 不经过：第三象限 经过第二、三、四象限 不经过：第一象限 经过第二、四象限 不经过：第一、三象限 增减性（单调性）：图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小，单调
9、减 必过点：经过（kb，0）和（0，b）两点，正比例函数即是 经过原点（0，0）初中函数知识 5 1、定义：一般地，形如xky（k 为常数，o k）的函数称为反比例函数。xky 还可以写成 kx y 1 2、解析式：xky（k 为常数，）注：反比例函数解析式的特征：等号左边是函数 y，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数 k（也叫做比例系数 k），分母中含有自变量 x，且指数为 1.比例系数 0 k 自变量 x 的取值为一切 非零 实数。（反比例函数有意义的条件：分母 0）函数 y 的取值是一切 非零 实数。3、增减性（单调性）：k0，y 随 x 的增大而减小（单调减）；k0，y 随 x 增
10、大而增大（单调增）4、反比例函数的图象：双曲线（1）图像的 画法：描点法 列表（应以 O为中心，沿 O的两边分别取三对或以上互为相反的数）描点（有小到大的顺序）连线（从左到右光滑的曲线）（）对称性：是中心对称图形，对称中心是原点是轴对称图形，对称轴是直线 和212()()y x y x（3）反比例函数xky（k 为常数，0 k）中自变量 0 x，函数值 0 y，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。）时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内 随 的增大而减小时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内 随 的增大而增大300k y
11、xk y x（4）比例系数k的几何含义（右图）：反比例函数 ykx(k0)中比例系数 k 的 几何意义，即过双曲线 ykx(k0)上任意一点 P 作 x 轴、y 轴垂线，设垂足分 别为 A、B，则所得矩形 OAPB 的面积(阴影面积)为 k.（由 ykx变形可得：k=xy 因为面积为正数，所以 k 取绝对值。）5、反比例函数性质如下表：k 的符号 k 0 k 0 o y x y x o 初中函数知识 6 二次函数图象和性质【知识梳理】一、二次函数的基础知识：1定义：一般地，形如2y ax bx c（a b c，是常数，0 a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数
12、0 a，而 b c，可以为零 二次函数的定义域（x 的取值范围）：全体实数，R 2.解析式（表达式）：一般式：2y ax bx c（0 a，a b c，是常数）：说明：等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式，x 的最高次数是 2 a b c，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项 2 22 24 4,-2 4 2 4b ac b b ac by ax bx ca a a a 对于二次函数，经过配方变形为顶点式：y=a(x+)其顶点坐标为（，）补充：二次函数解析式的表示方法（三种）一般式：2y ax bx c（a，b，c 为常数，0 a）；顶点式：2()y a x h
13、k（a，h，k 为常数，0 a）；抛物线的顶点 P（h，k）2 22 24 4,-2 4 2 4b ac b b ac by ax bx ca a a a 对于二次函数，经过配方变形顶点式：y=a(x+)其顶点坐标为（，）两根式（交点式）：1 2()()y a x x x x（0 a，1x，2x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.仅限于与 x 轴有两个交点 A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线，即 0 其中2 21 24 4,2 2b b ac b b acx xa a(即一元二次方程求根公式)注：在 3 种形式的互相转化中，有如下关系:2 2 21 24 4 4h=-,2 4 2 2b
14、 ac b b b ac b b acx xa a a a k=注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即24 0 b ac 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式图像的大致位置 经过象限 第 象限 第 象限 增减性（单调性：单调区间内讨论）在每一象限内，从左到右看，y随 x 的增大而减小；（-，0）U（0，+）区间内，单调减 在每一象限内,从左到右看 y 随 x 的增大而增大（-，0）U（0，+）区间内，单调增 图像的对称性 中心称图形，对称中心是原点；同时，也是轴对称图形，对称轴是直线 y=x 和直线
15、 y=-x 初中函数知识 7 的这三种形式可以互化.二次函数 2y a x h k 与 2y ax bx c 的比较 从解析式上看，2y a x h k 与2y ax bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2242 4b ac by a xa a，其中242 4b ac bh ka a，3、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已
16、知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 4、二次函数 2y ax bx c 图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c 化为顶点式2()y a x h k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标;然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0 c，、以及 0 c，关于对称轴对称的点 2h c，、与 x 轴的交点 10 x，20 x，（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.3、二次函
17、数的图像：抛物线（1）对称性：抛物线是轴对称图形。对称轴：直线2xba对称轴：直线=-,对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点 P。特别地，当 b=0 时，抛物线的对称轴是 y 轴（即直线 x=0）（2）抛物线有一个顶点 P，24-2 4b ac ba a坐标为 P（，）当-2ba=0 时，P 在 y 轴上；当=24 b ac=0 时，P 在 x 轴上。4、a.b.c 与抛物线的关系（a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项）（1）a 决定抛物线的开口方向和大小：开口方向：a 为正(a 0)，开口朝上，有最小值；a 为负(a 0)，开口朝下，有最大值；开口大小：a 的绝对值越大，抛物线
18、的开口越小。（2）a、b 共同决定x2ba对称轴：直线=-ab的符号决定对称轴abx2 的位置，分两种情况：y=5x2 y=x2 x y 初中函数知识 8 y x O 当 a 与 b 同号时（即 ab 0），对称轴在 y 轴左侧；当 a 与 b 异号时（即 ab 0），对称轴在 y 轴右侧。概括的说就是“左同右异”（3）常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点。抛物线与 y 轴交于（0，c），分三种情况：当 0 c 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正；当 0 c 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0；当 0 c 时，抛
19、物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负 总之，只要 a b c，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 6、抛物线与 x 轴交点个数=24 b ac 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。A（x1,0）和 B（x2,0）=24 b ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。顶点 P)0,2(ab=24 b ac 0 时，抛物线与 x 轴没有交点。配图：开口向上(开口向下，情况类似)7、类比一元二次方程的根的情况：特别地，二次函数（以下称函数）2y ax bx c 当 y=0 时，二次函数为关于 x 的一元二次方程（以下称方程），即 20 ax bx c 此时
20、，函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。函数与 x 轴交点的横坐标即为方程的根。8、二次函数2242 4b ac by a xa a 的图像和性质 a 0 a 0 图 象 开 口 y=0 x 0 y x 0 y x A B P 初中函数知识 9 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当 x 时，y 有最 值，y 当 x 时，y 有最 值，y 增减性 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 在对称轴右侧 y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 9.应用：（1）最大面积；（2）最大利润；（3）其它 10、二次函数图象的平移 1.平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式 2y
21、 a x h k，确定其顶点坐标 h k，；保持抛物线2y ax 的形状不变，将其顶点平移到 h k，处，具体平移？2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：c bx ax y 2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，c bx ax y 2变成 m c bx ax y 2（或m c bx ax y 2）c bx ax y 2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，c bx ax y 2变成c m x b m x a y)()(2（或c m x b m x a y)()(2）综合练习（1）下列函数，1)2(y x.11xy21
22、xy.xy21 2xy 13yx；其中是 y关于 x 的反比例函数的有：_。（2）函数22)2(ax a y是反比例函数，则a的值是（）A 1 B 2 C 2 D 2 或 2（3）如果y是m的反比例函数，m是x的反比例函数，那么y是x的（）A 反比例函数 B正比例函数 C 一次函数 D反比例或正比例函数（4）如果y是m的正比例函数，m是x的反比例函数，那么y是x的（）初中函数知识 10（5）如果y是m的正比例函数，m是x的正比例函数，那么y是x的（）（6）反比例函数(0ky kx）的图象经过（2，5）和（2，n），求（1）n的值；（2）判断点 B（2 4，2）是否在这个函数图象上，并说明理由（
23、7）已知函数1 2y y y，其中1y与x成正比例,2y与x成反比例，且当x 1 时，y 1；x 3 时，y 5求：（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x 2 时，y的值（8）若反比例函数22)1 2(mx m y的图象在第二、四象限，则m的值是（）A、1 或 1;B、小于12的任意实数;C、1;、不能确定（9）已知0 k，函数y kx k 和函数kyx在同一坐标系内的图象大致是（）(10)、如图，正比例函数(0)y kx k 与反比例函数2yx的图象相交于 A、C 两点，过点 A作 AB x轴于点 B，连结 BC 则 ABC 的面积等于（）A 1 B 2 C 4 D 随k的取值改变而改变
24、11、已 知 函 数1 2y y y，其 中1x y 与成 正 比 例,22 x y 与成 反 比 例,且 当1,1;3,5.2,.x y x y x y 时 当 时 求当 时 的值 12、（8 分）已知,正比例函数y ax 图象上的点的横坐标与纵坐标互为相反数,反比例函数kyx在每一象限内y x 随的增大而减小,一次函数2 4 y x k ak 过点 2,4.（1）求a的值.（2）求一次函数和反比例函数的解析式.二次函数提高题:1 23 2 m my mx 是二次函数，则 m 的值为（）A 0 或 3 B 0 或 3 C 0 D 3 2已知二次函数2 2(1)2 4 y k x kx 与 x
25、 轴的一个交点 A（2，0），则 k 值为（）A 2 B 1 C 2 或 1 D 任何实数 3与22(1)3 y x 形状相同的抛物线解析式为（）A 2112y x B2(2 1)y x C2(1)y x D22 y x xy xy xy xy yx 初中函数知识 11 4关于二次函数2y ax b，下列说法中正确的是（）A 若 0 a，则 y 随 x 增大而增大 B 0 x 时，y 随 x 增大而增大。C 0 x 时，y 随 x 增大而增大 D 若 0 a，则 y 有最小值 5函数22 3 y x x 经过的象限是（）A 第一、二、三象限 B 第一、二象限 C 第三、四象限 D 第一、二、四
26、象限 6已知抛物线2y ax bx，当 0 0 a b，时，它的图象经过（）A 第一、二、三象限 B 第一、二、四象限 C 第一、三、四象限 D第一、二、三、四象限 7对27 2 y x x 的叙述正确的是（）A 当 x 1 时，y最大值 22 B当 x 1 时，y最大值 8 C当 x 1 时，y最大值 8 D 当 x 1 时，y最大值 22 8二次函数2y ax bx c 的图象过点（1，0）、（0，3），对称轴 x 1 求函数解析式；5、图象与 x 轴交于 A、B（A在 B 左侧），与 y 轴交于 C，顶点为 D，求四边形 ABCD 的面积 9、抛物线213 23y x x 与2y ax
27、的形状相同，而开口方向相反，则a=（）（A）13（B）3（C）3（D）13 10把二次函数1 22 x x y配方成顶点式为（）A 2)1(x y B 2)1(2 x y C 1)1(2 x y D 2)1(2 x y 11函数3 62 x kx y的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A 3 k B0 3 k k 且 C 3 k D 0 3 k k 且 12、若抛物线n m x a y 2)(的开口向下，顶点是（1，3），y随x的增大而减小，则x的取值范围是（）（A）3 x（B）3 x（C）1 x(D)0 x 13抛物线)0(2 a c bx ax y过第二、三、四象限，则a 0，b 0，
28、c 0 14抛物线2)1(62 x y可由抛物线2 62 x y向 平移 个单位得到 15顶点为（2，5）且过点（1，14）的抛物线的解析式为 16对称轴是y轴且过点 A（1，3）、点 B（2，6）的抛物线的解析式为 17已知抛物线c bx x y 2与y轴交于点 A，与x轴的正半轴交于 B、C 两点，且 BC=2，S ABC=3，则初中函数知识 12 b=，c=18、已知二次函数2y ax bx c 的图象经过点（1，0）和（-5，0）两点，顶点纵坐标为92，求这个二次函数的解析式。对称轴、顶点、平移：1.抛物线 21 3 y x 的顶点坐标为 2.抛物线21 y x 的顶点坐标是 3.抛物
29、线22 6 y x x c 与x轴的一个交点为(1 0)，则这个抛物线的顶点坐标是 4.二次函数 2)1(2 x y 的最小值是 5.已知二次函数2 22 y x x c 的对称轴和x轴相交于点 0 m，则m的值为 _ 6.抛物线 3 22 x x y 的对称轴是直线 7.将抛物2(1)y x 向左平移 1 个单位后，得到的抛物线的解析式是 8.把抛物线 c bx x y 2向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是5 32 x x y，则有 a、b、c 的值分别是 图像交点、判别式：9.已知抛物线2(1)(2)y x m x m 与x轴相交于A B，两点，且线段2 AB
30、，则m的值为 10.已知二次函数不经过第一象限，且与x轴相交于不同的两点，请写出一个满足上述条件的二次函数解析式 11.若抛物线22 y x x a 的顶点在x轴的下方，则a的取值范围是（）1 a 1 a 1 a 1 a 12.已知二次函数 c bx ax y 2，且 0 a，0 c b a，则一定有（）A.0 42 ac b B.0 42 ac b C.0 42 ac b D.ac b 42 0 利用图像：1若直线 y m（m为常数）与函数 yx2（x 2）4x（x 2）的图像恒有三个不同的交点，m 的取值范围是。2.下列图形：y O2 y x yxO yxO yxO3 y x 21 y x
31、 2yx1 初中函数知识 13 其中，阴影部分的面积相等的是（）3.若 1 2 313 514 3A y B y C y，为二次函数24 5 y x x 的图象上的三点，则1 2 3y y y，的大小关系是（）1 2 3y y y 3 2 1y y y 3 1 2y y y 2 1 3y y y 4.二次函数2y ax bx c 图象上部分点的对应值如下表：x 3 2 1 0 1 2 3 4 y 6 0 4 6 6 4 0 6 则使 0 y 的 x 的取值范围为 5.二次函数2y ax bx 和反比例函数byx在同一坐标系中的图象大致是（）6.二次函数2y ax bx c 的图象如图所示，则直
32、线y bx c 的图象不经过（）第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 7.在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax b 和二次函数2y ax bx 的图象可能为（）8.二次函数 c bx ax y 2的图象如右图，则点),(acb M 在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.二次函数2y ax bx c 的图象如图所示，反比列函数ayx与正比列函数y bx 在同一坐标系内的大致图象是（）xyO xyO xyO xyOO xyyOxyOxyOxyOx O x y 初中函数知识 14 1.已知一次函数 y1=kx+b 与反比例函数 y2=kx错误!未找到引用源。在同一直
33、角坐标系中的图象如图所示，则当 y1 y2时，x 的取值范围是（）A x 1 或 0 x 3 B 1 x 0 或 x 3 C 1 x 0 D x 3 1.2.2.如图，双曲线 y=错误!未找到引用源。mx与直线 y=kx+b 交于点 M N，并且点 M的坐标为（1，3），点 N的纵坐标为 1根据图象信息可得关于 x 的方程 错误!未找到引用源。=kx+b 的解为（）A 3，1 B 3，3 C 1，1 D 1，3 3.如图，直线 l 和双曲线(0)ky kx 交于 A、B 两点，P 是线段 AB上的点（不与 A、B 重合），过点 A、B、P 分别向 x 轴作垂线，垂足分别为 C、D、E，连接 O
34、A、OB、0P，设 AOC 的面积为 S1、BOD 的面积为S2、POE的面积为 S3，则（）A、S1 S2 S3 B、S1 S2 S3 C、S1=S2 S3 D、S1=S2 S3 3.4.4.如图，过 y 轴正半轴上的任意一点 P，作 x 轴的平行线，分别与反比例函数xyxy2 4 和 的图象交于点A和点 B，若点 C 是 x 轴上任意一点，连接 AC、BC，则 ABC 的面积为（）A 3 B 4 C 5 D 6 5.若一次函数的图象经过反比例函数xy4 错误!未找到引用源。图象上的两点（1，m）和（n，2），则这个一次函数的解析式是 6.若一次函数 y=kx+1 的图象与反比例函数xy1 的图象没有公共点，则实数 k 的取值范围是 第 9 题 O x y O y x A O y x B O y x D O y x C