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1、公众号：初高中数学交流群QQ 群：821997236-1-【课时训练】第 69 节坐 标 系解答题1(2019 武汉调研)在极坐标系中，已知圆 C 经过点 P2，4，圆心为直线sin3 32与极轴的交点，求圆 C 的极坐标方程【解】在sin3 32中，令0，得1，所以圆 C 的圆心坐标为(1,0)因为圆 C 经过点 P2，4，所以圆 C 的半径 PC 221221 2cos41，于是圆C 过极点，所以圆 C 的极坐标方程为2cos.2(2019 兰州检测)设M，N 分别是曲线2sin 0 和sin422上的动点，求 M，N 的最小距离【解】因为 M，N 分别是曲线2sin 0 和sin4 22
2、上的动点，即 M，N 分别是圆 x2y22y0 和直线 xy10 上的动点，要求 M，N 两点间的最小距离，即在直线 xy10 上找一点到圆 x2y22y0 的距离最小，即圆心(0，1)到直线 xy10的距离减去半径，故最小值为|011|21 21.3(2019 安徽芜湖质检)在极坐标系中，求直线(3cos sin)2 与圆4sin 的交点的极坐标【解】(3cos sin)2 化为直角坐标方程为3xy2，即y 3x2.4sin 可化为 x2y24y，把 y 3x2 代入 x2y24y，公众号：初高中数学交流群QQ 群：821997236-2-得 4x28 3x120，即 x22 3x30，所以
3、 x 3，y1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为2，6.4(2019 山西质检)在极坐标系中，曲线 C 的方程为2312sin2，点 R22，4.(1)以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，点 R 的极坐标化为直角坐标；(2)设 P 为曲线 C 上一动点，以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS 周长的最小值，及此时 P 点的直角坐标【解】(1)曲线 C：2312sin2，即222sin23，从而2cos232sin21.xcos，ysin，曲线 C 的直角坐标方程为x23y21，点 R
4、 的直角坐标为 R(2,2)(2)设 P(3cos，sin)，根据题意可得|PQ|2 3cos，|QR|2sin，|PQ|QR|42sin3，当6时，|PQ|QR|取最小值 2，矩形 PQRS 周长的最小值为 4，此时点 P 的直角坐标为32，12.5(2019 南京模拟)已知直线 l：sin4 4 和圆 C：2kcos公众号：初高中数学交流群QQ 群：821997236-3-4(k0)若直线 l 上的点到圆 C 上的点的最小距离等于 2.求实数 k 的值并求圆心 C 的直角坐标【解】圆 C 的极坐标方程可化为 2kcos 2ksin，即2 2kcos 2ksin，所以圆 C 的直角坐标方程为
5、 x2y2 2kx 2ky0，即x22k2y22k2k2，所以圆心 C 的直角坐标为22k，22k.直线 l 的极坐标方程可化为sin 22cos 224，所以直线 l 的直角坐标方程为 xy4 20，所以|22k22k4 2|2|k|2.即|k4|2|k|，两边平方，得|k|2k3，所以k0，k2k3或k0，上述方程有两个相异的实数根，设为 t1，t2，|AB|t1t2|92cos sin 2558，化简有 3cos24sin cos 0，解得 cos 0 或 tan 34，从而可得直线 l 的直角坐标方程为 x30 或 3x4y150.5 (2019 辽 宁五 校联 考)已 知动 点 P，
6、Q 都 在曲 线 C：x2cos t，y2sin t(t 为参数)上，对应参数分别为 t与 t2(02)，M 为 PQ 的中点(1)求 M 的轨迹的参数方程；(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点【解】(1)依题意有 P(2cos，2sin)，Q(2cos 2，2sin 2)，因此 M(cos cos 2，sin sin 2)M 的轨迹的参数方程为公众号：初高中数学交流群QQ 群：821997236-4-xcos cos 2，ysin sin 2，(为参数，02)(2)点 M 到坐标原点的距离 d x2y2 22cos(02)当时，d0，故 M 的轨
7、迹过坐标原点公众号：初高中数学交流群QQ 群：821997236-1-【课时训练】第 71 节绝对值不等式解答题1(2019 浙江绍兴模拟)已知函数 f(x)|xm|5x|(mR)(1)当 m3 时，求不等式 f(x)6 的解集；(2)若不等式 f(x)10 对任意实数 x 恒成立，求 m 的取值范围【解】(1)当 m3 时，f(x)6，即|x3|5x|6，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集x5，x3x56，解得 x5；或3x6，解得 4x6解集是.故不等式 f(x)6 的解集为x|x4(2)f(x)|xm|5x|(xm)(5x)|m5|，由题意得|m5|10，则10m510，解得15m
8、5，故 m 的取值范围为15,52(2019 郑州一模)设函数 f(x)|x2|x1|.(1)求不等式 f(x)1 的解集；(2)若关于 x 的不等式 f(x)4|12m|有解，求实数 m 的取值范围【解】(1)函数 f(x)可化为 f(x)3，x2，2x1，2x1，3，x1.当 x2 时，f(x)30，不合题意；当2x1，得 x0，即 0 x1，即 x1.综上，不等式 f(x)1 的解集为(0，)公众号：初高中数学交流群QQ 群：821997236-2-(2)关于 x 的不等式 f(x)4|12m|有解等价于(f(x)4)max|12m|，由(1)可知 f(x)max3(也可由|f(x)|x
9、2|x1|(x2)(x1)|3，得 f(x)max3)，即|12m|7，解得3m4.故实数 m 的取值范围为3,43(2019 长春质检)已知函数 f(x)|x2|x1|.(1)解不等式 f(x)1；(2)当 x0 时，函数 g(x)ax2x1x(a0)的最小值大于函数 f(x)，试求实数 a 的取值范围【解】(1)当 x2 时，原不等式可化为 x2x11，解集是；当1x2 时，原不等式可化为 2xx11，即1x0；当 x1，即 x1.综上，原不等式的解集是x|x0 时，f(x)12x，02，所以 f(x)3,1)，所以 2 a11，即 a1，故实数 a 的取值范围是1，)4(2019 河北唐
10、山质检)设函数 f(x)|kx1|(kR)(1)若不等式 f(x)2 的解集为 x|13x1，求 k 的值；(2)若 f(1)f(2)5，求 k 的取值范围【解】(1)由|kx1|2，得2kx12，即1kx3，所以13k3x1，公众号：初高中数学交流群QQ 群：821997236-3-由已知，得k31，所以 k3.(2)由已知得|k1|2k1|5.当 k12时，(k1)(2k1)1，此时1k12；当12k1 时，(k1)(2k1)5，得 k5，此时121 时，(k1)(2k1)5，得 k73，此时 1k73.综上，k 的取值范围是1，73.5(2019 江西六校联考)已知函数 f(x)|2xa
11、|2x3|，g(x)|x1|2.(1)解不等式：|g(x)|5；(2)若对任意的 x1R，都有 x2R，使得 f(x1)g(x2)成立，求实数 a 的取值范围【解】(1)由|x1|2|5，得5|x1|25，所以7|x1|3，解得2x4，所以原不等式的解集是x|2x0；(2)若f(x)3|x4|a1|对一切实数x均成立，求a的取值范围【解】(1)原不等式即为|2x1|x4|0，当 x4 时，不等式化为 12xx40，解得 x0的解集是x|x4当4x0，解得 x1，公众号：初高中数学交流群QQ 群：821997236-4-即不等式组4x0，的解集是x|4x0，解得 x5，即不等式组x12，|2x1
12、|x4|0的解集是x|x5综上，原不等式的解集为x|x5(2)f(x)3|x4|2x1|2|x4|12x|2x8|(12x)(2x8)|9.由题意可知|a1|9，解得8a10，故 a 的取值范围是8,10公众号：初高中数学交流群QQ 群：821997236-1-【课时训练】第 72 节证明不等式的基本方法解答题1(2019 广州五校联考)已知函数 f(x)|x3|x1|，其最小值为 t.(1)求 t 的值；(2)若正实数 a，b 满足 abt，求证：1a4b94.(1)【解】因为|x3|x1|x3|1x|x31x|4，所以 f(x)min4，即 t4.(2)【证明】由(1)得 ab4，故a4b
13、41，1a4b1a4ba4b4 141b4aab542b4aab54194，当且仅当 b2a，即 a43，b83时取等号，故1a4b94.2(2019 湖北八校联考)设不等式2|x1|x2|0 的解集为M，a，bM.(1)证明：|13a16b|14；(2)比较|14ab|与 2|ab|的大小，并说明理由(1)【证明】记 f(x)|x1|x2|3，x2，2x1，2x1，3，x1.由22x10 解得12x12，则 M12，12.所以|13a16b|13|a|16|b|1312161214.(2)【解】由(1)得 a214，b20.所以|14ab|24|ab|2，故|14ab|2|ab|.3(201
14、9 广州模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)|xm|x|，mN*，存在实数 x 使 f(x)2 成立(1)求实数 m 的值；(2)若，1，f()f()4，求证：413.【解】(1)因为|xm|x|(xm)x|m|.要使不等式|xm|x|2 有解，则|m|2，解得2m2.因为 mN*，所以 m1.(2)因为，1，f(x)2x1(x1)，所以 f()f()21214，即3，所以411341()1354 13524 3.(当且仅当4，即2，1 时等号成立)故413.4(2019 武昌质检)已知 x，yR，且|x|1，|y|1.求证：11x211y221xy.【证明】211x211y21x21y2
15、22x2y2222|xy|21|xy|，11x211y221|xy|21xy，原不等式成立5(2019 长沙一模)设，均为实数(1)证明：|cos()|cos|sin|，|sin()|cos|cos|；(2)若0，证明：|cos|cos|cos|1.【证明】(1)|cos()|cos cos sin sin|cos cos|公众号：初高中数学交流群QQ 群：821997236-3-|sin sin|cos|sin|；|sin()|sin cos cos sin|sin cos|cos sin|cos|cos|.(2)由(1)知，|cos()|cos|sin()|cos|cos|cos|，而0，
16、故|cos|cos|cos|cos 01.6(2019 贵阳模拟)已知函数 f(x)2|x1|x2|.(1)求 f(x)的最小值 m；(2)若 a，b，c 均为正实数，且满足 abcm，求证：b2ac2ba2c3.(1)【解】当 x1 时，f(x)2(x1)(x2)3x(3，)；当1x2 时，f(x)2(x1)(x2)x43,6)；当 x2 时，f(x)2(x1)(x2)3x6，)综上，f(x)的最小值 m3.(2)【证明】a，b，c 均为正实数，且满足 abc3，因 为b2ac2ba2c(a b c)b2aac2bba2cc2b2aac2bba2cc2(abc)(当且仅当 abc1 时，取等号)所以b2ac2ba2cabc，即b2ac2ba2c3.