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1、解答立体几何问题解答立体几何问题5 大数学思想方法大数学思想方法 学习立体几何，除了要掌握基本的数学知识和技能外，还要注意领会与总结解决解答对应问题的常见数学思想方法，下面对解答立体几何问题的五大数学思想方法加以归纳整理，供复习参考 割补思想割补思想 分割与补形的思想方法是处理几何图形的重要方法，特别在处理非常规图形时，即使涉及比较熟悉的图形的问题，有时结合割补法也可以更好的得以解决，因此，此考点可明考，即出示陌生图形，也可暗考，即给出熟悉图形，但进行割补实现快速解题 例例 如图，在多面体中，已知是边长为 1 的正方形，且均为正三角形，则该多面体的体积为（）解析解析 本题所涉及的为非常规图形，
2、没有可套用的体积公式，故需要考虑割补 解解 如图，作垂 直 于，垂足 分别 为，连 结，由，则 有垂 直 于 由 图 形 的 对 称 性，知，由，得 故所求体积为，选 例例 表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为（）解析解析 将正八面体嵌入到正方体中，即以正八面体的顶点为正方体各面的中心，则可知正八面体的棱长为，则正方体底面对角线长为，正方体棱长为，即为正八面体外接球的直径，故球的体积为，选 分类讨论思想分类讨论思想 若题目描述的情形不唯一，就要考虑借助分类与整合的思想方法解答 例例 如图，在直三棱柱中，分别为的中点，沿棱柱的表面从到两点的最短路径的长度为 解析解析 分
3、别将沿折到平面上；将沿折到平面上；将沿折到平面上；将沿折到平面上，比较其中长即可结果为 等价转化思想等价转化思想 一些立体几何问题，借助等价转化思想，可以得到更好解答 求距离的转化求距离的转化 点、线与面之间的距离，可以借助平行关系，借助等体积等方法实现距离的转化 例例 如图，正方体的棱长为，是底面的中心，则到平面的距离为（）解析解析 若直接过点作平面的垂线求距离，则难以操作但若借助“过与平面平行的直线上每个点到平面的距离相等”，如图，点分别是棱的中点，易知过点且与平面平行，于是，只需求点到平面的距离，又可得所求为的，即 求角的转化求角的转化 求角问题，往往也可以借助平行关系进行转化解答 例例
4、 如图，在三棱锥 PABC 中，ABBC，点 O、D 分别是AC、PC 的中点，OP底面 ABC求直线与平面所成角的大小 解析解析 若直接求直线与平面所成的角，不易操作，但若根据，则可转化为求与平面所成的角，取的中点，连结，则，作于，连结，则平面，所以是与平面所成的角又，所以与平面所成的角的大小等于，在中，所以与平面所成角的大小为 例例（）若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为，则 （）已知一平面与一正方体的 12 条棱的夹角都等于，则 解析解析 对（），由于正四棱柱的六个面两两对应平行，根据同一条直线与多个平行平面所成的角相等，问题转化为一条直线与正四棱柱共顶点的相邻三个面所成的角都为，
5、求如图，设两两垂直且相等，作平面，则与三个侧面 成 角 相 等，连 结并 延 长 交于，连 结，则，于 是，设，则，即 对（），类似可知，一组平行直线与同一平面所成的角相等，则问题可转化为如图所示的与平面所成角的正弦，易知为 求最值的转化求最值的转化 一些立体几何的最值问题，往往通过图形变换进行转化 例例 如图，已知正三棱柱的底面边长为 1，高为 8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 解析解析 问题转化为将三棱柱的侧面沿剪开后展开，并补上展开后全等的部分后，所得矩形对角线的长，如图所示，易得所求为 求体积的转化求体积的转化 一些求体积问题，往往需要借助体积的转化求
6、解 例 例 如 图 ，在 体 积 为 1 的 三 棱 锥侧 棱上分别取点，使，记为三平面的 交 点，则 三 棱 锥的 体 积 等 于（）解析解析 如图，设，则连结的交点为，设到平面的距离为，则由，可 知 点到 平 面的 距 离 为；又 由，故到平面的距离为；又由，故到平面的距离为 三棱锥的体积为，故三棱锥的体积等于 选 评注评注 本题通过多次体积间关系的转化，实现了所求体积与已知体积关系的明朗化 向量法向量法 借助空间向量，特别是建立空间直角坐标系后，使向量坐标化，能够更加简捷的解答很多涉及位置关系判断及求角，求距离的题目 例例 已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点（）证明：面面；（
7、）求所成的角；（）求面与面所成二面角的大小 解析解析 根据题目特征，注意到两两垂直，可建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量与平面的法向量解答 解解 因为，以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为，（）证明：因，故，所以由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面又在面上，故面面（）解：因故，所以，即与所成的角为（）解：在上 取 一 点，则 存 在使 要使，只需，即，解得可知当时，点坐标为，能使 此 时，有 由，得，所以为所求二面角的平面角，故所求的二面角为 极端化方法极端化方法 一些几何问题，借助想象其极端情形，可以更好的使问题得以解决 例例 若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（）三棱锥 四棱锥 五棱锥 六棱锥 解析解析 对于正六棱锥，当其高趋近于时，侧棱长趋近于底面边长，但侧棱长始终大于底面边长，而不会相等，故选 借助极端化方法，同学们可以求一下正六棱锥相邻侧面所成二面角的取值范围