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1、一、单 项 选 择 题（本 大 题 有 4 小 题，每 小 题 4 分，共 16分）.设/（x）=cosx（x+|sinx|）,则 在 x=0 处 有（）（A）/（）=2（B）/（0）=1（C）/（0）=。（D）/（X）不 可 导.设 a（x）=,P（x）=3-3 V x,贝!J当 x-l时（）2.1+x（A）&（龙）与 尸（x）是 同 阶 无 穷 小，但 不 是 等 价 无 穷 小；（B）a（x）与 夕（x）是 等 价 无 穷 小；（C）a（x）是 比 夕（x）高 阶 的 无 穷 小；）尸（X）是 比 a（x）高 阶 的 无 穷 小.3,若 尸（*）=（-x）/叱 期/在 区 间 上（T i
2、）二 阶 可 导 且/，（*）（）,贝|J（）.（A）函 数 F（x）必 在 x=0 处 取 得 极 大 值；（B）函 数/（X）必 在 x=0 处 取 得 极 小 值；（C）函 数/（%）在 x=。处 没 有 极 值，但 点（，/（）为 曲 线 y=尸（）的 拐 点；（D）函 数 尸（了）在 x=o 处 没 有 极 值，点（，/（）也 不 是 曲 线 y=尸（）的 拐 点。4 设/XX）是 连 续 函 数，且，（x）=x+2/）/，贝!/（*）=（）（A）2（B）2（C）x-1（D）X+2.二、填 空 题（本 大 题 有 4 小 题，每 小 题 4 分，共 16分）2lim（l 4-3 x）
3、sinx=5 x_0 已 知 巴 巴 是/（x）的 一 个 原 函 数，贝 仃/（X）吧 dx=6.*J%7.1./2 万 2 2 万 2 1 hm（cos 4-cos-1-Feos-）=n n n n8r x2arcsinx+l,I-/-ax=y l l-x22 _解 答 题（本 大 题 有 5 小 题，每 小 题 8 分，共 4 0分）9.设 函 数）=7（制 由 方 程 e+sin（盯）=1确 定，求 V（“）以 及 V（）.求 j I-%：业-10.%1+x）郎（x）=X；_-X-求 f1 y（x）iZr.11 V 2 x-x2,O x 1 4、g（x）=f（x t）dt HmZ2=A
4、1 2.设 函 数/（X）连 续，。，且 x,A为 常 数.并 讨 论 g（x）在 X=0 处 的 连 续 性.13.fy（l）求 微 分 方 程 盯+2y=x l n x 满 足 19 的 解.四、14.解 答 题（本 大 题 10分）已 知 上 半 平 面 内 一 曲 线 y=y（x）（X N）,谈（），且 曲 线 上 任 一 点“a。，。）处 切 线 斜 率 数 值 上 等 于 此 曲 线 与 x 轴、y 轴、直 线 x=x 所 围 成 面 积 的 2倍 与 该 点 纵 坐 标 之 和，求 此 曲 线 方 程.五、解 答 题（本 大 题 10分）1 5.过 坐 标 原 点 作 曲 线 J
5、=In x 的 切 线，该 切 线 与 曲 线 y=In x 及*轴 围 成 平 面 图 形 D.（1）求 D 的 面 积 A；（2）求 D绕 直 线 x=c 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积 V.六、证 明 题（本 大 题 有 2 小 题，每 小 题 4 分，共 8 分）16.设 函 数 7（X）在 1 上 连 续 且 单 调 递 减，g J/（x）d x Nq J/（x）d.证 明 对 任 意 的,0 01 7.设 函 数/（x）在，T 上 连 续 7 C 冗 f f(x)d x=0 f/(x)c o s x dr=0，且 0,0证 明：在（0，万）内 至 少 存 在 两 个
6、 不 同 的 点 岛,使/4 1）=/（4 2）=,（提 示：设 尸（X）=,公 一、单 项 选 择 题（本 大 题 有 4 小 题，每 小 题 4 分，共 16分）1、D 2、A 3、C 4、C二、填 空 题（本 大 题 有 4 小 题，每 小 题 4 分，共 16分）1/C o s x、2 n-(-)+c-.6.2 X.7.2.8.兀 三、解 答 题（本 大 题 有 5 小 题，每 小 题 8分，共 4 0分）9.解：方 程 两 边 求 导 e+y（1+y）+cos（盯）（盯+y）=0y x)=-ex+y+y c o s(右)+x co s(x y)x=09y=0 f y(0)=-11 0
7、.解：u=x7 7x6dx-du原 式=7 J w(l+w)7 J 2+1)du=(In I I-2 In I M+1 1)+c727解：；/(xM x=x e-M x+f 以 一/公=，x d(-e-x)+|Q l-(x-l)2dx=_-xe-x+cos2 0 d 0(令 一 1=sin 6)1 2.解：由 f(0)=,知 g(0)=0(X H O)x f(x)-jf(u)dug(x)=-今-(x 0 0)XIim g(x)=limX TO X TOx f(x)-jf(u)du0 x2=A 2A2,g（x）在 x=0处 连 续.13.dy 2+j解：dx x-dxy=eJx(je dX In
8、xdr+C)3y T9,C=0 j=x l n x-x,3 9四、14.解 答 题（本 大 题 10分）解：由 已 知 且 y，=2 j d x+y,将 此 方 程 关 于 x 求 导 得 yn=2y+y特 征 方 程：r2-r-2=0 解 出 特 征 根：r,=-1,r2=2.其 通 解 为 y=G e-+。2小 c=C=代 入 初 始 条 件 y（）=（）=1,得 3 2 32 T 1 2 xy=e d 故 所 求 曲 线 方 程 为：3 3五、解 答 题（本 大 题 10分）15.解：(1)根 据 题 意，先 设 切 点 为(Xo，lnx。)，切 线 方 程:y-lnx(,=(x-x0)
9、X。V=x由 于 切 线 过 原 点，解 出 X。=e，从 而 切 线 方 程 为：eA=(ey-ey)dy=-e-1则 平 面 图 形 面 积。2y%e 2(2)三 角 形 绕 直 线 x=e一 周 所 得 圆 锥 体 体 积 记 为 匕，则 3曲 线 y=In X 与 X 轴 及 直 线 X=e所 围 成 的 图 形 绕 直 线 x=e 一 周 所 得 旋 转 体 体 积 为 匕 1V2=j(e-ey)2dyoV=V.-v2=-(5e2-12e+3)D 绕 直 线 X=e 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积 6六、证 明 题(本 大 题 有 2小 题，每 小 题 4分，共 12
10、分)4 1 q q IJ7(x)d=J 7(x)d x-q(J 7(x)d x+16.证 明：o。0 g=(1-q)J7(X)d X _ q J7(x)do 笈 4 4,1/(於/(B)=q(l-4)/)q(l-0故 有：q iJ/(x)dx”J/(x)d.0 0 证 毕。17.F(x)=f(t)dt,0 x 证：构 造 辅 助 函 数：0。其 满 足 在 0，万 1上 连 续，在(0，)上 可 导。F,(x)=/(x),且 尸(0)=尸(%)=0n0=/(x)cosxJx由 题 设，有 0=|cosxJF(x)=F(x)cosx|+Jsinx-F(x)Jx0(F(x)sinxrfx=0有；？
11、，由 积 分 中 值 定 理，存 在 自(0,万)，使 尸(J)sinJ=()即/(4)=0综 上 可 知 尸()=F(4)=尸 3)=0,4 w(0,%).在 区 间 0,导,修,力 上 分 别 应 用 罗 尔 定 理，知 存 在()4)和 基 e C，)，使 户)=0 及 户(乙)=0,即/砥)=/()=).高 等 数 学 I 解 答1.当 x f 莅 时，a（x）L）都 是 无 穷 小，则 当 不 时（口）不 一 定 是 无 穷 小.一、单 项 选 择 题（在 每 个 小 题 四 个 备 选 答 案 中 选 出 一 个 正 确 答 案，填 在 题 末 的 括 号 中）（本 大 题 有 4
12、 小 题，每 小 题 4 分，共 16分）(A)|a(x)+A(B)a2(x)+/?2(x)a2(x)(C)lnl+a(x).夕(x)(D)夕(x)h m-2.极 限 Lisina)的 值 是(C(A)1(C)(D)esinx+e2ax-l/(%)=,X3.ax w 0 x=在 x=0 处 连 续，则“=(D).(A)1(B)0(C)e(D)-1h mf(a+h)-f(a-2h)4.设/(%)在 点 x=a 处 可 导，那 么 f(A)3/(a)(B)(C)/(a)(D)h(A).2/二、填 空 题(本 大 题 有 4 小 题，每 小 题 4 分，共 16分).ln(x+a)-lna.2 1h
13、 m-(a 0)5.极 限“X 的 值 是 a.“，c，2 sin 2x+6.由 e+ylnx=cos2x确 定 函 数 则 导 函 数 y=-.xexy+Inx7.直 线/过 点“(1，2,3)且 与 两 平 面+2)，_7=0,2%3/+5=6 都 平 行，则 直 线/的 x-1 _ y-2 _ z-3方 程 为 1 一 1 一 18.求 函 数 y=2x-ln(4x)2的 单 调 递 增 区 间 为(-8,0)和(为+8).三、解 答 题(本 大 题 有 4 小 题，每 小 题 8 分，共 32分)(l+x)x-elim-9.计 算 极 限 x.-ln(l+x)-l(l+x)v-e.ex
14、-1.ln(1+x)-x eh m-=e h m-=e lim-=解：x rO x x _ 0 x X f X 210.已 知：1=3,I方 1=2 6,屐 5=3 0,求cos0-口 2=,sin9=71-cos2 0=翩 向 忖 13 13 I=72用 牛：，XF(x)=J(x-)/“)力 x G a,bIL设/(%)在 W，切 上 连 续，且。,试 求 出 产“(X)。X X解：X X尸(X)=J/W f+V(x)-V(x)=/W f仆)=/(x)r COS X tx ax.12.求 J sin xr cosx,If,._9x Tclx=xt/sin x解：sin x 2 J x sin
15、 x fsin xd=-x-x sin x cot x+C2 2 J 2 2四、解 答 题（本 大 题 有 4 小 题，每 小 题 8分，共 32分）r dx2 X-lx2-113.求 百 2xy=-14.求 函 数-l+x2的 极 值 与 拐 点.解：函 数 的 定 义 域（8,+8）,2（1 x）（l+x）4x（3 x）L（1+6）2=（1+马 3令=得 x t=1,x2=-iy X2=t 是 极 小 值 点 极 大 值 y（D=i,极 小 值 y（T）=T令）=得 X 3=0,X 4=百，X 5=一 百 X(-00)-V3)（-6。）(0,6)(+8)故 拐 点(S-2),(0,0)(V
16、3,2)X3y=Q 215.求 由 曲 线.4 与 x 所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积.无 3解:一=3x-x2,x3-12x+4x2=0,x(x+6)(x-2)=0,x=-6,x2=0,x3=2.(3x x2-)dx=(7 5+石)i-6+弓 3 一 2 可 x-正 x)I；=45+2-=47-3 316.设 抛 物 线 y=4-1 上 有 两 点 A(-1,3),8(3,5),在 弧 A 上，求 一 点*广)使 M B P 的 面 积 最 大.AB连 线 方 程：y+2x-=0 AB=4y/5点 到 钻 的 距 离=三 产 A48P的 面 积 S(x)=-4A/5-X+X+3=
17、2(-x2+2x+3)2 V5S，(X)=-4X+4 当 x=l S，(x)=0S(x)=40当 x=1时 S(x)取 得 极 大 值 也 是 最 大 值 此 时 y=3 所 求 点 为(1,3)另 解：由 于 AA8C的 底 A3 一 定，故 只 要 高 最 大 而 过 C点 的 抛 物 线 的 切 线 与 AB平 行 时，高 可 达 到 最 大 值，问 题 转 为 求 C*。，4-x：)，使/(X。)=2X()=一 5-%+=-2,解 得%=1,所 求 C 点 为(1,3)六、证 明 题(本 大 题 4分)17.设 x 0,试 证 e2、(l_x)0r(x)=e2A(l-2x)-1,fx)
18、=-4xe2x0,fx)0)因 此 尸(x)在(0,+00)内 递 减。在(0,+00)内，/(X)/()=0,/(X)在(0,+00)内 递 减,在(0,+00)内,/(X)/()，即/、(1_)_(1+%)0亦 即 当 x0 时，e2，(l _ x)0 x lx 0的 全 体 连 续 点 的 集 合 是（）（B）（-oo,l）U（l,+oo）+co）（D）（-oo,0）U（0,1）U（1,+oo）xz+1lim（-ax-b）=019.设 1 8 x+1，则 常 数 a步 的 值 所 组 成 的 数 组（4,5）为（）ln(x+1)x-l/(X)=71tan x,2x+sinx,(A)(-C
19、O,+00)(C)（-8,0）U（o,(A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1,1)(D)(1,-1)20.设 在 0,1 上/(X)二 阶 可 导 且/贝 i j()(A)/，(0)/，(l)/(D-/(0)(B)/，(0)/(D-/(0)/，(l)(O/，(1)/，(0)/(1)-/(0)(D)/-/(0)/(0)2 4f sin x cos x.M=-dx,i i+J21.2贝 I J()(A)M N P(B)(C)P M N(D)Jt n2 2N=j(sin3 x+cos4 x)dx P=j(x2 sin3 x-cos4 x)dx乃 n2 2P N MN M 1(x2 arctan
20、Vx-1)=(2 设 7(x)dx=sinx+C R J/)(x)dx=()x-4 _ y _ z-53.直 线 方 程 2-a n 6+p,与 xoy平 面，yoz平 面 都 平 行,那 么 7,p 的 值 各 为（）H m f-U 力=4.,=1 一（）三 解 答 题（本 大 题 有 3 小 题，每 小 题 8 分，共 2 4分）1.计 算 lim sin x9 1 八 x cos,x 0f M=x2.设 X X4 试 讨 论/(x)的 可 导 性，并 在 可 导 处 求 出 了(x)3.设 函 数 丁=/(幻 在(-8,+8)连 续，在 N O 时 二 阶 可 导，且 其 导 函 数/(
21、X)的 图 形 如 图 所 示，给 出/a)的 极 大 值 点、极 小 值 点 以 及 曲 线 y=/a)的 拐 点。四 解 答 题(本 大 题 有 4小 题，每 小 题 9分，共 36分)1J(吟 生.求 不 定 积 分 J X-1 Xej|ln x|dx2.计 算 定 积 分;I _ y _ z-i x-l _ y-2 _ z-33.已 知 直 线 一 亍 2,求 过 直 线 4 且 平 行 于 直 线 L的 平 面 方 程。4.812-71过 原 点 的 抛 物 线 y=。厂 及 尸 0/=1所 围 成 的 平 面 图 形 绕 X 轴 一 周 的 体 积 为 5,确 定 抛 物 线 方
22、程 中 的“，并 求 该 抛 物 线 绕 y 轴 一 周 所 成 的 旋 转 体 体 积。五、综 合 题(本 大 题 有 2小 题，每 小 题 4分，共 8分)1.设 尸(x)=(x 1)2/0),其 中/(X)在 区 间 1,2 上 二 阶 可 导 且 有/(2)=,试 证 明 存 在 J(1/o)2.o(1)求 f(x)的 最 大 值 点；/(%)-(2)证 明：(2+2)(2”+3)一、单 项 选 择 题 B D B二、填 空 题（本 大 题 有 4小 题，每 小 题 4分，共 16分）X _一(_ 1+4 arctan y x 1)dxdy=2 Jx-l7.r n7T./n7TJ7(x
23、)dx=J cos(x+)dx=sin(x+)+cm=2,p=-6,w 0g(e-l)三、解 答 题（本 大 题 有 3小 题，每 小 题 8分，共 24分）lim（9.（8分）计 算 极 限 a。sin2 x-4）厂 lim(解：sin2 xi 2 21、x-sin x 2)=呵-x I X sin-x1limA-Ox-sinx x+sinx21imX T OX31-COS X3x2x-3x 2 cos1,X n0X10.（8分）设 xx-,试 讨 论/（X）的 可 导 性，并 在 可 导 处 求 出 尸（X）.x 0,fix)-2xcos+sin C,解：当 x x；当 xo+心.0-M/
24、3=0 x x1 x011.（8 分）设 函 数 y=/（x）在（8，+0）连 续，在 X H 0 时 二 阶 可 导，且 其 导 函 数/（X）的 图 形 如 图.给 出 了（x）的 极 大 值 点、极 小 值 点 以 及 曲 线 y=f（x）的 拐 点.解：极 大 值 点：x=a x=d 极 小 值 点：x=b拐 点（0，/（0）,（c,/（c）四 解 答 题（本 大 题 有 4小 题，每 小 题 9分，共 36分）f(x 2)212.(9-2dx分)求 不 定 积 分 JX-X-D-.r,4 1-3、/(1-r H-)dx解：原 式=J X(x-1)x-141n|x|-31n|x-l|+
25、c=x-1f|lnx|13.(9分)计 算 定 积 分 e(-ln x)d r+解：原 式 d xnxdx=-(x l n x-x)i+x l n x-x(/_ _._ z T.x-1 _ y-2 _ z-314.(9分)已 知 直 线-T 耳 3,2，2 一 5 一 4，求 过 直 线 6且 平 行 于 直 线 L的 平 面 方 程.J解 u T.n=?,x?2=(1.2,3)x(2,5,4)=(-7,2,1)取 直 线。上 一 点 Mi(O,O,l)于 是 所 求 平 面 方 程 为-7 x+2 y+(z-l)=015.(9分)过 原 点 的 抛 物 线 丁=3 0)及 尸 0,x=l所
26、围 成 的 平 面 图 形 绕 x 轴 一 周 的 体 81-7 1积 为 5.求,并 求 该 抛 物 线 绕)，轴 一 周 所 成 的 旋 转 体 体 积.，2V-7r(a x2)2dx-a2 _ n a解：I 5。-丁 7 C C 11 _ 81%由 已 知 得 5-5 故。=9 抛 物 线 为：y=9 x2Lr4 1 oV=j2x 9X2JX=18%一=一 万 绕 y 轴 一 周 所 成 的 旋 转 体 体 积：。4 o 2五 综 合 题(每 小 题 4分，共 8分)16.(4分)设/(x)=(x-l)2/(x),其 中/(x)在 区 间 口,2 上 二 阶 可 导 且 有/(2)=。.
27、证 明：存 在 J(1 自 2)使 得 尸)=0。证 明：由/(X)在 1,2 上 二 阶 可 导，故 尸(x)在 1,2J二 阶 可 导，因/(2)=0,故 尸(1)=尸(2)在 1,2 上 用 罗 尔 定 理，至 少 有 一 点 尤 0，(1/2)使 尸(玉)=尸(x)=2(x-l)/(x)+(x-f x)得 尸=0在 1,必 上 对 E(x)用 罗 尔 定 理，至 少 有 点 4(1 自/2)/)=17.(4 分).解：(1)x=l 为 了(幻 的 最 大 值 点。y,(x)=(x-x2)sin2nx 当 0 x0.当 xl,/,(x)=(x-x2)sin2),x 0o/(l)为 极 大
28、 值，也 为 最 大 值。(z-z2)sin2,/0 x 在 点 x=处 可 导，则 k 为 何 值？f(0)=lim=lim 尸 解：I。-X I。-XTO+xk=l,1 1 15.求 极 限 V/l2+l2 V2+22 J 2+2。解：z1 1 1、lim(,.-+/一 一+,)Vn2+12 V2+22 J/+/=ln(x+Vl+x2)l；=ln(l+V2)x+2y-z+l=0 j2x-y+z=06.求 过 点(2,2,0)且 与 两 直 线 1/_/+7_1=0 和 x y+z=O 平 行 的 平 面 方 程。解：两 直 线 的 方 向 向 量 分 别 为 S i=(1,2,-1)x(1
29、,-1,1)=(1,-2,-3),s2=(2,-1,1)x(1,-1,1)=(0,-1,-1),平 面 的 法 向 量=(1,-2,-3)x(0,-1,-1)=(-1,1,-1).平 面 方 程 为 x _ y+z=o。三、解 答 下 列 各 题：(共 28分，每 小 题 7分)x=Rcost 2y1.设 y=Rsinj 求 启。=-cotr解：dxd2y/、，1 1-T=(-COt t)z-=-T-dx2-R sint/?sin t2.求 I D流 在 1,2 上 的 最 大 值 和 最 小 值。解：F x)=x(x-1)=0,x=0,x=1F(0)=0,F(l)=(r-l)Jr=-l,/(
30、一 1)=/1)放=一 2，/(2)=6 32 _5最 大 值 为 最 小 值 为 6O3.设 y=y 3 由 方 程 1(1+/)_11)(1+2)=0确 定,求(0)。解：方 程 犬(1+/)一 111(/+2)=两 边 同 时 对*求 导(1+丁)+2 盯 y _ 2：+?=0 x+2yx=0,y=将,2 代 入 上 式 y,(o)=|O2 24.求 由=厂 与=x 围 成 的 图 形 绕 轴 旋 转 所 得 的 旋 转 体 的 体 积。3=7110四、证 明 题：(共 12分，每 小 题 6分)1.证 明 过 双 曲 线 u=1任 何 一 点 之 切 线 与 x,0y二 个 坐 标 轴
31、 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 常 数。证 明：双 曲 线 孙=i上 任 何 一 点 a，y)的 切 线 方 程 为(0,y+-),(2x,0)切 线 与 x轴、轴 的 交 点 为 xs+)2故 切 线 与 x,y二 个 坐 标 轴 所 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 x-2.设 函 数/(X)与 g(x)在 闭 区 间。，切 上 连 续，证 明：至 少 存 在 一 点 使 得/f g(x)dx=ge):f(x)dx,TB A A 尸(x)=f g(x)dx f(x)dx证 明：令 Jx JaF(a)=F(b)=0,由 Rone定 理，存 在 一 点 看 必，可，使/()
32、二,即/C)1 g(x)dx=gC)f f M d x高 等 数 学 上 解 答(07)一、单 项 选 择 题(每 小 题 4 分，共 16分)/(X)=XCOSXe7ml(_oox+8)是 A(A)奇 函 数；(B)周 期 函 数；(C)有 界 函 数;(D)单 调 函 数 2.当 x-0 时，f(x)=(l_cosx)ln(l+2x2)v_仁 是 同 阶 无 穷 小 量。(A)/；(B)/；(C)(D)/x-2y+z=03.直 线 x+y 2z=0 与 平 面 x+y+z=l的 位 置 关 系 是 c、(A)直 线 在 平 面 内；(B)平 行；(C)垂 直；(D)相 交 但 不 垂 直。
33、4.设 有 三 非 零 向 量 E c。若=0,axc=0)则 c=d.(A)0；(B)-1；(C)1；(D)3二、填 空 题(每 小 题 4分，共 16分)1.曲 线=m x 上 一 点 尸 的 切 线 经 过 原 点(0,0),点 尸 的 坐 标 为(e,D。tanx-x ilim-=-2.i(e*T)3。3.方 程 e+6盯+/-1=0确 定 隐 函 数 y=y(x),贝 3(0)=U。712 4.曲 线 y=x、x=l与 X 轴 所 围 图 形 绕 X 轴 旋 转 一 周 所 得 旋 转 体 的 体 积 为 5。三、解 下 列 各 题(每 小 题 6分，共 30分)1.已 知 T 包
34、t，求/(X)。.2/(%)=lim(Z-Sin Xy=e-x解：5 tr(x)=e-M*sin2xfln(ln x)+-dx2.求 不 定 积 分】nxfln(ln x)+-dx=解：,Inxdx-xln(ln x)-dx+dx=xln(lnx)+C I 2 z sin x r,x(-)dx3.计 算 定 积 分 山 1+x o解.产 2(答+启？)x=L(x2JI=？)dx+x2/x=J,(x1 2 y/l-x2)dx+01 r 2 X,r d COS X=sec d x-2 2 J1+cos xx=tan In 11+cos x I+C25.已 知/Qnx)=x,且/=e+l,求/(x)
35、。解：令 lnx=f,ft)=df(x)=e+Cx=sim 2L=2 Fsin2 Zcos2 tdt_ 7 1-Ir 1+sinx,-dx4.求 不 定 积 分 Jl+cosx erl+sinx,r 1.r sinx.-ax-ax-dx解：Jl+cosx+COSX H+cosx/=e+l,/(x)=e*+l四、（8 分）设/（X）对 任 意 x 有/（x+l）=2/（x）,且/（）一 5、求 广。解：由/（x+l）=2/（x）,/=2/（0）/=lim 二 I X-1骄 后 挨 就 榭/(r+i)-/(i)=lim-2/(r)-2/(0=lim-/-o i=2/(0)=-1五、(8 分)证 明
36、：当 xl 时，(/l)lnx(x-l)：证 明：只 需 证 明(x+Dlnx x-l。令/(工)=(x+l)lnx-x+lfx)=lnx+0/、口、x,/(X)在 L+8)单 调 递 增。/(1)=0,当 xl 时，/(幻 0。g p(x2-l)lnx(x-l)2六、(8分)已 知）=1 广（幻 连 续，且 当 X I 0 时，/（X）与 r为 等 价 无 穷 小 量。求/“（）。端 E嫩 SK舶 lim-解：2F(x)=1=x2-t2)ft)d t=x2 f t)d t-t-f W tF(x)=+x2f x)-x2f W=2x fy t)d t2 x/Q 劝 七、limx-0尸(x)/（0
37、）：（8 分）,2 2=limX T O2/70)X工 2设 有 曲 线）=4/（4x41）和 直 线 y=c（0 c 4）o记 它 们 与 y 轴 所 围 图 形 的 面 积 为 4,它 们 与 直 线=1所 围 图 形 的 面 积 为 42。问 c 为 何 值 时，可 使 A=4+4 最 小？并 求 出 A 的 最 小 值。解:A=A+a=!)夕 十 A(c)=4 c-l令 4(02,c=1为 最 小 值 点。min A=传 d y+f”净 力=1八、设 f(x)在(力)内 的 点 工。处 取 得 最 大 值，且()建 K(a x b 证 明：l+S)K K(b a)证 明：/(入 0)=
38、在。，%对 尸(x)应 用 拉 格 朗 日 定 理 f(%)-=/&)(%一)(./)/=/&)(“一 x0),fa)K(x0-a)在 1最，切 对/(x)应 用 拉 格 朗 日 定 理 fXb)-fx0)=f b-x。)(x。2b)f(b)=f&)(b-x。),lf(b)loo(A)l(B)&(C)e(D)e2答()3、/(x)=不 的 阶 麦 克 劳 林 展 开 式 的 拉 格 朗 日 型 余 项 R,(x)=()(式 中 0 6)(T)+2(l-0 x)n+2答()设 了 在.。的 某 邻 域 内 连 续，且/(。)=。,缈 忐=2,则 点.。(4)是/1(x)的 极 大 值 点(C)不
39、 是/(x)的 驻 点(6)是/Xx)的 极 小 值 点()是/Xx)的 驻 点 但 不 是 极 值 点 答()5、曲 线 y=x2 一 2x+4上 点 M o(0,4)处 的 切 线 M(7与 曲 线 y2=2(x-1)所 围 成 的 平 面 图 形 的 面 积 A=21 4 9 1 3(4)一(C)(D)4 9 4 12答()二、填 空 题(将 正 确 答 案 填 在 横 线 上)(本 大 题 分 5小 题，每 小 题 3分，共 15分)设 y=In Jl+tan(x+),贝 犷=_1、U x2、用 切 线 法 求 方 程/-2x2-5x-l=0在(-1,0)内 的 近 似 根 时，选 x
40、o并 相 应 求 得 下 一 个 近 似 值 则 xo,M 分 别 为。%-1 _ y+1 _ z-13、设 空 间 两 直 线 一 2-4 与 X+=y_=z相 交 于 一 点，则 九 二 osin x+cax 1 Qf(x)=x lx，在 x=0处 连 续，贝 ija=.da,当 尤=05、f|x|dx=,其 中 6是 实 数.三、解 答 下 列 各 题(本 大 题 4分)设 平 面 兀 与 两 个 向 量 M=3+了 和 B=+了-41 平 行，证 明：向 量。=27-6/一 与 平 面 兀 垂 直。四、解 答 下 列 各 题(本 大 题 8分)讨 论 积 分，华 的 敛 散 性.五、解
41、 答 下 列 各 题.(本 大 题 11分)导 出 计 算 积 分=f一 的 递 推 公 式，其 中 为 自 然 数。J x-7x2+l六、解 答 下 列 各 题(本 大 题 4分)x+2y-z-5-0求 过 4(4,2,-3)与 平 面 兀:x+y+z 10=0 平 行 且 与 直 线 b 一 10=0 垂 直 的 直 线 方 程。七、解 答 下 列 各 题(本 大 题 6分)计 算 极 限 1加 业 史 初 犬-c o s 2 cio x tan x八、解 答 下 列 各 题(本 大 题 7分)试 求=lnx)dx的 递 推 公 式(为 自 然 数)，并 计 算 积 分(Inx)3dx.九
42、、解 答 下 列 各 题“（本 大 题 8 分）设/（x）在（a,/?）内 可 微，但 无 界，试 证 明 尸（x）在（a,b）内 无 界。十、解 答 下 列 各 题（本 大 题 5 分）设 lim（p（x）=Mo,lim/（）=/（Mo）,证 明：lim/（pO）=/（w。）XT与 TO XT/o十 一、解 答 下 列 各 题（本 大 题 4 分）在 半 径 为 R的 球 内，求 体 积 最 大 的 内 接 圆 柱 体 的 高 十 二、解 答 下 列 各 题（本 大 题 5 分）12 0 4cos a=cos D 重 量 为 的 重 物 用 绳 索 挂 在 A,8 两 个 钉 子 上，如 图
43、。设 13 5,求 A,8所 受 的 拉 力 力，力。0十 三、解 答 下 列 各 题（本 大 题 6 分）一 质 点，沿 抛 物 线 y=x（10-x）运 动,其 横 坐 标 随 着 时 间 f的 变 化 规 律 为 x=（，的 单 位 是 秒,x的 单 位 是 米），求 该 质 点 的 纵 坐 标 在 点 M（8,6）处 的 变 化 速 率.十 四、解 答 下 列 各 题（本 大 题 7 分）设 曲 线 x=行,x=b/及 2=0,围 成 一 平 面 图 形.求 这 个 平 面 图 形 的 面 积;（2）求 此 平 面 图 形 绕 x轴 旋 转 而 成 的 立 体 的 体 积.、单 项 选
44、 择 题（在 每 个 小 题 四 个 备 选 答 案 中 选 出 一 个 正 确 答 案，填 在 题 末 的 括 号 中）（本 大 题 分 5 小 题，每 小 题 2 分，共 10分）1、C2、答:B3、C 10 分 4、O5、C二、填 空 题（将 正 确 答 案 填 在 横 线 上）（本 大 题 分 5 小 题，每 小 题 3 分，共 15分）（1-4）sec2（x+-）厂 X2（l+tan（x+）1、x 10 分 2、1o=05 分巧 251 0分 53、44-15 0,b=0三、解 答 下 列 各 题（本 大 题 4 分）n=a x b=3平 面 法 向 量 1n=-2 c万 与 2 平
45、 行 从 而 平 面 与 C垂 直。四、解 答 下 列 各 题（本 大 题 8 分）J k1 0=-4,12,21-4当 p H l时，d dx K dx.1=lim=lim(4)T+O Z-+0 1=lim(1-+0 J p)=1当 P=1时，r dx=|=lim In.rI=+oo b 工。“)x+o f 4 当 p l时 收 敛，当 p 21时 发 散.xp五、解 答 下 列 各 题（本 大 题 11分）解：（法 一）In=-7-dylx2+1J xn+11 0分 4 分 8 分 10分 5 分 7 分 1 0分 3 分7 x2+1x+1+(+D苦 J-+1xn+1+5+1)J1 dxX
46、 T故/2x+2y jx2+1 xn7 x2+1+5+I)/“+2+5+1)/7 x2+1n(n+l)xn+1+1L=InVl+x2 1+cX X-y x2+1=-+(n-l)xn-(法 二)令 x=tanf2 n-A.-2(2)lnn 一 1dx=sec2 tdt=In Vl+x2+x+c.二，=j=,sec2 tdttan“is e c fd seefta n,+11=JsecttanH tdtsecttan),+11+J(+Dsec31tan,+21-dtsectta n,1+ly lx2+1+(+1)能 力+（+D j晶 力+(+l)(/,1+2+/)=_-1n+2 n+ny lx2+
47、1y/x2 4-1(n+l)xn+1o(n l)xTIn2 n+力 3 2)J l+/1+cX XIn 71+x2+x+c.7 分 1 0分 3 分 5 分 7 分 10分 六、解 答 下 列 各 题（本 大 题 4 分）兀 的 法 向 量 为”的 方 向 向 量 为 10j20-11=2-1,0)3 分所 求 直 线 方 向 向 量 为 S=x S=1,2,3从 而 所 求 直 线 方 程 为 7分 x-4 y-2 z+3 _ 210分 七、解 答 下 列 各 题（本 大 题 6分）原 式=lim,t-01+xsinx-cos2 2xx tan x(Jl+xsinx+cos 2x)1.xsi
48、nx sin2 2x.=lim(-+-)2 I。x tan x x tan x=(1+4)=2 2(本 大 题 7分)八、解 答 下 列 各 题 3分 7分 10分 4分 于 是/=e-ne+n(n-l)e-(-(-I)/?!c na+n(ji 1)?+(1)1 n(n 1),2+(l)n n(c 1)7 分 所 以 J(Inx)3 Jx=e-3e+6e-6(e-1)=6 2e 10 分 九、解 答 下 列 各 题(本 大 题 8分)证 明:反 证 设 尸（x）在（。力）内 有 界，即 0贝 iJVx G（O,/?）有|/（x）|4 M 2 分 取 x（）e（a,A）则 对 Wx e（a,b）
49、,x+/在 以 与 与 x为 端 点 的 区 间 上/（x）满 足 拉 格 朗 日 中 值 定 理 的 条 件，则 至 少 存 在 自 介 于 与 与 x之 间，使/（x）/）=尸（J（x/）5 分 即|/（刈 引%）|+修 依-4）=|/。0）|+“3-4）记 为 长 8 分 即/（X）在（Q 内 有 界 与 题 意 矛 盾，故 假 设 不 正 确,即 广（X）在 内 无 界.10分 十、解 答 下 列 各 题（本 大 题 5分）由 lim/()=/(w0)f 0任 给 0,存 在 T|0使 当|w o|r|时，恒 有|/()一/(0)|0 9*0使 当 0 卜 _/|3时,|(p(x)io
50、|r|8 分 故 当 0 k-%|册，就 有|/(x)-/(o)|成 立 因 此 也”M(x)=/(“。)10 分 X f X。1U 77十 一、解 答 下 列 各 题(本 大 题 4 分)设 内 接 圆 柱 体 的 高 为 力,则 圆 柱 体 的 底 面 半 径 厂=犷 7其 体 积 为 V=nh(R2 _)0 h 2R4 分 V，=万(/?2 _ 乙 32)4唯 一 驻 点 h二 空 R33丫=一 巳 就 02故=苧/?时，圆 柱 体 体 积 最 大 十 二、解 答 下 列 各 题(本 大 题 5分)按 点。受 力 平 衡，应 有 8 分 1 0分/）COS6Z+f2 COS1=pl/i